【教案】空间的平行与垂直问题之七种题型

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类型一: 线线平行 一、前测回顾 (
1
,3,5
)1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：DE∥平面AB1C1． 提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形． “中心投影法”延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DE∥AM． 法二：用面面平行的性质 取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB1C1． 二、方法联想 （1）证明线线平行 方法1：利用中位线； 方法2：利用平行四边形； 方法3：利用平行线段成比例； 方法4：利用平行公理； 方法5：利用线面平行性质定理； 方法6：利用线面垂直性质定理； 方法7：利用面面平行． （2）已知线线平行，可得线面平行 三、方法应用 例.如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：． 解答 （1）因为是矩形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 又因为平面，平面平面， 所以． （2）因为是矩形，所以． 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以． 又由（1）知，所以． 四、归类巩固 *1．如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为平行四边形，求证：EF∥BC． (平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行) 类型二: 线面平行 一、前测回顾 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C (2)若E，F分别是A1A，C1C的中点，求证：平面EB1D1∥平面BDF． 提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明BD∥B1D1，A1B∥D1C． (2)证明BD∥B1D1，BF∥D1E． 二、方法联想 （1）证明线面平行 方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P；②连接PA交平面α于点M；③连接PA交平面α于点N，④连接MN即为要找的平行线． 方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A、B构造两平行直线和平面α相交于M、N；②连接MN即为要找的平行线． 方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A做AC平行于平面α内一条直线A’C’；②连结BC；③平面ABC即为所要找的平行平面． （2）已知线面平行 方法1 可得线线平行，过直线l做平面β交已知平面α于直线m，则l∥m． 方法2 可得面面平行 三、方法应用 例.如图，在四棱锥PABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB. (1) 求证：CD⊥AP； (2) 若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB. 解答 (1) 因为AD⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以AP⊥AD.(2分) 又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.(4分) 因为CD?平面ABCD，所以CD⊥AP.(6分) (2) 由(1)知CD⊥AP， 又CD⊥PD，AP∩PD＝P，AP，PD?平面PAD， 所以CD⊥平面PAD.(8分) 因为AD⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥AD. 又因为AB⊥AP，AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.(10分) 因为CD，AB都是平面PAD的垂线，所以CD∥AB.(12分) 又因为CD?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB.(14分) 解后反思 第(2)题证明中，可先证CD⊥AD，AB⊥AD，并强调四边形ABCD是平面四边形，也可证得CD∥AB(在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行)． 四、归类巩固 **1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E是棱CC1，AB的上的点，且AE＝AB， 若DE∥平面AB1C1，求的值． （已知线面，转化为线线平行） *2．E，P，G，H分别是四面体的棱ABCD的棱AB、CD、CA、CB的中点， 求证：PE∥平面PGH． （通过面面的平行证明线面平行） *3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1A的中点．点F在棱CC1上，使得平面EB1D1∥平面BDF． 求证：点F为棱CC1的中点． 类型三: 面面平行 一、前测回顾 1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O，求证：A1O⊥平面MBD 提示：用线面垂直的判定定理： 证BD⊥平面AA1C1C，从而得出BD⊥A1O； 在矩形AA1C1C中，用平几知识证明A1O⊥OM； 二、方法联想 （1）证明面面平行 方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行． 注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行． （2）已知面面平行 可得线线平行 三、方法应用 例.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC， A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面. (2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG. 四、归类巩固 *1． 如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点． 求证：（1）平面EFG∥平面ABC； （2）BC⊥SA． 答案：证明略 (考查平面与平面平行，线线垂直) 类型四: 线线垂直 一、前测回顾 1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：A1B⊥C D． 分析：要证明A1B⊥C D，只要证明A1B与CD所在的平面垂直，或CD与A1B所在的平面垂直， 但都没有现成的平面，构造经过CD的平面与直线A1B垂直，或经过A1B的平面与直线CD垂直． 方法1：取AB的中点E，连CE，证A1B⊥平面CDE； 方法2：取B1C1的中点F，连BF，证CD⊥平面A1BF． 二、方法联想 （1）证明线线垂直 方法1：利用线面垂直； 构造垂面证线线垂直 要证l垂直于AB，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：①过A找垂直于l的直线AC；②连结BC，③证BC垂直l ，则l⊥面ABC． 方法2：利用线线平行转移线线垂直； 方法3：利用勾股定理； 方法4：利用等腰三角形三线合一； 方法5：利用菱形对角线互相垂直； 方法6：利用四边形为矩形． （2）已知线线垂直 可得线面垂直 三、方法应用 例.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1. (1) 求证：E是AB的中点； (2) 若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC. 