【教案】平面向量之综合题型
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个性化教学辅导教案
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课 题 平面向量之综合题型
教学目标 学会平面向量之综合题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
一、例题分析 例1 （1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝． （2）已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，︱a＋b︱＝5，则︱b︱＝． （3）若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝． （4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则?＝． 答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件． 2．向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积． 3．第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系． 二、方法选择与优化建议： 1．第（2）小题，方法1：设向量b的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(a＋b)的模长平方求出答案．相对而言，方法2比较简单． 2．第（3）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a＋b的两要素，先求出向量a＋b的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质． 3．第（4）小题解法1：基底法，选择和与垂直的为基底；解法2：以AC、BD为两坐标轴建立直角坐标系． 例2 （1）已知正△ABC的边长为1，＝7＋3，则·＝． 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2（λ1，λ2∈R），则λ1＋λ2的值为__________。 （3）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D在斜边BC上，且CD＝2DB，则·的值为． （4）已知a，b是单位向量，a·b＝0．若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是． 答案：（1）－2；（2）；（3）24；（4）[－1，＋1]． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义． 2．将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理． 3．可以关注一下向量数量积的几何意义（投影）． 4．（4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法． 二、方法选择与优化建议： 1．第（3）小题的求解，坐标法优于基底法．从图形的结构上发现便于建系． 2．由于向量a，b是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易懂． 例3（1）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则?＝． （2）在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0，2)．若·＝0，＝λ，则实数λ的值为． （3）已知A（－3，0），B（0，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝60°，＝λ＋，则实数λ的值是． （4）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________. 答案：（1）；（2）2；（3）；(4)22 解析 (4)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2. 又因为2＝25，2＝64，所以·＝22. 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．解（1）小题可以是基底法（以和为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法． 2．解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解．理解向量共线的意义． 3．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解． 二、方法选择与优化建议： 1．解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知． 例4 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝ ． （2）如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点．设＝α＋β（α、β∈R），则α＋β的取值范围是 ． 答案：（1）4；（2）[3，4]． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解． 2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法． 二、方法选择与优化建议： 1．解决这两题用坐标法优于基底法． 2．选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易． 3．第（2）小题坐标化后，转化为线性规划处理． 例5 (1) 如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为 ． (2) 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝ ，y＝ ． (3) 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是____ __． (
第(3)题图
) (
第(2)题图
) 答案：(1)；(2) 1＋和；(3)2． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．平面向量的基本定理，向量的分解． 方法1：利用三角形法则，平行四边形法则以及向量共线定理． 方法2：利用平行四边形法则进行向量分解，借助解三角形的知识，再利用共线向量长度与方向的关系来求解． 方法3：建立坐标系，找出向量的坐标表示，再利用相等的向量坐标相等，列等式，通过解方程组求解。 二、方法选择与优化建议： 1．第（1）小题，用方法1较方便，解题的关键是利用B，P，N三点共线，设＝λ，再利用基底表示的唯一性，求λ的值． 2．第（2）小题，本题用方法2与方法3均可，但相比而言，方法3运算量较小． 3．第（3）小题用方法2与方法3均可，关键是自变量的选择，方法2与方法3，都可选择∠AOC＝θ作自变量，来建立x＋y的函数关系，方法2要用到解三角形的知识，方法3用向量坐标间的关系即可，运算量要小些． 例6 (1)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________. (2)等腰△ABC中，AB＝AC＝1，A＝120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且＝m， ＝n，其中m、n∈（0，1），且m＋4n＝1．若EF、BC的中点分别为M、N， 则||的最小值为 ． 答案：(1)(－，0)；(2)． 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法： 1．几何图形中的向量关系与计算问题 方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示； 方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标． (2)方法选择与优化建议： 1．解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法．