【教案】三角函数与解三角形之综合题型
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个性化教学辅导教案
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课 题 三角函数与解三角形之综合题型
教学目标 学会三角函数与解三角形之综合题型的常规解法
教学过程
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一、例题分析 例1． 设函数f(x)＝sin(x－)－2cos2x＋1． （1）求f(x)的最小正周期； （2）若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x[0，]时y＝g(x)的最大值． 答案：（1） f(x)的最小正周期为8； （2）最大值为． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．求三角函数周期问题，必须先将解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式． 2．求三角函数的最值(值域)问题． 因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以问题可以转化为求f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[，2]上的最值． （2）方法选择与优化建议： 1．采用展开、降幂等方法“化一”．将f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，再使用周期公式． 2．求三角函数的最值(值域)问题． 三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多．但是归纳起来常见的有下面三种类型： ①化为只含有一个一次的三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，根据题中x的范围求出ωx＋φ的范围，再确定sin(ωx＋φ)或cos(ωx＋φ)的最值(值域)； ②借助公式将函数先化为y＝f(sinx)型，通过换元法，即令t＝sinx，构造关于t的函数，并根据x的范围确定t的取值范围，再求f(t)的最值(值域)； ③函数表达形式中同时出现sinx＋cosx (sinx－cosx)与sinxcosx时，可以利用(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx或(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx的关系进行换元，即令t＝sinx±cosx＝sin(x±)，转化为关于t的函数，再求f(t)的最值(值域)． 例2． 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间[0，]上是单调函数． （1）求φ的值；（2）求ω的值． 答案：(1)φ＝；(2)ω＝或2． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．三角函数图象轴对称问题． 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，说明f(x)的图象关于y轴对称． 2．三角函数图象中心对称问题． 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)图象关于点M（，0）对称． 方法选择与优化建议： 1．从f(x)为偶函数很容易得到f(0)＝sinφ＝±1，从而有φ＝kπ＋(k∈Z)． 常用的结论有： ①若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数则有φ＝kπ (k∈Z)； ②若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ (k∈Z)；若为奇函数则有φ＝kπ＋(k∈Z)； ③若y＝A tan(ωx＋φ)为奇函数则有φ＝kπ (k∈Z)． 这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆． 2．从f（）＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再结合函数的单调性推导出ω的值； 3．对于y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系； y＝A sin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无穷多个 对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ (k∈Z)解出． 4．对于y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)来说，相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 例3．已知向量a＝(2sin(x＋)，2)，b＝(2cosx，0)(＞0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为． [来源:．Com] （1）求函数f(x)在[0，2]上的单调递增区间； （2）将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，b]上至少含有10个零点，求正数b的最小值． 答案：（1）f(x)＝2cos(2x＋)＋，单调递增区间为[，]和[，]； （2）g(x)＝2cos2x＋，令g(x)＝0，得x＝k＋或x＝k＋(kZ)，则g(x)在每个周期上有两个零点，所以b不小于第10个零点的横坐标即可，即，b的最小值为4＋＝． 【教学建议】 （1）主要问题归类与方法： 1．