【教案】三角函数与解三角形之五种题型

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课 题 三角函数与解三角形之五种题型
教学目标 学会三角函数与解三角形之五种题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
类型一：同角三角函数求值 一．前测回顾 1．(1) 若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于_____________． 答案：－． （2）已知tan＝2，则＝，sin2－2sincos＋2＝ ． 答案：；2． (3)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则cosα－sinα＝ ，tanα＝ ． 答案：－；－ 解析：sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，且sinα＋cos2α＝1，得到sinα＝，cosα＝－ 二、方法联想 1．三角函数求值 (1) 知一求其余三角函数值； (2)关于sinα与cosα的齐次式，同除cos或cos2，如果不是齐次，借助1＝sin2α＋cos2α构造齐次． (3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα间关系式 注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围． 三、方法应用 例1．已知为锐角, (1) 求的值; (2) 求的值. 解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 例2．在中，内角A，B，C的对边分别为，，.已知. （1）求的值； （2）若，求的面积. 解：（1）因为，得. 又, 所以. 由，得，于是， 由及正弦定理，得.设得面积为，则. 例3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos A＝，tan(B－A)＝. (1) 求tan B的值； (2) 若c＝13，求△ABC的面积． 解析：(1) 在△ABC中，由cosA＝，知A为锐角， 所以sinA＝＝， 所以tanA＝＝， 所以tanB＝tan[(B－A)＋A]＝＝＝3. (2) 由(1)知tanB＝3， 所以sinB＝，cosB＝， 所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝. 由正弦定理＝， 得b＝＝＝15 所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×15×13×＝78. 例4．已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1) 求cos 2α的值； (2) 求tan(α－β)的值． 解： (1) 因为tanα＝＝，所以sinα＝cosα. 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 因此cos2α＝2cos2α－1＝－. (2) 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－， 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 例5．已知α∈，sin α＝. (1) 求sin的值； (2) 求cos的值． 解：(1) 因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－， 故sin＝sincos α＋cossin α＝(cos α＋sin α)＝×＝－. (2) 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝cos2α－sin2α＝， 所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝－×＋×＝－. 例6．如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且. 将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记A(x1，y1)，B(x2，y2). （1）若，求； （2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D， 记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若， 求角的值. 解：（1）由三角函数定义，，， 因为，，所以. . （2）依题意，，， 所以， , 依题意，，化简得， 因为，则，所以，即. 四、归类巩固 *1．已知sinα＝，并且α是第二象限角，则cosα的值为 ． (已知三角函数正弦值，求余弦值) 答案：－． *2．已知tanα＝3，且π＜α＜，则cosα－sinα＝ ． （已知三角函数正切值，求正弦、余弦值） 答案：． 解析：＝3且 sinα＋cos2α＝1，得到sinα与cosα的值 ．． **3．若，则的值为 ． （已知三角函数正切值，求二倍角正弦） 答案：． **4．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝ ． (构造方程组求解sinα，cosα) 答案：2． 解析：结合sinα＋cos2α＝1，得到sinα与cosα的值． ***5．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点横坐标为， 则的值为 ． 答案： 解析：令，即，所以， 因为，所以，即，从而． 类型二：三角函数的图像与性质 前测回顾 1．（1） 函数y＝的定义域为 ． 答案：[kπ＋ ，kπ＋](k∈Z)． （2） 函数y＝sin(2x＋)，x∈[0，]的值域为 ． 答案：[－ ，1]． （3）已知＞0，在函数y＝2sinx与y＝2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则的值为 ． 答案：． （4） 函数y＝2cos(3x－)单调减区间为． 答案：[＋，＋](k∈Z)． （5）函数y＝sin(2x＋) 的对称轴为；中心对称点为 ．． 答案：x＝＋(k∈Z)；(－，0)(k∈Z)； 2．（1）函数y＝2sin2x＋sinxcosx＋3cos2x的值域为 ． 答案：[，]． （2）函数y＝4sin2x－12cosx－1，[－，]的值域为 ． 答案：[－13，8]． （3）函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2,[0，π]的值域为 ． 