§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）
【内容分析】：
归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。
【教学目标】：
1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义
（2）能利用归纳方法进行简单的推理，
2、过程与方法：
通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：
体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：
（1）体会并实践归纳推理的探索过程
（2）归纳推理的局限
【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、问题情景
学生阅读
1、哥德巴赫猜想：
观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.
2、费马猜想：
法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现不是素数，推翻费马猜想.
3、四色猜想：
1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.
引入课题
通过阅读教材感受归纳推理的魅力
从哥德巴赫猜想引出归纳推理概念
二、概念教学
① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
(iii)观察等式：
，能得出怎样的结论？
③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
(ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
三、例题讲解
例1：已知数列的第1项，且，试归纳出通项公式.
（分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想 →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）
思考：证得某命题在n＝n时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）
板书分析过程，提问a2,a3,a4等几项的计算结果
设问：能直接解出an吗？
四、课堂训练
1、已知 ，推测的表达式.
2、三角形的内角和是1800 ,凸四边形的内角和是3600,凸五边形的内角和是5400 , …… 由这些结论猜想凸n边形的内角和公式。
解析：凸n边形的内角和公式是(n-2)×1800.
3、由归纳猜想出一个一般结论。
解析：猜想：(a,b,m均为正实数）。
根据学生基础情况，决定是当堂引导学生证明结论或者是
课外完成。
五、小结
1．归纳推理的几个特点
1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.
2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.
注：归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论
2．归纳推理的一般步骤：
1)对已有的资料进行观察、分析、归纳、整理；
2)猜想
3)检验
1）规律性
2）探索性
3）观察、试验的不确定性
指出对归纳推理的结果进行检验是必要的
归纳推理
【练习与测试】：
（基础题）
1）数列…中的等于（ ）
A． B． C． D．
2）从中得出的一般性结论是_____________。
3)定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（ ）.
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A. B. C. D.
4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．
5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第件首饰所用珠宝总数为_________________颗.
6)已知（n=1.2. …）试归纳这个数列的通项公式
答案：
1）B 推出
2） 注意左边共有项
3）B
4）（n-2）3600
5） 91,1+5+9+…4n+1=2n2+3n+1
6） a1=1,a2= a3=… an=
（中等题）
1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形.
2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ）
A.33 B.-31 C.-27 D.-57
3)设平面内有n条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n条直线交点的个数，则 f（4 ）=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测的结果.
答案：
1）1+2+3+4+…+(n+1)=
2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63
3）C
4）依次为，1，22，32，42，所以an=n2
（难题）
1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是（ ）.
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697
2) 考察下列一组不等式：
.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .
答案：
1）C 41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式为an=n2+n+41,a40=1681,而1681＝4141不是质数
2）an+bn>an-mbm+ambn-m n,m, n>m
§2.1 合情推理与演绎逻辑（二）
【内容分析】：
类比是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。
【教学目标】：
1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解类比推理的含义
（2）能利用类比方法进行简单的推理，
2、过程与方法：
通过课例，加深对类比这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：
体验并认识类比推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：
（1）体会并实践类比推理的探索过程
（2）类比推理的局限
【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、问题情景
学生阅读
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;
1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;
2)有大气层,在一年中也有季节变更;
3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.
引入课题
通过阅读教材体会类比推理的思维过程
二、概念教学
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比练习：
(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？
(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材73探究 填表）
小结：平面→空间，圆→球，线→面.
讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.
类比推理――联想――普遍联系
三、例题讲解
例2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
若则
若则
运算律
逆运算
加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解
乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解
单位元
例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
思维：直角三角形中，，3条边的长度，2条直角边和1条斜边；
→3个面两两垂直的四面体中，，4个面的面积和
3个“直角面”和1个“斜面”. → 拓展：三角形到四面体的类比.
例4、（可作为研究性学习材料）
分析探索过程
四、课堂训练
例:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例。
解析：类比猜想 1)圆心 2）半径
推广的命题为：
设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2① 与 (x-c)2+(y-d)2=r2②（a≠c或b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。
五、小结
类比推理的几个特点
1）类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.
2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
练习P93 1，2.3，4.5 ; P94 1
1）联想
2）探索性
3）不确定性
指出类比推理的结果不一定可靠
【练习与测试】：
（基础题）
1）已知扇形的弧长为l,半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形的面积公式为_________
2)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①；B．①②； C．①②③； D．③
3)由“ 正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是
4）定义运算ab= 则对xR，函数f(x)=1x的解析式为__________。
5）三角形的面积公式为S＝（a,h分别表示三角形的边和该边上的高），类比四面体的体积V＝
6）在三角形ABC中，于D，则有，类比此性质，给出空间四面体的一个猜想，并判断该猜想是否正确。
答案：
1）s=
2）C
3）正棱锥的侧棱长相等
4）f(x)=1x＝
5） 四面体的体积V＝（S,h分别表示四面体的底面积和该面上的高）
6）在棱锥S－ABC中，，则
（中等题）
1）a,b为实数，则由或，类比向量运算中可以得出什么结论？
2）若三角形的内切圆半径为r三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积根据类比思想，若四面体的内切球半径为r，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V＝_________
3) 在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径_______．
4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图1在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2)，那么在图2所示的平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，有AC12+BD12+CA12+DB12=（ ）.