求三角函数单调区间问题，先将解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，具体步骤为：①将ω化为正；②将ωx＋φ成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．三角函数的周期与零点问题，先求出g(x)在每个周期上的零点个数，再确定区间端点的最小值． （2）方法选择与优化建议： 1．解决三角函数单调性问题时务必注意避免以下错误： ①ω没有化为正数； ②存在多个单调区间时错用“∪”联结； ③遗漏“k∈Z”； ④求解三角函数的单调区间时忘记考虑函数自身的定义域． 2．首先要注意到函数的最小正周期为，确定函数在每个周期内的的零点个数，这里容易将b的最小值错求为第五个周期的终点． 例4． 已知a＝(1，－sinα)，b＝(sin(α+2β)，2)，a·b＝0． （1）若sinβ＝，β是钝角，求tanα的值；（2）求证：tan(α+β)＝3tanβ． 解答：a＝(1，－sinα)，b＝(sin(α+2β)，2)，a·b＝0， 所以sin(α+2β)－2 sinα＝0． －； （2）因为sin(α+2β)＝2 sinα，即sin[(α+β)+β]＝2sin[(α+β)－β] 得sin(α+β)cosβ+ cos (α+β)sinβ＝2[sin(α+β)cosβ－cos(α+β)sinβ] 移项得sin(α+β)cosβ＝3 cos(α+β)sinβ， 等式两边同时除以cos(α+β)cosβ 得 tan(α+β)＝3tanβ 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．三角恒等变形主要是变角，变式，这个顺序也就决定解题的大的思路； 2．变角是三角恒等变形中重要的第一步，根据问题的特征，主要是角的形式的统一． （2）方法选择与优化建议： 1．三角函数的求值问题与代数问题的求知一致，根据问题的特点可以直接计算，也可以间接计算（解方程）． 2．三角恒等变形，首先应该变角，本题解题的关键，就是实现已知角中的形式，向未知角中的形式转化． 例5．已知,且． （1）求的值； （2）求的值． 解 （1）． （2）． 解析：，
因为所以． （2）因为，且所以
又，∴,，
因为，．
所以,， 所以 又，
∴． 〖教学建议〗 （1)主要问题归类与方法： 问题1、cos2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα． 问题2、由于cos2α＝cos2α－sin2α， 这可以化为tanα的齐次式． 方法选择与优化建议： 对于问题1，选择以上三个公式中的任何一个都可以，但在从α(0，π)，tanα＝2求cosα、sinα时要注意判断它们的符号． 对于问题2，cos2α＝cos2α－sin2α＝ ＝，处理起来更加便捷． （2)主要问题归类与方法： 求角的问题 求角就需要选择一个关于2α－β的三角函数，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，关键在于这个三角函数值可以求．另外，2α－β的范围不仅影响角的结果，也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个三角函数． 方法选择与优化建议： 通过推理，我们得到2α－β(－，)，所以可以选择计算sin(2α－β)值，也可以选择计算tan(2α－β)的值，但不宜选择计算cos(2α－β)，因为在(－，)上，正弦函数、正切函数都是单调的，而余弦函数却是不单调的． 例6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． 求的值； （2）若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的大小． 答案：（1）＝2；（2） b＝2． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．边角互化问题，方法有： ①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角； ②利用cosA＝等将余弦化为边； ③ccosB＋bcosC＝a等化角为边． 2．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；② 利用余弦定理求边． （2）方法选择与优化建议： 1．对于等式＝的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sinC＝2sinA； 如果利用cosA＝等将等式＝的左边余弦化为边来做，运算量较大， 所以不选择方法②． 由于等式＝可以化为bcosA＋acosB＝2(bcosC＋ccosB)，即c＝2a，所以也可以选择方法③． 2．因为从第一问已经可以得到c＝2a，又a＋b＋c＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b，利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便． 例7．已知△ABC的内角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足tanAtanB－tanA－tanB＝． （1）求∠C的大小； （2）若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a2＋b2的取值范围． 答案：（1）；（2）(，8)． 〖教学建议〗 （1)主要问题归类与方法： 1．求三角形中的某个角的大小：利用三角公式求这个角的某一三角函数． 2．求代数式的范围问题．利用函数的知识，转化为求函数值域． （2)方法选择与优化建议： 1．由于本题中涉及到的三角函数为正切，所以考虑求角的正切值，从而求角的大小； 三角恒等变形中应注意公式的变形使用，解三角形问题时要注意利用隐含条件A＋B＋C＝． 2．利用正弦定理将a2＋b2表示为角A或角B的三角函数关系式，并将之变形整理为f(x)＝Asin(x＋)＋B的形式求范围． 本题中需注意的是“△ABC为锐角三角形”必须保证所有的角都是锐角，这是求范围的关键所在． 