答案：[，3＋]． （4）函数y＝的值域为 ．． 答案：[0，＋∞)． 提示：方法一：看作斜率，数形结合处理； 方法二：导数法处理． 3．（1）．已知函数的图象关于直线对称，则的值是 ． 答案： （2）已知函数y＝Asin(2x＋φ)的对称轴为x＝，则φ的值为 ． 答案：kπ＋(k∈Z)． 已知函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数，则φ的值为 ． 答案：kπ＋(k∈Z)． 将函数的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰关于坐标原点对称． 答案： . （5）若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为 ． 答案： （6）已知函数．若为函数的一个零点，为函数图象的一条对称轴，则的值为 ． 答案： 方法联想 1．三角函数的定义域 方法：根据式子有意义的条件，列不等式组，解不等式求定义域． 2．三角函数的值域 方法1：转化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，先求ωx＋φ的范围，再根据正弦函数的图象求出值域 如y＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的形式，先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为 y＝Asin(2ωx＋φ)形式求值域． 方法2：利用换元法转化为二次函数值域问题． 如:含有?sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；含有sinx±cosx，sinxcosx： 形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式： 方法1：化为sin(ωx＋φ)＝M形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|≤1，|cosx|≤1)求值域． 方法2：导数法 3．三角函数对称问题 方法：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) 若x＝x0为对称轴f(x0)＝±A． 若(x0，0)为中心对称点f(x0)＝0． 推论：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) 若函数y＝f(x)为偶函数f(0)＝±A．若函数y＝f(x)为奇函数f(0)＝0． 4．求f(x)＝Asin(x＋)＋B(A＞0)的解析式 方法：待定系数法 步骤：（1）由周期T＝得； （2）由得， （3）将点代入求(尽量代入最高点或最低点)． 方法应用 例1．已知函数 f(x)＝(cosx＋sinx)2－2sin2x. (1) 求函数 f(x)的最小值，并写出 f(x))取得最小值时自变量x的取值集合； (2) 若x∈，求函数 f(x)的单调增区间． 解：(1) f(x)＝(cosx＋sinx)2－2sin2x ＝3cos2x＋2sinxcosx＋sin2x－2sin2x＝＋－sin2x ＝cos2x－sin2x＋2＝2cos＋2. 当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最小值0, 此时自变量x的取值集合为. (2) 由(1)知f(x)＝2cos＋2. 令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 又x∈，令k＝－1，x∈[－，－]，令k＝0，x∈， 所以函数f(x)在上的单调增区间是和. 例2．已知函数f(x)＝1－2sin(x＋)·[sin(x＋)－cos(x＋)]． (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 当x∈[－，]时，求函数f(x＋)的值域． 解：(1) f(x)＝1－2sin(x＋)[sin(x＋)－cos(x＋)] ＝1－2sin2(x＋)＋2sin(x＋)cos(x＋) ＝cos(2x＋)＋sin(2x＋)＝sin(2x＋)＝cos 2x.所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2) 由(1)可知f(x＋)＝cos(2x＋)， 由于x∈[－，]，所以2x＋∈[－，]， 所以cos(2x＋)∈[－，1]， 所以f(x＋)的值域为[－1，]． 例3．已知函数f(x)＝－sin(2ax＋)＋＋b(a>0，b>0) 的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为. (1) 求a，b的值； (2) 求f(x)在[0，]上的最大值和最小值． 解：(1) 因为f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为， 所以f(x)的周期为，所以＝，a>0，所以a＝2, 此时f(x)＝－sin(4x＋)＋＋b. 因为f(x)的图象与x轴相切，所以|b＋|＝，b>0, 所以b＝－. (2) 由(1)可得f(x)＝－sin(4x＋)＋， 因为x∈，所以4x＋∈， 所以当4x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值为； 当4x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值为0. 例4．已知，． （1）求的值； （2）设函数，，求函数的单调增区间． 解：（1）由，得， 即，所以． 因为，所以，所以，即． （2）由（1）知，， 所以 ． 令， 得，所以函数的单调增区间是，． 例5．将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线 对称，则的最小值为 ． 答案： 解析：将的图象向左平移个单位得到， 因为图象关于直线对称，所以， 所以，即，，所以的最小值为． 四、归类巩固 *1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是______． 答案：2．（利用三角函数图像） 解析：，得到y＝sin，做出图像． **2．定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______． 答案：7(考查三角函数图像)． *3．函数y＝|sinx|，(x∈[，2])的单调递增区间是______． 答案：[，]；(考查三角函数的图像和性质)． **4．已知函数f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|＜π）的部分图象如图所示，则f(0)＝________． 