A．2（AB2+AD2+AA12） B．3（AB2+AD2+AA12）
C．4（AB2+AD2+AA12） D．4（AB2+AD2）
答案：
1） 或
2）V＝
3）
4）C
（难题）
1）若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列。
2）如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为，则若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中，试写出相应命题形式：
__________________________________________________________________ .
答案：
1）=
2）长方体ABCD—A1B1C1D1中，BD与同一顶点三个侧面所成角分别为，则
课件8张PPT。2.1.1合情推理1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比)类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．s1s2s3c2=a2+b2例3：(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢１６进１的计算制，采用数字０-９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ×Ｂ＝（ ）ＡＡ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------
--------.(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或设圆的方程为①b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.作业:P93-９４
Ａ组 5. B组 １．圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2利用圆的性质类比得出求的性质
普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]
2.1.1合情推理
教学目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用
教学重点：
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用
教学过程
一、引入新课
1归纳推理
(一)什么是归纳推理
归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。
(二)归纳推理与演绎推理的区别和联系
归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。
归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。
(三)观察与实验
归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，然后才能进行归纳推理。而搜集事实材料则必须运用经验的认识方法，主要是观察和实验的方法。
1．观察
人们在对象或现象的自然状态下，有目的地通过感官去研究对象或现象，这就叫做观察。
为了使观察获得的材料比较可靠和比较准确，还应注意两个问题：(1)必须坚持观察的客观性和全面性，切忌主观的随意性和片面性。(2)尽可能地借助于有关的仪器设备来进行，以克服感觉器官认识的局限性。
2．实验
人们在控制对象或现象的条件下有目的地通过感官去认识对象或现象，就叫做实验。具体而言，实验是人们根据研究的目的，利用科学方法、设备，人为地控制或模拟自然现象的条件，排除干扰因素，突出主要因素，在相对的纯粹状态下研究自然现象的认识活动。例如，要研究某一植物在某种条件下对具有一定酸碱度的土壤的适应情况，人们可以在实验室中，人为地控制大自然对植物生态的影响，只就酸碱度这一特定的因素进行考察。
实验是自然科学研究中最基本的研究方法。它和观察比较起来有以下优点：(1)实验可根据研究工作的需要，使被研究的对象或现象在极其纯粹的状态下再现出来，并借助于人工的隔离条件，使其依照一定的顺序，不断地重复出现。这就便于人们观察某种对象或现象的发生过程以及对象或现象间的因果关系。例如，我们看见铁球与鸡毛从塔顶上同时往下落，在空气中它们下落的速度是不一样的。这与空气有关还是无关?这是由于空气的阻力作用还是由于地球的引力作用呢？在自然状态下，由于许许多多的对象或现象错综复杂地交织在一起，我们是不能弄清楚这些问题的。为此，我们可以做“自由落体”的实验：把铁球和鸡毛都放在抽掉空气的圆筒形的透明容器中，看它们从同一高度同时下落的速度是否一样。这样，就容易发现铁球与鸡毛在空气中下落的速度不一样与空气阻力作用的关系。在这个实验中，我们人为地抽掉了空气这个因素，排除偶然因素的干扰，“纯化”了被研究的现象。(2)可以把容易消失的自然现象或在自然条件下不易出现的自然现象，人为地引发出来，并使之重复出现，以便于人们进行观察。例如，天空中的闪电，一闪即逝，不易观察出究竟来。我们在物理实验室里可以采取人工模拟的办法，引发闪电现象的重复出现，以便反复地进行观察。
(四)一些整理经验材料的方法
在搜集材料的过程中，还要对材料进行整理和研究。也就是说，人们还要对经验材料进行思维加工，这就需要运用理论思维的方法，即比较、分析和综合等等。
1．比较法
比较法是在思维中用以确定对象之间相同点和相异点的逻辑方法。比较法的基本功用是辨同和别异。在进行比较时，必须注意以下几点：首先，必须在同一关系下进行比较。比如，一个国家在使用旧货币时期的物价与币制改革后使用新货币时的物价，就不能直接地加以比较。其次，要就对象的实质方面进行比较，不要因某种表现上的相同，而忽略实质上的差异；也不要因表面上的差异，而忽略实质上的相同。
2．分析法与综合法
分析是在思维中把对象的整体分解为各个部分、方面、特性和因素而加以认识的逻辑方法；综合是在思维中将已有的关于对象的各个部分、方面、特性和因素的认识联结起来，形成关于对象的统一整体的认识的逻辑方法。分析是综合的基础，而综合则是分析的发展。
(五)完全归纳推理和不完全归纳推理
1．完全归纳推理