解答 (1) 连结BC1，因为OE∥平面BCC1B1， OE?平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1＝BC1， 所以OE∥BC1.(4分) 因为侧面AA1C1C是菱形，AC1∩A1C＝O， 所以O是棱AC1的中点．(5分) 所以＝＝1，即E是AB的中点．(7分) (2) 因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C.(9分) 又AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C，A1B?平面A1BC， 所以AC1⊥平面A1BC.(12分) 因为BC?平面A1BC，所以AC1⊥BC. 四、归类巩固 *1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中， D为BB1的中点， A1B⊥CD，求证：AA1＝AB． 类型五: 线面垂直 一、前测回顾 1．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分别是BC， CD的中点． 求证：平面PEF⊥平面PAC． 提示：设EF与AC交于点O，证EF⊥AC，EF⊥OP， 从而得出EF⊥平面PAC． 二、方法联想 （1）证明线面垂直 方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直． （2）已知线面垂直 可得线线垂直和面面垂直 三、方法应用 例.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点． (1) 求证：MN∥平面BB1C1C； (2) 若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD. 解答 (1) 如图，连结A1C，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形， 又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．(2分) 因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.(4分) 又MN?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C.(6分) (2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC， 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.(8分) 因为AD⊥DC1，DC1?平面BB1C1C，CC1?平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C.(10分) 又BC?平面BB1C1C，所以AD⊥BC.(12分) 由(1)知MN∥BC，所以MN⊥AD. 四、归类巩固 *1．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PB＝PD，且E，F分别是BC， CD的中点，若平面PEF⊥平面PAC，求证：四边形ABCD是菱形． *2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC交BD于O，点M在棱CC1上，且A1O⊥平面MBD， 求证：M为棱CC1的中点． （线面垂直得线线垂直） *3．在四面体ABCD中，AD⊥BC，CA＝CB＝CD＝1，BD＝，则△ABC的面积为_____． （计算证明线线垂直） *4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1． （利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的 垂直转化为线面的垂直） 类型六: 面面垂直 一、前测回顾 1．如图，已知VB⊥平面ABC，侧面VAB⊥侧面VAC，求证：△VAC是直角三角形． 提示：过B作BD⊥VA，垂足为D， 由侧面VAB⊥侧面VAC，得出BD⊥侧面VAC，从面BD⊥AC， 由VB⊥平面ABC，得AC⊥VB，从而AC⊥平面VAB． 所以AC⊥VA． 二、方法联想 （1）证明面面垂直 关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直． 找垂线的一般方法： ①分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面； ②找（或作）两平面交线的垂线． ③若存在第三个平面与其中一个面垂直，则在第三个内作找或作它们的交线的垂线（可以就是第三个与另一个平面的交线），再将这个垂线转移到另一个平面内． （2）已知面面垂直 优先在其中一个平面内找或作两个平面交线的垂线，转化为线面垂直． 三、方法应用 例.【2018江苏卷15】在平行六面体中，． 求证：（1）平面； （2）平面平面． 证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1． 因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C． （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形． 又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1⊥A1B． 又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC． 又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC． 因为AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC． 四、归类巩固 **1．在四棱锥P－ABCD中，CD平面PAD，△PAD是正三角形，DC//AB，DA＝DC＝2AB． 求证：平面PBC平面PDC. （存在第三个面与其中一个面垂直） 提示1：取PD中点M，则AM⊥平面PDC，下面只需将AM平移到平面PBC内． 提示2：作出平面PAD与平面PBC的交线PN，只需证明PN⊥平面PDC． 类型七: 有关表面积、体积计算 一、前测回顾 1．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝1，PC＝2，则球O的表面积是________． 答案 ：6π 2．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________． 答案： 二、方法联想 ①表面距离问题考虑表面展开，转化成平面问题 ②体积计算，先证明高，后用体积公式求体积 三、方法应用 例1.【2018天津卷11】已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 . 答案 例2.【2018江苏卷10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．[ 答案 四、归类巩固 *1．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°， 侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的 体积为 ． *2．如图，在长方体ABCD―A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm， 则四棱锥A―BB1D1D的体积为 cm3． 答案：6 (考查空间几何体的体积计算) *3．三棱锥P ? ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D ? ABE的体积为V1，P ? ABC的体积为V2，则＝________． 答案：　(考查空间多面体的体积的关系)
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