例8：如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min．在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量cos A＝，cos C＝． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 答案：(1) AB的长为1 040 m．； (2)当t＝ min时，甲、乙两游客距离最短． (3)乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内． 〖教学建议〗 （1)主要问题归类与方法： 1．求角及边长问题，方法为先利用两角和差关系求sin B，再利用正弦定理求边长AB． 2．余弦定理应用问题，其中涉及二次函数最值问题． 方法为利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数． 3．解三角形的实际应用问题，方法为利用正弦定理求BC，将两位游客互相等待的时间不超过3分钟用不等式表示，利用两者的时间差所在范围求解速度范围． （2)方法选择与优化建议： 1．已知两角一边或两边和一边对角利用正弦定理解三角形． 注意点有：利用两边和一边对角求另一边的对角时容易忽视解的情况的判断． 2．已知两边和夹角，常用余弦定理求出第三边． 3．求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答． 二、巩固练习 1.【2019苏南五校联考】已知函数y＝sin(ωx－)(ω＞0)相邻两个零点之间的距离是，若将该函数的图像向左平移个单位，则所得函数的解析式为 ． 【答案】 2.【2019启东】已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－cosωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间[－，]上是单调函数，则ω的取值集合为 . 【答案】 3.【2019百校大联考】将函数y＝的图象向右平移φ个单位后，所得的函数图象关于原点成中心对称，则φ＝ ． 【答案】 4.【2018苏中四校联考】已知函数在时取得最大值，则的值是 . 【答案】 5.【2018苏中四校联考】在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点,将角的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合 ,则的值为 . 【答案】 6.【2018苏北四市】将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线对称，则的最小值为 ． 【答案】 7.【2018如皋】若函数的部分图像如图所示，则 表示简谐振动的震动量时，相位为_____________. 【答案】 8.【2018徐州】已知函数，．若是奇函数，则的值为 ． 【答案】-1 9.【2019启东】设为锐角，若，则的值为 . 【答案】 10.【2019启东期初】若，则= ． 【答案】 11.【2018如皋】已知，，则 ． 【答案】 12.【2018泰州】已知且，则 . 【答案】 13.【2019苏南五校联考】已知锐角的终边经过点,则_____ ____． 【答案】 14.【2019淮安】已知，，则的取值集合为 ． 【答案】 15.【2018泰州】已知，则的值为 . 【答案】3 16.【2019淮安】在锐角三角形ABC中，的最小值为 ． 【答案】25 17.【2018如皋】锐角三角形ABC中，若，则最小值是 ． 【答案】8 **18． 在中,内角所对的边分别是又,且,则的面积的最大值是； 答案：(考查正,余弦定理)． *19．的内角的对边分别为，若，，，则． 答案： (考查正弦定理,两角和与差公式)． **20．已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________． 答案： 4＋4(考查余弦定理,基本不等式)． **21．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________． 答案：2(考查正弦定理,两角和与差公式)． **22．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,＞0)若f(x)在区间[，]上具有单调性,且,则f(x)的最小正周期为． 答案：(考查三角函数图像性质及周期性)． ***23．若函数y＝cos2x＋sin2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为____________． 答案：(－2，－1)；(考查两角和差的三角函数关系式，三角函数的零点)． 24．已知，且 *（1）求的值； **（2）求 答案： （1）（2）(考查两角和与差公式,二倍角公式)． 25．在中，已知． *（1）求的长； **（2）求的值． 答案：（1）(考查余弦定理)． （2）(考查正弦定理，二倍角公式)． 26． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 已知b+c=2a cos B． **（1）证明：A=2B； **（2）若△ABC的面积，求角A的大小． 解析：（1）由正弦定理得：, 故, 于是． 又,故,所以 或， 因此(舍去)或, 所以，． （II）由得，故有 ， 因，得． 又，，所以． 当时，； 当时，． 综上，或． ( 考查正弦定理，两角和与差公式)． 27．已知函数(x)＝2cos(2x＋)－cos2x＋1． （1）求f(x)的对称中心 （2）若锐角△ABC中角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝0，求的取值范围． 解析：（1） 对称中心为： 对称中心为： （2）由已知可得： （舍）或 因为为锐角三角形 (考查三角的变换,正弦定理，三角函数的性质)． 28．在△中，为锐角，且． （1）若，，求的长； （2）若，求的值． 