先看一个实例：当着天文学家对太阳系的大行星运行轨道进行考察的时候，他们发现：水星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，金星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，地球是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，火星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，木星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，土星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，天王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，海王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，冥王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太阳系的全部大行星。由此，他们便得出如下结论：所有的太阳系大行星都是沿着椭圆轨道绕太阳运行的。这一结论，就是运用完全归纳推理得出的。
可见，完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，发现它们每一个都具有某种性质，因而得出结论说：该类事物都具有某种性质。
根据完全归纳推理的这一定义，它的逻辑形式可表示如下(S表示事物，P表示属性)，
S1——P
S2——P
……………
Sn——P
(S1,S2……Sn是S类的所有分子)
所以，S——P
从公式可见，完全归纳推理在前提中考察的是某类事物的全部对象，而不是某一部分对象，因此，其结论所断定的范围并未超出前提所断定的范围。所以其结论是根据前提必然得出的，即其前提与结论的联系是必然的。就此而言，完全归纳推理具有演绎的性质。
由于完全归纳推理要求对某类事物的全部对象一一列举考察，所以，它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的(如工人，学生)，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。
2．不完全归纳推理
不完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物部分对象的考察，发现它们具有某种性质，因而得出结论说，该类事物都具有某种性质。
第一种情况。主要根据是：所碰到的某类事物的部分对象都具有某种性质，而没有发现相反的情况。比如：
■《内经?针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一点血，但头部不疼了。当时他没有引起注意。后来头疼复发，又偶然碰破原处，头疼又好了。这次引起了注意，以后头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)。
现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破足趾的原处呢?从故事里可见，这是因为他根据自己以往的各次个别经验作出了一个有关碰破足趾能治好头痛的一个一般性结论。在这里，就其所运用的推理形式来说，就是一个不完全的归纳推理。具体过程是这样的：
第一次碰破足趾某处，头痛好了，
第二次碰破足趾某处，头痛好了，
(没有出现相反的情况，即碰破足趾某处，而头痛不好。)
所以，凡碰破足趾某处，头痛都会好，
如用公式表示则是：
S1——P
S2——P
Ss——P
……………
Sn——P
(S1，S2，Ss，……，Sn是S类部分对象，枚举中未遇相反情况。)
所以，S——P
这种仅仅根据在考察中没有碰到相反情况而进行的不完全归纳推理，我们就称为简单枚举归纳推理或简称枚举归纳推理。
第二种情况。不是对某类事物的部分对象，碰到哪个就考察哪个(简单枚举归纳推理就是如此)，而是按照事物本身的性质和研究的需要，选择一类事物中较为典型的个别对象加以考察；通过这种对部分对象的考察而作出某种一般性的结论时，也不只是根据没有碰到例外相反的情况，而是分析和发现所考察过的某类事物的部分对象何以具有某种性质的客观原因和内在必然性。建立在这种对事物进行科学分析基础上的不完全归纳推理，我们就称之为科学归纳推理。
两种不完全归纳推理的根据是完全不同的，因而它们所得出结论的性质也是不同的。简单枚举归纳推理所依据的仅仅是没有发现相反的情况，而这一点对于作出一个一般性的结论来说，是必要的，但并不是充分的。因为，没有碰到相反的情况，并不能排除这个相反情况存在的可能性。而只要有相反情况的存在，无论暂时碰到与否，其一般性结论就必然是错的。科学归纳推理则不同，它所根据的是对事物何以存在某种性质的必然原因进行科学的分析，因而它的结构是比较可靠的。
(六)探求因果联系的逻辑方法
排除归纳法是求因果联系的一个常用方法，其基本思路是：考察被研究现象出现的一些场合，在它的先行现象或恒常伴随的现象中去寻找它的可能的原因，然后有选择地安排某些事例或实验，根据因果关系的上述特点，排除一些不相干的现象或假设，最后得到比较可靠的结论。
为了检查的某种因果关系是否为真，最可靠的实验方法是改变原因后，看结果是否不同，即进行对比实验，对比实验的关键是让实验对象的其他方面的条件相同。又比如，有时两组数据之间的数据因果并不一定有原理因果，可能两组数据都是由其它某一种数据决定的，这就是所谓表面因果与事实因果不符。
Ⅰ、现象间的因果联系
客观世界是一个有内在联系的统一整体，其中各个对象或各个现象是互相密切联系着，互相依赖着，互相制约着的。因果联系是指原因和结果之间的联系。如果一个现象的出现必然引起另一个现象的出现，那么，这两个现象之间就有着因果联系。引起另一现象出现的现象叫原因，被引起的现象叫结果。
因果联系是世界万物之间普遍联系的一个方面，科学研究的一个重要任务就是要把握事物之间的因果联系，以便掌握事物发生、发展的规律。因果关系的主要特点有：一是普遍必然性，指任何现象都有其因，也有其果，且同因必同果，但同果却不一定同因；二是共存性，指原因和结果总是共同变化的；三是先后性，即所谓的先因后果，但先后关系并不等于因果关系；四是复杂多样性，指因果联系是多种多样的，固然有“一因一果”，但更多的时候是“多因一果”。
