【教案】平面向量之三种题型
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个性化教学辅导教案
学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题 平面向量之三种题型
教学目标 学会平面向量之三种题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
类型一：向量的运算 前测回顾 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________. 答案：－3． 2． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是． (2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是． (3)已知，，的夹角为，则__________. 答案：(1)[0,4]；(2)[0,1]； (3). 3．(1)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________． (2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角是． (3)已知，且，则a与b的夹角为 ． (4) 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________． (5) 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________． (6)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于______． 答案：(1)－3； (2)；(3); (4) 90°;(5) ； (6)12． 4．(1)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，则·＝ ． (2)如图1，在边长为2的菱形ABCD中，BAD＝60，E为CD中点， 则＝ ． (3)已知OA＝2，OB＝2, ·＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60，则·＝________________． (4)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且·＝0．则·＝；·＝___________． 答案：(1)－； (2)1； (3)4； (4)－, ； 二、方法联想 1．向量的运算 方法1 用向量的代数运算． 方法2 结合向量表示的几何图形． 三、方法应用 例1．已知向量. 若向量的夹角为，则实数___________． 解：由题意得，两边平方化简得， 解得，经检验符合题意． 例2．在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为． 解：由，可知，∴． 由，可知，∴， 故． 连接，则，， ∴ ． 例3．如图，在△ABC中，点为边BC的中点，且，点为线段的中点， 若，则的值为 ▲ ． 答案： 解析： ，则， 所以． 例4．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是__________． 答案：?1 解答：设，， 则 如图所示，，，（其中为射线上动点，为圆上动点，.） ∴.（其中.） 在平面凸四边形ABCD中，，，点E满足，且． 若，则的值为__________． 答案：2 解析：因为，点E满足，所以，． ，，得到． 又因为，所以，得到． 又． ， ， ． 四、归类巩固 *1．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围是 答案：（0，]． 提示：结合向量的几何图形求解． *2.已知向量，，．若，则． 答案：. 提示：向量的基本运算. *3.设向量，，若，则=_______． 答案：. 提示：向量的基本运算. **4．在等腰梯形ABCD中,已知AB平行于DC，AB＝2，BC＝1，ABC＝，动点E，F分别在线段BC，DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为. 答案：． 提示：数量积·表示为λ的函数． ***5．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3， 则·＝________. 答案：． 提示：外心隐含着垂直关系． **6.在四边形 ABCD 中，已知 ，，，其中，是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是 ． 答案：梯形. 提示：向量的基本运算. **7.在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且||=2，则·的最小值为______． 答案：3 类型二:形如＝x＋y等式中系数x，y值的确定 前测回顾 1．在△ABC中，点，N满足＝2,＝．若＝x＋y，则x＋y的值为 ． 答案：． 2．平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，||＝||＝2，||＝4，若，则的值为_______． 答案：6． 3．已知在△ABC中，为△ABC的外心，AB＝16，AC＝10，＝x＋y，且32x＋25y＝25，则||等于___________． 答案：10． 提示：由，可得， ，同理：， 所以， 所以||＝10． 二、方法联想 方法1 通过平面向量运算，完成向量用，表示，进而确定x，y的值． 方法2 若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式＝x＋y，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于x，y的方程，再进行求解． 方法3 若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于x，y的方程，再进行求解． 三、方法应用 例1 如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（），则 ． 解：由, 得 ． 例2 平面内有三个向量，，,模长分别为2,2，，与的夹角为，与的夹角为．若=m+n（m，nR），则m+n=． 解：由已知得：， ， 则， ， 解得：或， 则或6． 例3 设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则 ． 答案：． 解析：因为，所以，即，所以， 所以，又点是的中点， 所以，所以，所以． 例4 如图，四边形是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且，点为内（含边界）的动点，设则的最大值等于． 解：分别以边所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系, ， 设.∴,∴. ∴,设，则.所以是直线在y轴上的截距.由图形可以看出，当该直线经过点时，它在轴的截距最大，最大为, ∴的最大值是． 四、归类巩固 1．已知点P是△ABC内一点，满足＝λ＋μ，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则λ＋μ＝． 答案：． 提示：因为BD＝2DC，所以＝＋ 由于与共线，设＝m，则于是2λ＝μ， 又2λ＋3μ＝1，解得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝． **2．在△ABC中，为边的中点，为的中点，过点作一直线MN分别交AB，AC于点M，N，若，则x＋4y的最小值是________． 答案：． ***3．在△ABC中，AB＝AC＝2， ·＝－1，是△ABC的外心，若＝x＋y，则x＋y的值为________． 答案：． 类型三：平面向量的综合应用 一、前测回顾 1．平面上的向量满足，且，若，则的最小值为___________． 答案：． 2．已知a，b是单位向量，且a，b的夹角为60°，，若向量满足|c－a＋2b|＝2，则|c|的最大值为_____． 答案：． 3．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为． 答案：－． 二、方法联想 方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算． 方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决． 三、方法应用 例1．在△ABC中，,,为边上的点，且,， 则_____． 解：以为一组基底，由可知：，又，则点为中点． ，， 例2．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，，AB = 3， AD = ，E为BC中点，若·= 3，则· =． 解：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系， 设CD =x，则=（3，0），=（x，） 由·= 3解得x=1．所以=（2，）， =（－2，）， 所以· =－3 例3．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为． 答案：3 解析：设，则由圆心为中点得， 易得，与联立解得点的横坐标，所以． 所以，， 由得， ，或，因为，所以． 例4．若△ABC中，AB=，BC=8，45°，D为△ABC所在平面内一点且满足 ，则AD长度的最小值为． 答案： 解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，B(-1，-1)，C(7，-1) 设D(x,y)，所以， 即，令，则，所以mn=4， 所以 ． 当且仅当5m=n=时，AD取得最小值． 四、归类巩固 **1．在△ABC中，已知BC=2，,则△ABC面积的最大值是_____． 答案:． 提示：以BC所在直线为x轴, 中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则点B(-1,0),C(1,0)． 设点,则由条件得即 故△ABC面积的最大值是 **2．在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||的最大值是_____． 答案:． 提示：采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时得到动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值． **3．在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是． 答案：． ***4．已知向量|a|＝1，|b|＝2，ab＝1，设向量c满足(2a－c) ·(b－c) ＝0，则｜c｜的最小值为． 答案：－1． ***5．已知四点共面，，，，则的最大值为． 答案：10． **6.已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则的值为． 答案：. ***7.如图，，则． (
（第13题）
) (
（第13题）
) (
（第13题）
) (
（第13题）
)答案：. ***8.如图，已知点O为△ABC的重心，OAOB，AB，则的值为． 答案：72.
教 学 反 思
成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题 平面向量之三种题型
教学目标 学会平面向量之三种题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
类型一：向量的运算 前测回顾 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________. 答案：－3． 2． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是． (2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是． (3)已知，，的夹角为，则__________. 答案：(1)[0,4]；(2)[0,1]； (3). 3．(1)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________． (2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角是． (3)已知，且，则a与b的夹角为 ． (4) 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________． (5) 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________． (6)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于______． 答案：(1)－3； (2)；(3); (4) 90°;(5) ； (6)12． 4．(1)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，则·＝ ． (2)如图1，在边长为2的菱形ABCD中，BAD＝60，E为CD中点， 则＝ ． (3)已知OA＝2，OB＝2, ·＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60，则·＝________________． (4)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且·＝0．则·＝；·＝___________． 答案：(1)－； (2)1； (3)4； (4)－, ； 二、方法联想 1．向量的运算 方法1 用向量的代数运算． 方法2 结合向量表示的几何图形． 三、方法应用 例1．已知向量. 若向量的夹角为，则实数___________． 解：由题意得，两边平方化简得， 解得，经检验符合题意． 例2．在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为． 解：由，可知，∴． 由，可知，∴， 故． 连接，则，， ∴ ． 例3．如图，在△ABC中，点为边BC的中点，且，点为线段的中点， 若，则的值为 ▲ ． 答案： 解析： ，则， 所以． 例4．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是__________． 答案：?1 解答：设，， 则 如图所示，，，（其中为射线上动点，为圆上动点，.） ∴.（其中.） 在平面凸四边形ABCD中，，，点E满足，且． 若，则的值为__________． 答案：2 解析：因为，点E满足，所以，． ，，得到． 又因为，所以，得到． 又． ， ， ． 四、归类巩固 *1．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围是 答案：（0，]． 提示：结合向量的几何图形求解． *2.已知向量，，．若，则． 答案：. 提示：向量的基本运算. *3.设向量，，若，则=_______． 答案：. 提示：向量的基本运算. **4．