第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点． 2．第(1)题中，显然选择与作为基底，因为动点O在线段CD上，可设＝λ(0＜λ＜1)， 将用基底表示，利用基底表示的唯一性，列出关系式(用λ表示x)，从而求出x的范围； 3．第(2)题用基底法与坐标法均可．基底法难点是用基底、来表示，构造三角形△AMN，将向量放在△AMN中研究，这种方法最为简洁，这种做法是基于M、N分别为EF、BC的中点，有一个向量公式，很容易将和用基底向量来表示．＝(＋)＝( m＋n)，＝(＋)．在接下来对目标函数进行消元变形的过程中，关注计算的理性化． 用坐标法的难点是如何利用条件将E、F两点的坐标表示出来．需要结合平面几何中平行线分线段成比例的等一些基本性质． 4．关注对目标函数消元变形的理性思维，达到简化运算的目的． 二、反馈巩固 *1．（1）在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_______．（用a，b表示）． 答案：－a＋b． （2）在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝． 答案： 说明：考查向量的几何运算． *2．（1）设＝(2，3)，且点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为． 答案：(3，5) ． （2）已知向量＝(，)，＝(，) ，则∠ABC＝___ 答案:30°． （3）已知向量a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，则x=． 答案：4． （4）已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值是． 答案：2． （5）设向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，则(a×b)(a＋b)等于． 答案：(－4，－4) ． （6）已知＝(5，4)与＝(3，2)，则与2－3平行的单位向量为． 答案：． 说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式． **3．（1）若|a|＝3，| b |＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b |＝． 答案： （2）若|a|＝1，| b |＝2，a与b的夹角为60°，若(3 a＋5 b)⊥(m a－b)，则实数的值为 ． 答案： (3)若b＝（cos，cos），|a|＝2|b|，且(a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为________. 答案： 提示：b2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1， 所以|b|＝1，|a|＝2. 由(a＋b)·b＝－2，可得a·b＋b2＝－2， 故a·b＝－， 故cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝. （4）已知平面上三点A，B，C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则＋＋的值等于． 答案：－25． 说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示． **4．（1）设a、b、c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为． 答案： （2）若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角是． 答案：； （3）如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点， M，N是线段AB的三等分点．若OA=6，则的值是 ． 答案：26． (
1
)（4）函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1．则(＋)?＝ ． 答案：6 说明：考查向量数量积． *5．（1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝． （2）已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，︱a＋b︱＝5，则︱b︱＝． （3）平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝． （4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则?＝． 答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；（3）2．（4）－8． 说明：考查向量的坐标运算． **6．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a·b＋b·c＋c·a＝________. 答案：－4 说明：考查向量数量积，勾股定理逆定理. **7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________. 答案： 说明：考查向量数量积，正余弦定理. **8.设向量，，其中，若，则. 答案： 说明：考查向量数量积，两角和与差的三角函数. **9．（1）已知正△ABC的边长为1，＝7＋3，则·＝． 答案：－2； （2）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________. 答案：－ 解析：∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝， ∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－. （3）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于． 答案： (
如图
)（4）如图，在四边形ABCD中，||＋||＋||＝4，||×||＋||×||＝4， ?＝?＝0，则(＋)?的值为． 答案：4． 说明：考查向量几何表示的运算． **10．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为______． 答案： 说明：考查向量与三角函数的结合． **11．已知⊥，||＝，||＝t ，若P点是△ABC所在平面内一点，且＝＋， 则· 的最大值＝______． 答案：13 解析：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此 ，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号． 说明：考查平面向量数量积以及基本不等式． **12.在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______． 答案：-3 解析：设，，所以， 当时，取得最小值． 说明：考查向量与二次函数的结合． **13.(1)函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1．则(＋)?＝ ． (2)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且·＝0．则·＝ ；·＝ ． (3)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E是BC的中点，点F在边CD上， 若·＝，则·的值是 ． (
1