答案：－1；(考查三角函数的图象)． **5．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则以函数与的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 ． 答案： . ***6．将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为______． 答案：(考查三角函数图像变换)． *7．函数y＝2sin(x－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为　　　　　． 答案：2＋；(考查三角函数的最值)． **8．若函数f(x)＝sin(x＋θ)(0＜θ＜)的图象关于直线x＝对称，则θ＝______． 答案：；(考查三角函数的对称性)． ***9． 若将函数f(x)＝sin（2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________． 答案：　； (考查三角函数图象变换，三角函数的奇偶性)． *10．函数f(x)＝sinx（≤x≤）的值域为______． 答案：[，1](考查三角函数值域)． **11．设0＜x＜，则函数的最小值为______． 答案：（考查正弦函数、余弦函数的图象和性质）． 解析：令t＝sinx（0，1），利用y＝＋的单调性得到最小值． ***12． 将函数f(x)＝sin2x的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则______． 答案：(考查三角函数图像变换，最值)． *13．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，]上的最大值是，则ω＝________． 答案：(考查三角函数单调性,最值)． **14．将函数f(x)＝2sin(2x－)的图象向左平移m个单位(m＞0)，若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为_______．． 答案：；(考查三角函数的图象与对称性)． ***15．已知过原点的直线与函数y＝|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则的值为________． 答案：1(考查三角函数图像)． 16．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 答案：． 解析：因为f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数， 所以f(x)＝f(－x)恒成立， 即sin(x＋θ)＋cos(x－θ)＝sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ) 展开并整理得(cosθ＋sinθ)sinx＝0恒成立． 所以cosθ＋sinθ＝0，即tanθ＝－， 又θ∈[0，π]，所以θ＝． 17．【2018江苏】已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________． 答案：－　 解析：由题意可知，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z. 又因为φ∈，所以k＝0，φ＝－. 18．函数的图象如图所示， 则的值为 ． 答案：2+ 19．函数，的单调减区间为 ． 答案：． 解析：，由，及 得函数的单调减区间为． 类型三：两角和与差的三角函数 前测回顾 1．= ． 答案：． 2．已知,则 ． 答案：． 解析：把两角和与差的正弦公式中的,分别看成一个整体，通过解方程组，求出和，作比，即可求出 3． ． 答案：． 解析：因为，联想公式,逆用两角和正切公式， 并进行变形得：． 4.已知α∈，β∈，cos α＝，sin(α＋β)＝－，则cos β＝__________． 答案：－　 解析：由α∈，cos α＝，得sin α＝.又β∈，α∈，sin(α＋β)＝－， 得cos(α＋β) ＝－，则cos β＝cos[(α＋β) －α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－. 5．已知函数（），且（），则 ▲ ． 答案： 解析：．由，知，因为，所以， 所以． 方法联想 如何根据题目中的三角函数结构形式，选择合适的方法来解决问题？ 分析结构：认真分析已知式子和所求式子的整体结构之间的异同点，帮助我们找到变形的方向； 寻找规律：寻求函数名之间、角之间的差别和联系为我们选用正确的方法做好前期准备； 巧用方法：熟练掌握解决三角求值、化简的常用方法：切化弦法、升降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等，熟悉角的拆拼、变换的技巧． 方法应用 例1．在锐角三角形中，角的对边为，已知，， （1）求； （2）若，求. 解：（1）在锐角三角形中，由，得， 所以. 由，得. （2）在锐角三角形中，由，得，， 所以， 由正弦定理，得. 例2．在中，角的对边分别为．已知． （1）求角的值； （2）若，求的值． 解：（1）由正弦定理可知，， 即，因为，所以， 所以，即， 又，所以． （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ． 例3．中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S． （1）若，求A的值； （2）若∶∶＝1∶2∶3，且，求b． 解．（1）由题意知，,, 所以， 即，， 因为为三角形内角，所以； （2）设，，，由题意知，． 因为， 则， 解得，则，，从而，， 所以，则 四、归类巩固 **1． ． 答案：2． ***2．已知,则 ． 答案：． 解析：观察已知和所求式子的特点，利用,再利用弦化切，求出 3．如图，三个相同的正方形相接，则的值为 ． 答案： 解析：设最右边的正方形的右下角顶点为， 则． 4．在△ABC中，，，则的值为 ． 答案：1 解析：由得，， 即，所以， 所以． 类型四：三角恒等变换 一、前测回顾 1．已知cos(＋)＝，∈(0，)，则cos＝ ；sin(＋)＝ ；cos(2＋)＝ ． 答案：（＋2）；；（2－）． 2．已知cos(＋x)＝，＜x＜，则＝ ． 答案：． 3设为锐角，若，则 ． 答案：. 解析：因为α为锐角，为正数， 所以是锐角，，得， 又因为，所以. 二、方法联想 1．三角变换基本想法 （1）角：观察角的联系，实现角的统一． （2）名：弦切互化，异名化同名． 形：公式变形与逆用． 幂：平方降幂，根式升幂． 