解：（1）因为，， 所以． ……3分 在△中，由余弦定理得，， 解得，所以的长为． 由（1）知，， 所以． 在△中，， 所以． 29. 在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________． 答案：8 解析：因为sin A＝2sin Bsin C，所以sin(B＋C)＝2sin Bsin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 等式两边同时除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C. 又因为tan A＝－tan(B＋C)＝， 所以tan Atan Btan C－tan A＝2tan Btan C， 即tan Btan C(tan A－2)＝tan A. 因为A，B，C为锐角，所以tan A，tan B，tan C>0，且tan A>2， 所以tan Btan C＝，所以原式＝. 令tan A－2＝t(t>0)，则＝＝＝t＋＋4≥8， 当且仅当t＝2，即tan A＝4时取等号． 故tan Atan Btan C的最小值为8. 30. 若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________． 答案： 解析：由题意及正弦定理知a＋b＝2c， 则cos C＝＝＝ ＝－≥－＝，当且仅当a＝时取等号． 33．在平面四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，△ABC为等边三角形，则△BCD面积的最大值是 ． 答案：4＋4． 解析：设△BCD的面积为S， 则S＝×4×BC×sin∠BCD＝2BCsin(∠ACD＋) ＝BCsin∠ACD＋BCcos∠ACD 设∠ADC＝α，则＝， 于是ACsin∠ACD＝2sinα，即BCsin∠ACD＝2sinα， 又BCcos∠ACD＝AC×＝＝＝4－2cosα， 所以S＝2sinα＋(4－2cosα)＝4sin(α－)＋4， 从而S的最大值为4＋4，此时α＝． 31．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)·＋c·＝0． （1）求角B的大小； （2）若b＝2，试求·的最小值． 解：（1）因为(2a＋c)·＋c·＝0， 所以(2a＋c)accosB＋cabcosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0． 由正弦定理得(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0， 即2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0，亦即2sinAcosB＋sinA＝0， 因为sinA≠0，故cosB＝－． 因为B∈(0，π)，所以B＝． （2）由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos，即12＝a2＋c2＋ac． 因为12＝a2＋c2＋ac≥3ac，所以ac≤4， 所以·＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以·的最小值为－2． 32．在△ABC中，角，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求c的值． 解：（1）在△ABC中，因为，，， 由正弦定理得，， 于是，即， 又，所以． （2）由（1）知，， 则，， 在△ABC中，因为，，所以． 则 ． 由正弦定理得，． 33.【2019苏南五校联考】已知a＝(sin2α，3)，b＝(4，cos2α)，＜α＜，－＜β＜0，且a⊥b． （1）求cos2α的值； （2）若cosβ＝，求α－β的大小． 【答案】（1） 因为，所以，所以，得， 因为，所以，所以 …………6分 说明：第（2）问必须先写公式再代值计算，缺少一步本段0分，后面有相关性的逻辑段直接0分。 （2）由（1）知，因为所以，； ……………8分 因为，， 所以， ……………10分 因为，，所以， 所以= 所以 ……………………14分 34.【2019淮安】设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，， 且． （1）求A的大小； （2）若，求的值． 解：（1）因为，所以，即．…… 2分 由正弦定理得，， 所以． …… 4分 在△ABC中，，，所以． 若，则，矛盾． 若，则． 在△ABC中，，所以． …… 7分 （2）由（1）知，，所以． 因为，所以． 解得（负值已舍）． …… 9分 因为，所以或． 在△ABC中，又，故，所以． 因为，所以． …… 11分 从而 ． …… 14分 35.【2019苏中四校联考】已知向量，且 若，求的值； 若，求的值. 【答案】解（1）因为，所以，所以 …………………………3分 又因为，所以，所以或，所以或 ………7分 （漏1解扣2分） 因为，所以，所以 ………… …10分 所以 …………………………14分 （忘记开根号扣2分） 36.【2019启东】设的内角所对的边分别为,若, （1）求的值；（2）求的值为. 【答案】解:1）在中,, 由正弦定理,得 由余弦定理=-------7分 2） -------10分 -------14分 37.【2019百校大联考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）求sinA＋sinC的取值范围． 【答案】（1）（2） 38.【2018启东】已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，角的对边分别为.若锐角满足，且，求的面积. 【答案】(1) ……………… 5分 所以，函数的最小正周期. …………………………………… 7分 (2) 因为A为锐角，所以. 所以，，得 ……………………… 9分 由正弦定理， ……………………… 11分 所以，. 所以………………… 14分
教 学 反 思