) 答案：（1）6；（2）－，；（3）； 说明：考查向量数量积. ***14．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________． 答案：3 说明：考查向量数量积. **15．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝________. 答案： 说明：考查向量共线，数量积. ***16．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P是AM上一动点，则·(＋)的最小值等于． 答案：－ 说明：考查平面向量数量积，利用不等式求最值问题 ***17．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1， 则|＋＋|的最大值是________． 答案：1＋ 说明：考查平面向量的坐标表示，平面几何图形的性质 ***18.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是． 答案：. 说明：考查平面向量的坐标表示，平面几何图形的性质 **19．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上． (1)若＋＋＝0，求||； (2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 答案：(1) 2； （2）m－n＝－x＋y，m－n的最大值为1. 说明：考查向量与线性规划的结合． **20．在等腰梯形ABCD中,已知AB//CD，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°,动点E和F分别在线段BC 和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值. 答案： 解析：因为，， ，， 当且仅当即时的最小值为. 说明：考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式. **21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)··＋c·＝0. (1)求角B的大小； (2)若b＝2，试求·的最小值． 解 (1)因为(2a＋c)·＋c·＝0， 所以(2a＋c)accos B＋abccos C＝0， 即(2a＋c)cos B＋bcos C＝0， 所以(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝0， 即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0， 因为sin(B＋C)＝sin A≠0， 所以cos B＝－，所以B＝. 因为b2＝a2＋c2－2accos，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4，所以·＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，所以·的最小值为－2. 说明：考查向量数量积，解三角形. ***22．已知M(0，－2)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴上，点P在直线AB上，且满足＝，·＝0. (1)当A点在x轴上移动时，求动点P的轨迹C的方程； (2)过(－2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程． 解 (1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)， 则＝(x－xA，y)，＝(－x，yB－y)． 由＝得xA＝2x，yB＝2y. 又＝(xA,2)，＝(x－xA，y)， 即＝(2x,2)，＝(－x，y)． 由·＝0得x2＝y(y>0)． (2)易知直线l的斜率必存在， 故设其直线方程为y＝k(x＋2)， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 因为y′＝2x，故两切线的斜率分别为2x1、2x2. 由方程组得x2－kx－2k＝0， x1＋x2＝k，x1x2＝－2k. 由l1⊥l2时，4x1x2＝－1，∴k＝. ∴直线l的方程是y＝(x＋2). 说明：考查向量数量积，曲线与方程. 23．在△中，若，则的值为． 答案： 解析：设，所以 所以 即 所以 所以． 24．如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为________． 答案： 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 点在上，则，设， 则，即， 据此可得，且，， 由数量积的坐标运算法则可得： ， 整理可得：， 结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值．
教 学 反 思
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学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题 平面向量之综合题型
教学目标 学会平面向量之综合题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
一、例题分析 例1 （1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝． （2）已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，︱a＋b︱＝5，则︱b︱＝． （3）若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝． （4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则?＝． 答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件． 2．向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积． 3．第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系． 二、方法选择与优化建议： 1．第（2）小题，方法1：设向量b的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(a＋b)的模长平方求出答案．相对而言，方法2比较简单． 2．第（3）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a＋b的两要素，先求出向量a＋b的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质． 3．第（4）小题解法1：基底法，选择和与垂直的为基底；解法2：以AC、BD为两坐标轴建立直角坐标系． 例2 （1）已知正△ABC的边长为1，＝7＋3，则·＝． 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2（λ1，λ2∈R），则λ1＋λ2的值为__________。 （3）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D在斜边BC上，且CD＝2DB，则·的值为． （4）已知a，b是单位向量，a·b＝0．若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是． 答案：（1）－2；（2）；（3）24；（4）[－1，＋1]． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义． 2．将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理． 3．可以关注一下向量数量积的几何意义（投影）． 4．（4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法． 二、方法选择与优化建议： 1．第（3）小题的求解，坐标法优于基底法．从图形的结构上发现便于建系． 2．由于向量a，b是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易懂． 例3（1）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则?＝． （2）在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0，2)．若·＝0，＝λ，则实数λ的值为． （3）已知A（－3，0），B（0，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝60°，＝λ＋，则实数λ的值是． （4）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________. 答案：（1）；（2）2；（3）；(4)22 解析 (4)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2. 