解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择． 常见的角的变形有：（1）可化为特殊角；（2）可以化为同角；（3）可分析角与角之间的关系，如和，差，倍等等；（4）可实现条件、结论中角的转化． 注意点：判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围． 三、方法应用 例1．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f'(x)是f(x)的导函数． （1）求函数F(x)＝f(x)f'(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期； （2）若f(x)＝2f'(x)，求sin(2x＋)的值． 解：（1）因为f'(x)＝cosx－sinx， 所以F(x)＝f(x)f'(x)＋f2(x)＝cos2x－sin2x＋＋2sinxcosx ＝＋sin2x＋cos2x＝＋2sin(2x＋)． 所以当2x＋＝＋2kπ，即x＝＋kπ(k∈Z)时，F(x)max＝＋2． 函数F(x)的最小正周期为T＝＝π． （2）因为f(x)＝2f'(x)，所以sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，即cosx＝3sinx，故tanx＝． 于是sin(2x＋)＝(sin2x＋cos2x)＝(＋) ＝(＋)＝· ＝·＝． 例2．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若在区间上的最大值为，求的最小值． 解：（1）， 所以的最小正周期为． （2）由（1）知， 因为，所以． 要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1． 所以，即．所以的最小值为． 例3．在中，三个内角分别为，已知． （1）若，求证：． （2）若，且，求． 解：.因为，得， 即，因为，且， 所以，所以. （1）因为，，，所以 由正弦定理知，即，即 （2）因为，所以， 因为，所以， 所以 四、归类巩固 **1．计算 ＝． 答案：2． **2．已知tan(＋)＝．则＝． 答案：－． **3．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β＝________． 答案：． **4. 若，且，则的值为 ． 答案：3、　　 **5. 设f(x)＝sin2x－cos xcos，则f(x)在上的单调增区间为________． 解析：.　解析：f(x)＝sin2x－cos xcos＝sin2x＋sin xcos x＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.由x∈，则当k＝0时，－≤x≤，即0≤x≤，即函数f(x)在上的单调递增区间为 **6．已知函数f(x)＝cos2x＋cos2(x＋)． （1）求f(x)最小正周期和单调递增区间； （2）求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值． 解析：（1）f(x) 周期 单调递增区间： 所以单调递增区间：． （2）． 类型五：解三角形 前测回顾 1．（1）在△ABC中，b＝，B＝60°，c＝1，则C＝________．；a＝________．． 答案：30°；2． （2）在△ABC中，A＝1200，a＝7，b＋c＝8，则b＝________．；c＝________．． 答案：3或5；5或3． （3） 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD， AD＝10， AB＝14， BDA＝60， BCD＝135 ，则BC＝________．． 答案：8． （4）在△中，已知，，且的面积 为，则边长为________．． 答案：．. 2．（1）在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状为________．． 答案：等腰或直角三角形． （2）在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则△ABC的形状为________．． 答案：等腰三角形． 二、方法联想 1．解三角形 （1）三角形的几个关系 ①角角关系：A＋B＋C＝π； ②边角关系：正弦定理和余弦定理，大边对大角； ③边边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． （2）解三角形方法 ①三角形的六个量中只要知道其中三个量（至少已知一条边）便可以求出其他三个量； ②正弦定理运用的条件是：两角一边，两边和其中一边说对的角； 余弦定理运用的有条件是：两边一夹角，三边； 其中两边和其中一边说对的角的条件，既可以用正弦定理也可以用余弦定理，但都必须注意“一解”和“两解”的问题． 2．与三角形有关的三角函数问题 具体做法： （1）A＋B＋C＝π可消元； （2）遇到正弦要当心！优先考虑可能出现的一解和两解问题； （3）边角转化，利用（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或（2）cosA＝等进行边角互化，即边化角或角化边． 说明：在解答题中，由于考三角函数的变形较为常见，所以，常常“边化角”，而在填空题中，随意． 三、方法应用 例1、在锐角△中，角所对的边分别为且 （1）求角的大小； （2）若为的中点，求线段的长. 解．（1）由正弦定理，得，　　　　　　　 因为b＝4，，所以，　　　 又，所以．　　　　　　　　　 （2）若b＝4，c＝6，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋36－2×24×＝28， 所以a＝．　　　　　　　　　　　　　　 又因为，所以，从而， 因为为的中点，所以＝＝． 在由余弦定理，得， 即，所以，．…………14分 例2、在中，角的对边分别为，为边上的中线． （1）若，，，求边的长； （2）若，求角的大小． 解：（1）在中，因为，所以由余弦定理， 得． 故在中，由余弦定理，得， 所以． （2）因为为边上的中线，所以，所以 ，得． 则，得，所以． 例3、已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，bsinC＝ccosB＋c. (1) 求角B的大小； (2) 若b2＝ac，求＋的值． 解：(1) 由正弦定理得sinBsinC＝cosBsinC＋sinC， 在△ABC中，因为sinC>0，所以sinB－cosB＝1，所以sin＝. 因为0教 学 反 思


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