原因和结果在时间上是先后相继的，原因总在结果之前，而结果总是在原因之后。因此，我们在探求因果联系时，只能从先行的情况中去找原因，从后行的情况中去找结果。不过需要注意的是：两个现象在时间上的先后相继并非都存在着因果联系。例如，白昼和黑夜，在时间上虽是先后相继的，但它们之间并不具有因果联系，它们都是由于地球自转和绕太阳旋转所引起的结果。因此，在探求因果联系时，如果只是根据两个现象在时间上是先后相继的，就作出它们之间具有因果联系的结论，那么，这就犯了“以先后为因果”的逻辑错误。
因果联系是完全确定的。在同样的条件下，同样的原因必然产生同样的结果。例如，在通常的大气压力的条件下，把纯水加热取摄氏一百度，它就必然会产生气化的结果。
因果联系是复杂的多样的。一个现象的产生，可以是一个原因引起的，也可以是多种原因引起的。例如，日光、二氧化碳和水是使植物叶子能进行光合作用的原因，而这三者则是植物的叶子能进行光合作用的不可缺少的条件，这种原因叫做复合原因。忽视原因的多样性，在实践上会导致有害的后果。例如，一块地里的农作物生长不好的原因，可以是水分不足，也可以是肥料太少，也可以是病虫害等等。如果我们忽略了原因的多样性，只注意一种原因，比如，只注意施肥料，那就可能会导致减产的后果。因此，人们在探求因果联系时，特别应当注意复杂现象的构成原因或结果。
Ⅱ、探求现象间因果联系的方法
1.求同法(或称契合法)
我们常常发现一些同志身体很好，很结实。原因是什么呢?他们的情况各不相同，有的是教师，有的是学生，有的是工人；有的原来体质较好，有的原来体质较差；他们的工作条件、生活条件、学习条件也各不相同……。但发现他们却有一个共同的情况，他们都持之以恒地锻炼身体。由此，我们可以作出结论，持之以恒地锻炼身体是他们身体好的原因，至少是身体好的部分原因。这里就有着求同法的应用。
可见，求同法是这样一种方法，当我们发现某一现象出现在几种不同的场合，而在这些场合里，只有一个条件是相同的(其他条件均不相同)，这样，我们就可以推断说，这个相同条件就是各个场合出现的那个共同现象的原因。可以用这样一个公式来表示它：
场合 先行情况 被研究现象
(1) A、B、C a
(2) A、D、E a
(3) A、F、G a
… … …
所以，A是a的原因(或结果)
下面再举两个求同法的例子：
例：在十九世纪，人们还不知道为什么某些人的甲状腺会肿大，后来人们对甲状腺肿大盛行的地区进行调查和比较时发现，这些地区的人口、气候、风俗等状况各不相同，然而有一个共同情况，即土壤和水流中缺碘，居民的食物和饮水也缺碘，由此作出结论：缺碘是引起甲状腺肿大的原因。
例：某人晚上看了两小时书，喝了几杯浓茶，结果失眠了；第二天他同样看书，抽了许多烟，也失眠了；第三天他也看了两小时书，喝了大量咖啡，也失眠了。看来晚上看书容易引起失眠。
应用求同法所得到的认识(即找出的原因)并不都是正确的。因为在各种不同场合里存在的共同条件可能不止一个，而作为真正原因的某一共同条件可能正好被忽视了。因此，通过求同法所得到的认识，应当通过实践或用其他方法去进一步检验。但是，求同法为我们提供了找到现象原因的线索。所以，它作为一种发现现象因果联系的方法，在科学研究和日常生活中经常被人们应用着。
2.求异法(或称差异法)
求异法是这样一种方法：如果某一现象在一种场合下出现，而另场合下不出现，但在这两种场合里，其他条件都相同，只有一个条件不同(在某现象出现的场合里有这个条件，而在某现象不出现的那一场合里则没有这个条件)，那么，这唯一不同的条件，就是某现象产生的原因。
求异法可用下述公式来表示：
场合 先行情况 被研究现象
(1) A、B、C a
(2) -、B、C -
所以，A是a的原因(或结果)
求异法在科学研究中，特别是科学试验中，是一种被广泛运用的方法。下面举例说明：
■据报导，在一些国家里，大气污染极为严重，不仅严重影响人们的身体健康，也影响农作物的产量和树木的成长，如使白杨树提早落叶等等。有一个国家的研究人员曾在环境暴露室中的两间实验室里做过下面的一个实验：将大气中被污染的空气放入一间实验室里，而在另一间的入气孔上装上活性碳过滤器等清除污染物的装置，使送入的空气变为洁净的空气。两间实验室中的土壤、水分、湿度、日照时间等与植物生长有关的其他条件完全相同。在两间实验室里，分别栽上同样的白杨十五株。四个月之后，在空气洁净的实验室里，十五株白扬新长出的茎平均高二米九五，而在污染室中，新茎的平均高度只有二米零九；叶数前者平均为七十一片，后者仅为二十六片。而且，前者在九月上旬叶子还在继续生长，而后者在八月初即开始落叶。这清楚表明：白杨树提早落叶的原因是大气污染。
■我们可以在种植同一作物的同一块田上，一部分用某种肥料，一部分不用。因此，就可以清楚地通过作物的不同增产结果来判明施放这种肥料后的显著效果。
3.求同求异并用法
求同求异并用法是这样一种方法，考察两组事例，一组是由被研究现象出现的若干场合组成的，称之为正事例组；一组是由被研究现象不出现的若干场合组成的，称之为负事例组。如果在正事例组的各场合中只有一个共同的情况并且它在负事例组的各场合中又都不存在，那么，这个情况就是被研究现象的原因。下面是求同求异并用法的一个例子：
■很久以来，人们发现有些鸟能远航万里而不迷失方向。原因是什么呢?人们对此曾作过不少的猜测，但都没有得到证实。近年来，科学工作者发现每当天晴能见到太阳时，这些鸟都能确定其飞行的正确方向；反之，每当天阴见不到太阳时，它们就迷失方向。由此，科学工作者作出结论说，有些鸟能远航万里而不迷失方向的原因是利用太阳来定向的。
4.共变法
共变法是指：在其他条件不变的情况下，如果一个现象发生变化，另一个现象就随之发生变化，那么，前一现象就是后一现象的原因或部分原因。比如，气温上升了，放置在器皿中的水银体积就膨胀了；气温下降了，水银体积就缩小了。根据气温与水银体积的共变关系，我们就可推断说，气温的升降是水银体积膨胀或收缩的原因。
共变法可用下述公式来表示：
场合 先行情况 被研究现象
(1) A1、B、C、D a1
(2) A2、B、C、D a2
(3) A3、B、C、D a3
… …… …
所以，A是a的原因(或结果)
下例也是共变法的应用：
■地区磁场发生磁暴的周期性经常与太阳黑子的周期一致。随着太阳黑子数目的增加，磁 暴的强度增大。当太阳黑子的数目减少时，磁暴的强度降低。所以科学家推测，太阳黑子的出现可能是磁暴的原因。
■在50年代，我国森林覆盖率为19％，60年代为11％，70年代为6％，80年代不到4％。随着森林覆盖率的逐年减少，植被大量破坏，削弱了土地对雨水的拦蓄作用，一下暴雨，水卷泥沙滚滚而下，使洪涝灾害逐年严重。可见，森林资源的破坏，是酿成洪灾的原因。
以下哪项使用的方法与上文最类似?