又因为2＝25，2＝64，所以·＝22. 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．解（1）小题可以是基底法（以和为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法． 2．解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解．理解向量共线的意义． 3．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解． 二、方法选择与优化建议： 1．解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知． 例4 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝ ． （2）如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点．设＝α＋β（α、β∈R），则α＋β的取值范围是 ． 答案：（1）4；（2）[3，4]． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解． 2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法． 二、方法选择与优化建议： 1．解决这两题用坐标法优于基底法． 2．选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易． 3．第（2）小题坐标化后，转化为线性规划处理． 例5 (1) 如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为 ． (2) 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝ ，y＝ ． (3) 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是____ __． (
第(3)题图
) (
第(2)题图
) 答案：(1)；(2) 1＋和；(3)2． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．平面向量的基本定理，向量的分解． 方法1：利用三角形法则，平行四边形法则以及向量共线定理． 方法2：利用平行四边形法则进行向量分解，借助解三角形的知识，再利用共线向量长度与方向的关系来求解． 方法3：建立坐标系，找出向量的坐标表示，再利用相等的向量坐标相等，列等式，通过解方程组求解。 二、方法选择与优化建议： 1．第（1）小题，用方法1较方便，解题的关键是利用B，P，N三点共线，设＝λ，再利用基底表示的唯一性，求λ的值． 2．第（2）小题，本题用方法2与方法3均可，但相比而言，方法3运算量较小． 3．第（3）小题用方法2与方法3均可，关键是自变量的选择，方法2与方法3，都可选择∠AOC＝θ作自变量，来建立x＋y的函数关系，方法2要用到解三角形的知识，方法3用向量坐标间的关系即可，运算量要小些． 例6 (1)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________. (2)等腰△ABC中，AB＝AC＝1，A＝120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且＝m， ＝n，其中m、n∈（0，1），且m＋4n＝1．若EF、BC的中点分别为M、N， 则||的最小值为 ． 答案：(1)(－，0)；(2)． 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法： 1．几何图形中的向量关系与计算问题 方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示； 方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标． (2)方法选择与优化建议： 1．解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法．第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点． 2．第(1)题中，显然选择与作为基底，因为动点O在线段CD上，可设＝λ(0＜λ＜1)， 将用基底表示，利用基底表示的唯一性，列出关系式(用λ表示x)，从而求出x的范围； 3．第(2)题用基底法与坐标法均可．基底法难点是用基底、来表示，构造三角形△AMN，将向量放在△AMN中研究，这种方法最为简洁，这种做法是基于M、N分别为EF、BC的中点，有一个向量公式，很容易将和用基底向量来表示．＝(＋)＝( m＋n)，＝(＋)．在接下来对目标函数进行消元变形的过程中，关注计算的理性化． 用坐标法的难点是如何利用条件将E、F两点的坐标表示出来．需要结合平面几何中平行线分线段成比例的等一些基本性质． 4．关注对目标函数消元变形的理性思维，达到简化运算的目的． 二、反馈巩固 *1．（1）在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_______．（用a，b表示）． 答案：－a＋b． （2）在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝． 答案： 说明：考查向量的几何运算． *2．（1）设＝(2，3)，且点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为． 答案：(3，5) ． （2）已知向量＝(，)，＝(，) ，则∠ABC＝___ 答案:30°． （3）已知向量a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，则x=． 答案：4． （4）已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值是． 答案：2． （5）设向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，则(a×b)(a＋b)等于． 答案：(－4，－4) ． （6）已知＝(5，4)与＝(3，2)，则与2－3平行的单位向量为． 答案：． 说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式． **3．（1）若|a|＝3，| b |＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b |＝． 答案： （2）若|a|＝1，| b |＝2，a与b的夹角为60°，若(3 a＋5 b)⊥(m a－b)，则实数的值为 ． 答案： (3)若b＝（cos，cos），|a|＝2|b|，且(a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为________. 答案： 提示：b2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1， 所以|b|＝1，|a|＝2. 由(a＋b)·b＝－2，可得a·b＋b2＝－2， 故a·b＝－， 故cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝. （4）已知平面上三点A，B，C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则＋＋的值等于． 答案：－25． 说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示． **4．（1）设a、b、c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为． 答案： （2）若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角是． 答案：； （3）如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点， M，N是线段AB的三等分点．若OA=6，则的值是 ． 答案：26． (
1