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课 题 三角函数与解三角形之综合题型
教学目标 学会三角函数与解三角形之综合题型的常规解法
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一、例题分析 例1． 设函数f(x)＝sin(x－)－2cos2x＋1． （1）求f(x)的最小正周期； （2）若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x[0，]时y＝g(x)的最大值． 答案：（1） f(x)的最小正周期为8； （2）最大值为． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．求三角函数周期问题，必须先将解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式． 2．求三角函数的最值(值域)问题． 因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以问题可以转化为求f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[，2]上的最值． （2）方法选择与优化建议： 1．采用展开、降幂等方法“化一”．将f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，再使用周期公式． 2．求三角函数的最值(值域)问题． 三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多．但是归纳起来常见的有下面三种类型： ①化为只含有一个一次的三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，根据题中x的范围求出ωx＋φ的范围，再确定sin(ωx＋φ)或cos(ωx＋φ)的最值(值域)； ②借助公式将函数先化为y＝f(sinx)型，通过换元法，即令t＝sinx，构造关于t的函数，并根据x的范围确定t的取值范围，再求f(t)的最值(值域)； ③函数表达形式中同时出现sinx＋cosx (sinx－cosx)与sinxcosx时，可以利用(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx或(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx的关系进行换元，即令t＝sinx±cosx＝sin(x±)，转化为关于t的函数，再求f(t)的最值(值域)． 例2． 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间[0，]上是单调函数． （1）求φ的值；（2）求ω的值． 答案：(1)φ＝；(2)ω＝或2． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．三角函数图象轴对称问题． 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，说明f(x)的图象关于y轴对称． 2．三角函数图象中心对称问题． 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)图象关于点M（，0）对称． 方法选择与优化建议： 1．从f(x)为偶函数很容易得到f(0)＝sinφ＝±1，从而有φ＝kπ＋(k∈Z)． 常用的结论有： ①若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数则有φ＝kπ (k∈Z)； ②若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ (k∈Z)；若为奇函数则有φ＝kπ＋(k∈Z)； ③若y＝A tan(ωx＋φ)为奇函数则有φ＝kπ (k∈Z)． 这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆． 2．从f（）＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再结合函数的单调性推导出ω的值； 3．对于y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系； y＝A sin(ωx＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无穷多个 对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ (k∈Z)解出． 4．对于y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)来说，相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 例3．已知向量a＝(2sin(x＋)，2)，b＝(2cosx，0)(＞0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为． [来源:．Com] （1）求函数f(x)在[0，2]上的单调递增区间； （2）将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在[0，b]上至少含有10个零点，求正数b的最小值． 答案：（1）f(x)＝2cos(2x＋)＋，单调递增区间为[，]和[，]； （2）g(x)＝2cos2x＋，令g(x)＝0，得x＝k＋或x＝k＋(kZ)，则g(x)在每个周期上有两个零点，所以b不小于第10个零点的横坐标即可，即，b的最小值为4＋＝． 【教学建议】 （1）主要问题归类与方法： 1．求三角函数单调区间问题，先将解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，具体步骤为：①将ω化为正；②将ωx＋φ成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．