A、敲锣有声，吹箫有声，说话有声。这些发声现象都伴有物体上空气的振动，因而可以断定物体上空气的振动是发声的原因。
B、把一群鸡分为两组，一组喂精白米，鸡得一种病，脚无力，不能行走，症状与人的脚气病相似。另一组用带壳稻米喂，鸡不得这种病。由此推测带壳稻米中某些精白米中所没有的东西是造成脚气病的原因。进一步研究发现，这种东西就是维生素B1。
C、意大利的雷地反复进行一个实验，在4个大口瓶里，放进肉和鱼，然后盖上盖或蒙上纱布，苍蝇进不去，一个蛆都没有。另4个大口瓶里，放进同样的肉和鱼，敞开瓶口，苍蝇飞进去产卵，腐烂的肉和鱼很快生满了蛆。可见，苍蝇产卵是鱼肉腐烂生蛆的原因。
D、在有空气的玻璃罩内通电击铃，随着抽出空气量的变化，铃声越来越小，若把空气全抽出，则完全听不到铃声。可见，声音是靠空气传播的。
[解题分析] 正确答案：D
因为D和题干都使用求因果联系的共变法。
5.剩余法
所谓剩余法指的是：如果某一复合现象是由另一复合原因所引起的，那么，把其中确认有因果联系的部分减去，则剩下的部分也必然有因果联系。
■自然科学史上有这样一个例子：1846年前，一些天文学家在观察天王星的运行轨道时，发现它的运行轨道和按照已知行星的引力计算出来的它应运行的轨道不同——发生了几个方面的偏离。经过观察分析，知道其他几方面的偏离是由已知的其他几颗行星的引力所引起的，而另一方面的偏离则原因不明。这时天文学家就考虑到：既然天王星运行轨道的各种偏离是由相关行星的引力所引起的，现在又知其中的几方面偏离是由另几颗行星的引力所引起的，那么，剩下的一处偏离必然是由另一个未知的行星的引力所引起的。后来有的天文学家和数学家并据此推算出了这个未知行星的位置。1846年按照这个推算的位置进行观察，果然发现了一颗新的行星——海王星。
在这个过程中就有剩余法的明显运用。就这个例子来说，复合现象指天王星运行轨道的各处偏离(设为甲、乙、丙、丁四处偏离)，复合原因指各行星对天王星的引力(设为A、B、C、D四颗行星)，通过观察，已经知道偏离甲由行星A所引起，偏离乙由行星B所引起，偏离丙由行星C所引起。那么剩下的部分，即偏离丁必为未知行星D所引起。
剩余法可用下述公式来表示：
已知复合现象F(A、B、C)是被研究现象K(a、b、c)的原因
已知，B是b的原因
C是c的原因
所以，A是a的原因(或部分原因)
剩余法也是科学研究中常用的一种逻辑方法。比如：
■居里夫人对镭的发现就是运用这一方法的又一典型例子。居里夫人在对沥青铀矿的实验研究中，发现它所放出的射线比纯铀放出的强得多，纯铀不足以说明这种复杂现象，还有一个剩余部分，这剩余部分必然还有另外的原因(这原因必然存在于沥青铀矿中)。据此，她再反复研究，后来果然发现在沥青铀矿中还有一种新的放射性元素——镭。
对求因果联系的方法现再举一例说明，请认真体会：
■有人作过一个十分有趣的统计：过去几百年间流传至今的466幅圣母玛利亚的画像中，有373幅里的耶苏是在左边吸吮圣母的乳汁的，这一数字大约是全部被统计画幅的80%左右。
艺术是生活的概括，如果你稍微注意的话，就会发现，大多数母亲喂奶时，也是把婴儿抱在自己的左边。据心理学家统计，80%的母亲都是把婴儿抱在左边的。
为什么会这样？为此，有个心理学家做了以下的两个实验：
一个实验是让一些婴儿间断地听每分钟72次心跳录音。结果发现，这些婴儿在不听录音时啼哭时间是60%，而在听录音时，就比较安静，啼哭的时间降至38%。
另一个实验是任选四组婴儿，每组人数相同，把他们放在声音环境不同的房间里。第一个房间保持寂静；第二个房间放催眠曲；第三个房间放模拟的心跳声；第四个房间放真实的心跳声的录音。用这样的方法，试验一下哪一个房间的婴儿最先入睡。结果是第四个房间的婴儿，只用了其他房间中婴儿入睡所需时间的一半，就进入梦乡。然后依次是第三个房间、第二个房间、第一个房间里的婴儿先后入睡。这个实验不但证明心跳声是一种有很强镇静作用的外界刺激，而且表明模拟的心跳声的效果不如真的心跳声的效果。
分析：在这两个实验中，心理学家所作的第一个实验运用的是求同法，第二个实验运用的共变法。通过实验证明听到母亲的心跳声对婴儿有某种抚慰的作用。
2类比推理
类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性上(这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现)也相同的一种推理。
据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。类比推理的结构，可表示如下：
A有属性a、b、c、d
B有属性a、b、c
所以，B有属性d
类比推理的客观根据是什么呢?在客观现实里，事物的各个属性并不是孤立的，而是相互联系和相互制约的。因此，如果两个事物在一系列属性上相同或相似，那么，它们在另一些属性上也可能相同或相似。类比推理的结论是否可靠呢?这要看进行类比的两个或两类事物所具有的共同属性与类推属性之间是否有必然的联系。如果有，用类比推理所得到的认识就是可靠的，否则就是不可靠的。由此可见，类比推理的结论只具有或然性，即可能真，也可能假。类比推理尽管其前提是真实的，也不能保证结论的真实性。这是因为，A和B毕竟是两个对象，它们尽管在一系列属性上是相同的，但仍存在着差异性，这种差异性有时就表现为A对象具有某属性，而B对象不具有某属性。如何提高类比推理的结论的可靠性呢?第一，前提中确认的相同属性愈多，那么结论的可靠程度也就愈大；第二，前提中确认的相同属性愈是本质的，相同属性与要推出的属性之间愈是相关的，那么结论的可靠程度也就愈大。