在等腰梯形ABCD中,已知AB平行于DC，AB＝2，BC＝1，ABC＝，动点E，F分别在线段BC，DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为. 答案：． 提示：数量积·表示为λ的函数． ***5．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3， 则·＝________. 答案：． 提示：外心隐含着垂直关系． **6.在四边形 ABCD 中，已知 ，，，其中，是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是 ． 答案：梯形. 提示：向量的基本运算. **7.在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且||=2，则·的最小值为______． 答案：3 类型二:形如＝x＋y等式中系数x，y值的确定 前测回顾 1．在△ABC中，点，N满足＝2,＝．若＝x＋y，则x＋y的值为 ． 答案：． 2．平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，||＝||＝2，||＝4，若，则的值为_______． 答案：6． 3．已知在△ABC中，为△ABC的外心，AB＝16，AC＝10，＝x＋y，且32x＋25y＝25，则||等于___________． 答案：10． 提示：由，可得， ，同理：， 所以， 所以||＝10． 二、方法联想 方法1 通过平面向量运算，完成向量用，表示，进而确定x，y的值． 方法2 若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式＝x＋y，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于x，y的方程，再进行求解． 方法3 若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于x，y的方程，再进行求解． 三、方法应用 例1 如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（），则 ． 解：由, 得 ． 例2 平面内有三个向量，，,模长分别为2,2，，与的夹角为，与的夹角为．若=m+n（m，nR），则m+n=． 解：由已知得：， ， 则， ， 解得：或， 则或6． 例3 设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则 ． 答案：． 解析：因为，所以，即，所以， 所以，又点是的中点， 所以，所以，所以． 例4 如图，四边形是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且，点为内（含边界）的动点，设则的最大值等于． 解：分别以边所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系, ， 设.∴,∴. ∴,设，则.所以是直线在y轴上的截距.由图形可以看出，当该直线经过点时，它在轴的截距最大，最大为, ∴的最大值是． 四、归类巩固 1．已知点P是△ABC内一点，满足＝λ＋μ，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则λ＋μ＝． 答案：． 提示：因为BD＝2DC，所以＝＋ 由于与共线，设＝m，则于是2λ＝μ， 又2λ＋3μ＝1，解得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝． **2．在△ABC中，为边的中点，为的中点，过点作一直线MN分别交AB，AC于点M，N，若，则x＋4y的最小值是________． 答案：． ***3．在△ABC中，AB＝AC＝2， ·＝－1，是△ABC的外心，若＝x＋y，则x＋y的值为________． 答案：． 类型三：平面向量的综合应用 一、前测回顾 1．平面上的向量满足，且，若，则的最小值为___________． 答案：． 2．已知a，b是单位向量，且a，b的夹角为60°，，若向量满足|c－a＋2b|＝2，则|c|的最大值为_____． 答案：． 3．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为． 答案：－． 二、方法联想 方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算． 方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决． 三、方法应用 例1．在△ABC中，,,为边上的点，且,， 则_____． 解：以为一组基底，由可知：，又，则点为中点． ，， 例2．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，，AB = 3， AD = ，E为BC中点，若·= 3，则· =． 解：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系， 设CD =x，则=（3，0），=（x，） 由·= 3解得x=1．所以=（2，）， =（－2，）， 所以· =－3 例3．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为． 答案：3 解析：设，则由圆心为中点得， 易得，与联立解得点的横坐标，所以． 所以，， 由得， ，或，因为，所以． 例4．若△ABC中，AB=，BC=8，45°，D为△ABC所在平面内一点且满足 ，则AD长度的最小值为． 答案： 解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，B(-1，-1)，C(7，-1) 设D(x,y)，所以， 即，令，则，所以mn=4， 所以 ． 当且仅当5m=n=时，AD取得最小值． 四、归类巩固 **1．在△ABC中，已知BC=2，,则△ABC面积的最大值是_____． 答案:． 提示：以BC所在直线为x轴, 中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则点B(-1,0),C(1,0)． 设点,则由条件得即 故△ABC面积的最大值是 **2．在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||的最大值是_____． 答案:． 提示：采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时得到动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值． **3．在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是． 答案：． ***4．已知向量|a|＝1，|b|＝2，ab＝1，设向量c满足(2a－c) ·(b－c) ＝0，则｜c｜的最小值为． 答案：－1． ***5．已知四点共面，，，，则的最大值为． 答案：10． **6.已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则的值为． 答案：. ***7.如图，，则． (
（第13题）
) (
（第13题）
) (
（第13题）
) (
（第13题）
)答案：. ***8.如图，已知点O为△ABC的重心，OAOB，AB，则的值为． 答案：72.
教 学 反 思
成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
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