三角函数的周期与零点问题，先求出g(x)在每个周期上的零点个数，再确定区间端点的最小值． （2）方法选择与优化建议： 1．解决三角函数单调性问题时务必注意避免以下错误： ①ω没有化为正数； ②存在多个单调区间时错用“∪”联结； ③遗漏“k∈Z”； ④求解三角函数的单调区间时忘记考虑函数自身的定义域． 2．首先要注意到函数的最小正周期为，确定函数在每个周期内的的零点个数，这里容易将b的最小值错求为第五个周期的终点． 例4． 已知a＝(1，－sinα)，b＝(sin(α+2β)，2)，a·b＝0． （1）若sinβ＝，β是钝角，求tanα的值；（2）求证：tan(α+β)＝3tanβ． 解答：a＝(1，－sinα)，b＝(sin(α+2β)，2)，a·b＝0， 所以sin(α+2β)－2 sinα＝0． －； （2）因为sin(α+2β)＝2 sinα，即sin[(α+β)+β]＝2sin[(α+β)－β] 得sin(α+β)cosβ+ cos (α+β)sinβ＝2[sin(α+β)cosβ－cos(α+β)sinβ] 移项得sin(α+β)cosβ＝3 cos(α+β)sinβ， 等式两边同时除以cos(α+β)cosβ 得 tan(α+β)＝3tanβ 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．三角恒等变形主要是变角，变式，这个顺序也就决定解题的大的思路； 2．变角是三角恒等变形中重要的第一步，根据问题的特征，主要是角的形式的统一． （2）方法选择与优化建议： 1．三角函数的求值问题与代数问题的求知一致，根据问题的特点可以直接计算，也可以间接计算（解方程）． 2．三角恒等变形，首先应该变角，本题解题的关键，就是实现已知角中的形式，向未知角中的形式转化． 例5．已知,且． （1）求的值； （2）求的值． 解 （1）． （2）． 解析：，
因为所以． （2）因为，且所以
又，∴,，
因为，．
所以,， 所以 又，
∴． 〖教学建议〗 （1)主要问题归类与方法： 问题1、cos2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα． 问题2、由于cos2α＝cos2α－sin2α， 这可以化为tanα的齐次式． 方法选择与优化建议： 对于问题1，选择以上三个公式中的任何一个都可以，但在从α(0，π)，tanα＝2求cosα、sinα时要注意判断它们的符号． 对于问题2，cos2α＝cos2α－sin2α＝ ＝，处理起来更加便捷． （2)主要问题归类与方法： 求角的问题 求角就需要选择一个关于2α－β的三角函数，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，关键在于这个三角函数值可以求．另外，2α－β的范围不仅影响角的结果，也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个三角函数． 方法选择与优化建议： 通过推理，我们得到2α－β(－，)，所以可以选择计算sin(2α－β)值，也可以选择计算tan(2α－β)的值，但不宜选择计算cos(2α－β)，因为在(－，)上，正弦函数、正切函数都是单调的，而余弦函数却是不单调的． 例6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． 求的值； （2）若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的大小． 答案：（1）＝2；（2） b＝2． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．边角互化问题，方法有： ①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角； ②利用cosA＝等将余弦化为边； ③ccosB＋bcosC＝a等化角为边． 2．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；② 利用余弦定理求边． （2）方法选择与优化建议： 1．对于等式＝的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sinC＝2sinA； 如果利用cosA＝等将等式＝的左边余弦化为边来做，运算量较大， 所以不选择方法②． 由于等式＝可以化为bcosA＋acosB＝2(bcosC＋ccosB)，即c＝2a，所以也可以选择方法③． 2．因为从第一问已经可以得到c＝2a，又a＋b＋c＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b，利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便． 例7．已知△ABC的内角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足tanAtanB－tanA－tanB＝． （1）求∠C的大小； （2）若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a2＋b2的取值范围． 答案：（1）；（2）(，8)． 〖教学建议〗 （1)主要问题归类与方法： 1．求三角形中的某个角的大小：利用三角公式求这个角的某一三角函数． 2．求代数式的范围问题．利用函数的知识，转化为求函数值域． （2)方法选择与优化建议： 1．由于本题中涉及到的三角函数为正切，所以考虑求角的正切值，从而求角的大小； 三角恒等变形中应注意公式的变形使用，解三角形问题时要注意利用隐含条件A＋B＋C＝． 2．利用正弦定理将a2＋b2表示为角A或角B的三角函数关系式，并将之变形整理为f(x)＝Asin(x＋)＋B的形式求范围． 本题中需注意的是“△ABC为锐角三角形”必须保证所有的角都是锐角，这是求范围的关键所在． 例8：如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min．在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量cos A＝，cos C＝． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 答案：(1) AB的长为1 040 m．； (2)当t＝ min时，甲、乙两游客距离最短． (3)乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内． 〖教学建议〗 （1)主要问题归类与方法： 1．求角及边长问题，方法为先利用两角和差关系求sin B，再利用正弦定理求边长AB． 2．余弦定理应用问题，其中涉及二次函数最值问题． 方法为利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数． 3．解三角形的实际应用问题，方法为利用正弦定理求BC，将两位游客互相等待的时间不超过3分钟用不等式表示，利用两者的时间差所在范围求解速度范围． （2)方法选择与优化建议： 1．已知两角一边或两边和一边对角利用正弦定理解三角形． 注意点有：利用两边和一边对角求另一边的对角时容易忽视解的情况的判断． 2．已知两边和夹角，常用余弦定理求出第三边． 3．求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答． 二、巩固练习 1.【2019苏南五校联考】已知函数y＝sin(ωx－)(ω＞0)相邻两个零点之间的距离是，若将该函数的图像向左平移个单位，则所得函数的解析式为 ． 【答案】 2.【2019启东】已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－cosωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间[－，]上是单调函数，则ω的取值集合为 . 【答案】 3.【2019百校大联考】将函数y＝的图象向右平移φ个单位后，所得的函数图象关于原点成中心对称，则φ＝ ． 【答案】 4.【2018苏中四校联考】已知函数在时取得最大值，则的值是 . 【答案】 5.【2018苏中四校联考】在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点,将角的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合 ,则的值为 . 【答案】 6.【2018苏北四市】将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线对称，则的最小值为 ． 【答案】 7.【2018如皋】若函数的部分图像如图所示，则 表示简谐振动的震动量时，相位为_____________. 【答案】 8.【2018徐州】已知函数，．若是奇函数，则的值为 ． 【答案】-1 9.【2019启东】设为锐角，若，则的值为 . 【答案】 10.【2019启东期初】若，则= ． 【答案】 11.【2018如皋】已知，，则 ． 【答案】 12.【2018泰州】已知且，则 . 【答案】 13.【2019苏南五校联考】已知锐角的终边经过点,则_____ ____． 【答案】 14.【2019淮安】已知，，则的取值集合为 ． 【答案】 15.【2018泰州】已知，则的值为 . 【答案】3 16.【2019淮安】在锐角三角形ABC中，的最小值为 ． 【答案】25 17.【2018如皋】锐角三角形ABC中，若，则最小值是 ． 【答案】8 **18． 在中,内角所对的边分别是又,且,则的面积的最大值是； 答案：(考查正,余弦定理)． *19．的内角的对边分别为，若，，，则． 答案： (考查正弦定理,两角和与差公式)． **20．已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________． 答案： 4＋4(考查余弦定理,基本不等式)． **21．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________． 答案：2(考查正弦定理,两角和与差公式)． **22．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,＞0)若f(x)在区间[，]上具有单调性,且,则f(x)的最小正周期为． 答案：(考查三角函数图像性质及周期性)． ***23．若函数y＝cos2x＋sin2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为____________． 答案：(－2，－1)；(考查两角和差的三角函数关系式，三角函数的零点)． 24．已知，且 *（1）求的值； **（2）求 答案： （1）（2）(考查两角和与差公式,二倍角公式)． 25．在中，已知． *（1）求的长； **（2）求的值． 答案：（1）(考查余弦定理)． （2）(考查正弦定理，二倍角公式)． 26． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 已知b+c=2a cos B． **（1）证明：A=2B； **（2）若△ABC的面积，求角A的大小． 解析：（1）由正弦定理得：, 故, 于是． 又,故,所以 或， 因此(舍去)或, 所以，． （II）由得，故有 ， 因，得． 又，，所以． 当时，； 当时，． 综上，或． ( 考查正弦定理，两角和与差公式)． 27．已知函数(x)＝2cos(2x＋)－cos2x＋1． （1）求f(x)的对称中心 （2）若锐角△ABC中角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝0，求的取值范围． 解析：（1） 对称中心为： 对称中心为： （2）由已知可得： （舍）或 因为为锐角三角形 (考查三角的变换,正弦定理，三角函数的性质)． 28．在△中，为锐角，且． （1）若，，求的长； （2）若，求的值． 解：（1）因为，， 所以． ……3分 在△中，由余弦定理得，， 解得，所以的长为． 由（1）知，， 所以． 在△中，， 所以． 29. 在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________． 