要特别注意，不能将两个或两类本质不同的事物，按其表面的相似来机械地加以比较而得出某种结论，否则就要犯机械类比的错误。例如，基督教神学家们就曾用机械类比来“证明”上帝的存在。在他们看来，宇宙是由许多部分构成的一个和谐的整体，正如同钟表是由许多部分构成的和谐整体一样，而钟表有一个创造者，所以，宇宙也有一个创造者——上帝。这就是把两类根本性质不同的对象，按其表面相似之处，机械地加以类比。这种类比显然是错误的，不合逻辑的。
例1、一般人总会这样认为，既然人工智能这门新兴学科是以模拟人的思维为目标，那么，就应该深入地研究人思维的生理机制和心理机制。其实，这种看法很可能误导这门新兴学科。如果说，飞机发明的最早灵感是来自于鸟的飞行原理的话，那么，现代飞机从发明、设计、制造到不断改进，没有哪一项是基于对鸟的研究之上的。
上述议论，最可能把人工智能的研究，比作以下哪项?
A. 对鸟的飞行原理的研究。
B. 对鸟的飞行的模拟。
C. 飞机的不断改进。
D. 飞机的设计制造。
[解题分析] 正确答案：D。
题干所作的类比分析是：飞机的发明、设计制造和改进并非基于对鸟的研究，因此，人工智能的研究也不应基于对人思维的生理和心理机制的研究。显然，这里，把对人思维的生理和心理机制的研究，比作对鸟的研究；把人工智能的研究，比作飞机的发明、设计制造和改进。D项和C项都和题干的上述类比相关，但显然D项比C项作为题干中人工智能研究的类比对象更为恰当。
例2、小光和小明是一对孪生兄弟，刚上小学一年级。一次，他们的爸爸带他们去密云水库游玩，看到了野鸭子。小光说：“野鸭子吃小鱼。”小明说：“野鸭子吃小虾。”哥俩说着说着就争论起来，非要爸爸给评评理。爸爸知道他们俩说得都不错，但没有直接回答他们的问题，而是用例子来进行比喻。说完后，哥俩都服气了。
以下哪项最可能是爸爸讲给儿子们听的话？
A. 一个人的爱好是会变化的。爸爸小时候很爱吃糖，你奶奶管也管不住。到现在，你让我吃我都不吃。
B. 什么事儿都有两面性。咱们家养了猫，耗子就没了。但是，如果猫身上长了跳蚤也是很讨厌的。
C. 动物有时也通人性。有时主人喂它某种饲料吃得很好，若是陌生人喂，怎么也不吃。
D. 你们兄弟俩的爱好几乎一样，只是对饮料的爱好不同。一个喜欢可乐，一个喜欢雪碧。你妈妈就不在乎，可乐、雪碧都行。
[解题分析] 正确答案：D。
在题干中，两人说的“野鸭子吃小鱼”和“野鸭子吃小虾”都有可能性，可能一部分野鸭子吃小鱼，另一部分野鸭子吃小虾，也可能是野鸭子既吃小鱼又吃小虾。所以两个孩子的话并不矛盾，他们只是片面地看到了野鸭子某一种行为，各执一词，争论不休。在D中，爸爸用哥俩各有偏好和妈妈既喝可乐又喝雪碧的例子进行类比，说明同一个群体的不同个体可能有不同偏好，一个主体也可以有不同的行为。由于比喻恰当，哥俩也就服气了。选项C、D用的不是比喻，与题干不符。选项A虽然用了比喻，但是说的是小孩和大人的区别，而题干中并未讨论小鸭子和大鸭子。选B不妥，因为B变的是事物的两面性，含有人的主观评价，与题干的含义相距较远。
小结：本节课学习了归纳推理与类比推理.
课堂练习：第62页练习A、B，66页
课后作业：第69页A:1，2，
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
[学习目标]
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．
2．了解合情推理在数学发现中的作用．
[知识链接]
1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
2．由合情推理得到的结论可靠吗？
答 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．
[预习导引]
1．归纳推理和类比推理
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
类比推理是由特殊到特殊的推理
2.合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
3．合情推理的过程
→→→
要点一 归纳推理的应用
例1 观察如图所示的“三角数阵”
1…………第1行
2 2…………第2行
3 4 3…………第3行
4 7 7 4…………第4行
5 1114115…………第5行
…………
记第n(n＞1)行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式．
解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
(1)6,16,25,25,16,6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4
由此归纳：an＋1＝an＋n.