)（4）函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1．则(＋)?＝ ． 答案：6 说明：考查向量数量积． *5．（1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝． （2）已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，︱a＋b︱＝5，则︱b︱＝． （3）平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝． （4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则?＝． 答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；（3）2．（4）－8． 说明：考查向量的坐标运算． **6．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a·b＋b·c＋c·a＝________. 答案：－4 说明：考查向量数量积，勾股定理逆定理. **7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________. 答案： 说明：考查向量数量积，正余弦定理. **8.设向量，，其中，若，则. 答案： 说明：考查向量数量积，两角和与差的三角函数. **9．（1）已知正△ABC的边长为1，＝7＋3，则·＝． 答案：－2； （2）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________. 答案：－ 解析：∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝， ∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－. （3）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于． 答案： (
如图
)（4）如图，在四边形ABCD中，||＋||＋||＝4，||×||＋||×||＝4， ?＝?＝0，则(＋)?的值为． 答案：4． 说明：考查向量几何表示的运算． **10．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为______． 答案： 说明：考查向量与三角函数的结合． **11．已知⊥，||＝，||＝t ，若P点是△ABC所在平面内一点，且＝＋， 则· 的最大值＝______． 答案：13 解析：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此 ，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号． 说明：考查平面向量数量积以及基本不等式． **12.在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______． 答案：-3 解析：设，，所以， 当时，取得最小值． 说明：考查向量与二次函数的结合． **13.(1)函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1．则(＋)?＝ ． (2)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且·＝0．则·＝ ；·＝ ． (3)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E是BC的中点，点F在边CD上， 若·＝，则·的值是 ． (
1
) 答案：（1）6；（2）－，；（3）； 说明：考查向量数量积. ***14．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________． 答案：3 说明：考查向量数量积. **15．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝________. 答案： 说明：考查向量共线，数量积. ***16．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P是AM上一动点，则·(＋)的最小值等于． 答案：－ 说明：考查平面向量数量积，利用不等式求最值问题 ***17．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1， 则|＋＋|的最大值是________． 答案：1＋ 说明：考查平面向量的坐标表示，平面几何图形的性质 ***18.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是． 答案：. 说明：考查平面向量的坐标表示，平面几何图形的性质 **19．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上． (1)若＋＋＝0，求||； (2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 答案：(1) 2； （2）m－n＝－x＋y，m－n的最大值为1. 说明：考查向量与线性规划的结合． **20．在等腰梯形ABCD中,已知AB//CD，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°,动点E和F分别在线段BC 和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值. 答案： 解析：因为，， ，， 当且仅当即时的最小值为. 说明：考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式. **21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)··＋c·＝0. (1)求角B的大小； (2)若b＝2，试求·的最小值． 解 (1)因为(2a＋c)·＋c·＝0， 所以(2a＋c)accos B＋abccos C＝0， 即(2a＋c)cos B＋bcos C＝0， 所以(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝0， 即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0， 因为sin(B＋C)＝sin A≠0， 所以cos B＝－，所以B＝. 因为b2＝a2＋c2－2accos，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4，所以·＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，所以·的最小值为－2. 说明：考查向量数量积，解三角形. ***22．已知M(0，－2)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴上，点P在直线AB上，且满足＝，·＝0. (1)当A点在x轴上移动时，求动点P的轨迹C的方程； (2)过(－2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程． 解 (1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)， 则＝(x－xA，y)，＝(－x，yB－y)． 由＝得xA＝2x，yB＝2y. 又＝(xA,2)，＝(x－xA，y)， 即＝(2x,2)，＝(－x，y)． 由·＝0得x2＝y(y>0)． (2)易知直线l的斜率必存在， 故设其直线方程为y＝k(x＋2)， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 因为y′＝2x，故两切线的斜率分别为2x1、2x2. 由方程组得x2－kx－2k＝0， x1＋x2＝k，x1x2＝－2k. 由l1⊥l2时，4x1x2＝－1，∴k＝. ∴直线l的方程是y＝(x＋2). 说明：考查向量数量积，曲线与方程. 23．在△中，若，则的值为． 答案： 解析：设，所以 所以 即 所以 所以． 24．如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为________． 答案： 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 点在上，则，设， 则，即， 据此可得，且，， 由数量积的坐标运算法则可得： ， 整理可得：， 结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值．
教 学 反 思
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