答案：8 解析：因为sin A＝2sin Bsin C，所以sin(B＋C)＝2sin Bsin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 等式两边同时除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C. 又因为tan A＝－tan(B＋C)＝， 所以tan Atan Btan C－tan A＝2tan Btan C， 即tan Btan C(tan A－2)＝tan A. 因为A，B，C为锐角，所以tan A，tan B，tan C>0，且tan A>2， 所以tan Btan C＝，所以原式＝. 令tan A－2＝t(t>0)，则＝＝＝t＋＋4≥8， 当且仅当t＝2，即tan A＝4时取等号． 故tan Atan Btan C的最小值为8. 30. 若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________． 答案： 解析：由题意及正弦定理知a＋b＝2c， 则cos C＝＝＝ ＝－≥－＝，当且仅当a＝时取等号． 33．在平面四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，△ABC为等边三角形，则△BCD面积的最大值是 ． 答案：4＋4． 解析：设△BCD的面积为S， 则S＝×4×BC×sin∠BCD＝2BCsin(∠ACD＋) ＝BCsin∠ACD＋BCcos∠ACD 设∠ADC＝α，则＝， 于是ACsin∠ACD＝2sinα，即BCsin∠ACD＝2sinα， 又BCcos∠ACD＝AC×＝＝＝4－2cosα， 所以S＝2sinα＋(4－2cosα)＝4sin(α－)＋4， 从而S的最大值为4＋4，此时α＝． 31．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)·＋c·＝0． （1）求角B的大小； （2）若b＝2，试求·的最小值． 解：（1）因为(2a＋c)·＋c·＝0， 所以(2a＋c)accosB＋cabcosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0． 由正弦定理得(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0， 即2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0，亦即2sinAcosB＋sinA＝0， 因为sinA≠0，故cosB＝－． 因为B∈(0，π)，所以B＝． （2）由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos，即12＝a2＋c2＋ac． 因为12＝a2＋c2＋ac≥3ac，所以ac≤4， 所以·＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以·的最小值为－2． 32．在△ABC中，角，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求c的值． 解：（1）在△ABC中，因为，，， 由正弦定理得，， 于是，即， 又，所以． （2）由（1）知，， 则，， 在△ABC中，因为，，所以． 则 ． 由正弦定理得，． 33.【2019苏南五校联考】已知a＝(sin2α，3)，b＝(4，cos2α)，＜α＜，－＜β＜0，且a⊥b． （1）求cos2α的值； （2）若cosβ＝，求α－β的大小． 【答案】（1） 因为，所以，所以，得， 因为，所以，所以 …………6分 说明：第（2）问必须先写公式再代值计算，缺少一步本段0分，后面有相关性的逻辑段直接0分。 （2）由（1）知，因为所以，； ……………8分 因为，， 所以， ……………10分 因为，，所以， 所以= 所以 ……………………14分 34.【2019淮安】设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，， 且． （1）求A的大小； （2）若，求的值． 解：（1）因为，所以，即．…… 2分 由正弦定理得，， 所以． …… 4分 在△ABC中，，，所以． 若，则，矛盾． 若，则． 在△ABC中，，所以． …… 7分 （2）由（1）知，，所以． 因为，所以． 解得（负值已舍）． …… 9分 因为，所以或． 在△ABC中，又，故，所以． 因为，所以． …… 11分 从而 ． …… 14分 35.【2019苏中四校联考】已知向量，且 若，求的值； 若，求的值. 【答案】解（1）因为，所以，所以 …………………………3分 又因为，所以，所以或，所以或 ………7分 （漏1解扣2分） 因为，所以，所以 ………… …10分 所以 …………………………14分 （忘记开根号扣2分） 36.【2019启东】设的内角所对的边分别为,若, （1）求的值；（2）求的值为. 【答案】解:1）在中,, 由正弦定理,得 由余弦定理=-------7分 2） -------10分 -------14分 37.【2019百校大联考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）求sinA＋sinC的取值范围． 【答案】（1）（2） 38.【2018启东】已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，角的对边分别为.若锐角满足，且，求的面积. 【答案】(1) ……………… 5分 所以，函数的最小正周期. …………………………………… 7分 (2) 因为A为锐角，所以. 所以，，得 ……………………… 9分 由正弦定理， ……………………… 11分 所以，. 所以………………… 14分
教 学 反 思
成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
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