规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．
跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；
(2)a1＝a，an＋1＝；
(3)对一切的n∈N*，an>0，且2＝an＋1.
解 (1)由已知可得a1＝3＝22－1，
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，
a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.
猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.
(2)由已知可得a1＝a，
a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝.
猜想an＝(n∈N*)．
(3)∵2＝an＋1，∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1，
∴a1＝1.又2＝a2＋1，
∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0.
∵对一切的n∈N*，an>0，
∴a2＝3.
同理可求得a3＝5，a4＝7，
猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
要点二 类比推理的应用
例2 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解
如右图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比
平面图形
空间图形
点
线
线
面
边长
面积
面积
体积
线线角
二面角
三角形
四面体
跟踪演练2 已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率k＝.类比上述方法求出双曲线x2－＝1在P(，)处的切线方程为________．
答案 2x－y－＝0
解析 将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′＝，即过P的切线的斜率k＝，由于P(，)，故切线斜率k＝＝2，因此切线方程为y－＝2(x－)，整理得2x－y－＝0.
要点三 平面图形与空间图形的类比
例3 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
解
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心
规律方法 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．
跟踪演练3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．① B．①②
C．①②③ D． ③
答案 C
解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．
1．下列说法正确的是( )
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论不能判断正误
答案 B
解析 根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
答案 A
解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．
3．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
答案
解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
4．观察下列各式
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….
这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示正整数，用关于n的等式表示为________．
答案 (n＋2)2－n2＝4n＋4
解析 由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.
1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：
→→→.
一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．
2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.
一、基础达标
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )
A．47 B．65
C．63 D．128
答案 B
解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
答案 B
解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.
3．设0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝，猜想an＝( )
A．2cos B．2cos
C．2cos D．2 sin
答案 B
解析 法一 ∵a1＝2cos θ，
a2＝＝2＝2cos ，
a3＝＝2 ＝2cos ，…，
猜想an＝2cos .
法二 验n＝1时，排除A、C、D，故选B.
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
答案 D
解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．
5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．
答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.
6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为________．
答案 n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．
证明 设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC⊥PA，PC⊥PB得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，
cos α＝sin∠PCO＝，cos β＝，cos γ＝
∵VP－ABC＝PA·PB·PC＝
·h，
∴h＝1
即cos2 α＋cos2 β＋cos2 γ＝1.
二、能力提升
8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( )
A. B．
C． D．
答案 C
解析
设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.
9．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n
正方形数 N(n,4)＝n2
五边形数 N(n,5)＝n2－n
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
答案 1 000
解析 由归纳推理可知：n2和n前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N(n，k)＝n2－n(k－4)，
所以N(10,24)＝×102－×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.
10．(2013·陕西)观察下列等式：
照此规律， 第n个等式可为________．
答案 12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)
解析 分n为奇数、偶数两种情况．
当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－.
当n为奇数时，第n个等式＝－＋n2＝.
综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)．
11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
12．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
解 (1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0≠±a)
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)．
令x＝0，得yM＝，
同理得yN＝－，所以yMyN＝.
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)，所以yMyN＝＝b2.
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2)．
三、探究与创新
13.
如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解 在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.
2.1.1 合情推理
明目标、知重点
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用．
1．归纳推理和类比推理
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
类比推理是由特殊到特殊的推理
2．合情推理
(1)含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程
→
→→
情境导学]
佛教《百喻经》中有这样一则故事．从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买．”仆人拿好钱就去了．到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看．”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠．”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去．带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了．
想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理．
探究点一 归纳推理
思考1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？
答 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．
思考2 观察下面两个推理，回答后面的两个问题：
(1)哥德巴赫猜想：
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝5＋5
12＝5＋7
14＝7＋7
16＝5＋11
……
1 000＝29＋971
1 002＝139＋863
……
猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
问题： ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？
②其结论一定正确吗？
答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理)
②其结论不一定正确．
反思与感悟 归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
例1 已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
解 当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝；
当n＝4时，a4＝＝.
通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝.
反思与感悟 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式．
跟踪训练1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
解 (1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)．
答案 10
解析 观察图形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋.
将以上(n－1)个式子相加可得
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋
＝(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝n(n＋1)(2n＋1)＋]
＝.
反思与感悟 解本例的关键在于寻找递推关系式：f(n)＝f(n－1)＋，然后用“叠加法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n项和的变化规律．
跟踪训练2 在平面内观察：
凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，
凸六边形有9条对角线，
…
由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？
解 凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，
凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，
……
于是猜想凸n边形比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线．因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4且n∈N*)．
探究点二 类比推理
阅读下面的推理，回答后面提出的问题：
1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；
(2)有大气层，在一年中也有季节变更；
(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．
2．根据等式的性质猜想不等式的性质．
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1)a＝b?a＋c＝b＋c; (1)a>b?a＋c>b＋c；
(2)a＝b?ac＝bc; (2)a>b?ac>bc；
(3)a＝b?a2＝b2等等. (3)a>b?a2>b2等等．
思考1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？
答 类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
思考2 猜想正确吗？
答 不一定正确．
思考3 类比圆的特征，填写下表中球的有关特征
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
球的表面积
圆的面积
球的体积
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大
以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2
以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2
小结 在进行类比推理时要注意对应关系：平面图形中的“线”对应空间图形的“面”；平面图形中的“面”对应空间图形的“体”；平面图形中的“边长”对应空间图形的“面积”；平面图形中的“面积”对应空间图形的“体积”；
例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是__________________．
答案 设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S
解析 类比条件：
两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直．
结论：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S.
反思与感悟 类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．
跟踪训练3 (1)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解 如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
(2)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由．
解 类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.猜想正确．
如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
1．下列说法正确的是( )
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论不能判断正误
答案 B
解析 根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
答案 A
解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．
3．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
答案
解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.
答案 1 000
解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，
∴N(10,24)＝×100＋×10
＝1 100－100＝1 000.
呈重点、现规律]
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．合情推理的过程概括为
―→―→―→
一、基础过关
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )
A．47 B．65 C．63 D．128
答案 B
解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
答案 B
解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1 111 111.
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
答案 D
解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)．
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
答案 D
解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．
5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，
∴R＝.
6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为__________________________．
答案 n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．
证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC⊥PA，PC⊥PB，得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，
cos α＝sin∠PCO＝，cos β＝，cos γ＝.
∵VP－ABC＝PA·PB·PC＝(PA·PBcos α＋
PB·PCcos β＋PC·PA cos γ)·h，
∴(＋＋)h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
二、能力提升
8．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
答案 B
解析 推广到空间以后，对于A、C、D均有可能异面，故选B.
9．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9＝1，则成立的等式是( )
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b18－n(n<18，n∈N*)
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b17－n(n<17，n∈N*)
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b18－n(n<18，n∈N*)
答案 A
解析 在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1
＝a1＋a2＋…＋a19－n.
若a9＝0，同理可得
a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.
相应地，等比数列{bn}中有：
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
10．观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________．
答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·
解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝a，an＋1＝；
(2)对一切的n∈N*，an>0，且2＝an＋1.
解 (1)由已知可得a1＝a，
a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.
猜想an＝(n∈N*)．
(2)∵2＝an＋1，∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1，
∴a1＝1.又2＝a2＋1，
∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0，
∵对一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3.
同理可求得a3＝5，a4＝7，
猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
12．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
解 (1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0≠±a)．
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)，
令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－.
所以yMyN＝.
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)．
所以yMyN＝＝b2.
因为＝{a，yN}，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2)．
三、探究与拓展
13.如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解 在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝()2＋()2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，如图．
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝()2＋()2＋()2＝＝＝1.
课件41张PPT。第 二 章推理与证明2．1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理 自主学习 新知突破1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．
2．了解合情推理在数学发现中的作用．[问题1] 我们熟知的《三国演义》第46回草船借箭中诸葛亮先生的推理过程是怎样的呢？
[提示1] 诸葛亮“先生”的推理过程是
[问题2] 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的吗？
[提示2] 是．所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
[问题3] 观察下图由平面内的圆，我们联想到空间里的球，让它们来类比．你能找到它们有哪些类似的特征？
[提示3] 鲁班类比草叶的边缘发明了锯，平面中的圆与空间中的球有类似的特征．归纳推理 部分对象全部对象个别事实一般结论部分到整体个别到一般1．归纳推理的特点与应用
(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．
(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验．即结论不一定可靠．
(3)归纳立足于观察、实验或经验的基础上，是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题． 类比推理 类似已知特征特殊到特殊
2．类比推理的特点及适用前提
(1)类比推理的特点
①类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题，作出新发现．
②类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．
(2)类比推理的适用前提
①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性．
②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．1．合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过______、_______、______、______，再进行_______、______，然后提出_______的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．合情推理的过程合情推理 观察分析比较联想归纳类比猜想1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析： 由类比推理的定义和特点判断，易知选C.
答案： C
2．下列关于归纳推理的说法错误的是( )
A．归纳推理是一种从一般到一般的推理过程
B．归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认知功能
解析： 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确，但能为探寻结论(一般性)提供明确的方向，故B、C、D正确，而A错误．故选A.
答案： A4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
解析： (1)a1＝1，
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1.
(2)可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．合作探究 课堂互动 数列中的归纳推理 [思路点拨] 归纳推理的步骤
在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤：
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质．
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)． 图形中的归纳推理 在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图①所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图②所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图③和④所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有__________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝． 方法一：5件首饰的珠宝颗数依次为1,6＝2×3,15＝3×5,28＝4×7,45＝5×9，归纳猜想第6件首饰上的珠宝数为6×11＝66(颗)，第n件首饰上的珠宝颗数为n(2n－1)＝2n2－n(颗)．
方法二：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
答案： 66 2n2－n 图形中归纳推理的特点及思路
1．此类题目的特点：
由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，这类题颇有智力趣题的味道，解答时常用归纳推理的方法解决，分析时要注意规律的寻找．
2．解决这类问题从哪入手：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样变化．2．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36, 45,55，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则三角形数的一般表达式f(n)＝( )答案： D类比推理 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
[思路点拨] 这是一个由平面图形到空间图形的类比，于是联想到：边长→面积，平面角→二面角，边的射影→面的射影等． 类比推理的步骤
运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．
(3)检验这个猜想．
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，它们的体积比为多少？你能验证这个结论吗？◎如图①，在三棱锥S－ABC中，平面SAB，平面SAC，平面SBC与底面ABC所成角分别为α1，α2，α3，三条侧棱SC，SB，SA与底面ABC所成的角为β1，β2，β3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．谢谢观看！
