§2.1 合情推理与演绎推理（三）
【学情分析】：
合情推理（归纳推理和类比推理）的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．
（2）过程与方法：
体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式．
（3）情感态度与价值观：
培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．
【教学重点】：
正确地运用演绎推理进行简单的推理．
【教学难点】：
正确运用“三段论”证明问题．
【教学过程设计】：
教学环节
教 学 活 动
设计意图
一、复习：
合情推理
归纳推理：从特殊到一般
类比推理：从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜想．
复习旧知识
二、
问题情境
观察与思考：（学生活动）
1．所有的金属都能导电，
铜是金属，
所以，铜能够导电．
2．一切奇数都不能被2整除，
（2100+1）是奇数，
所以，（2100+1）不能被2整除．
3．三角函数都是周期函数，
tan是三角函数，
所以，tan是周期函数．
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何不同（从推理形式上分析）？
创设问题情景，引入新知
三、
学生活动
1．所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属， ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2．一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
（2100+1）是奇数，←――小前提
所以，（2100+1）不能被2整除。 ←―――结论
3．三角函数都是周期函数， ←——大前提
tan是三角函数， ←――小前提
所以，tan是周期函数。←――结论
学生探索，
发现问题，
总结特征
四、
建构数学——概念形成
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）．
构建新知，
概念形成
注：
1．演绎推理是由一般到特殊的推理．（与合情推理的区别）
2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
3．用集合的观点来理解“三段论”推理：
若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P．
巩固新知，
加强认识
五、
数学运用
例1、把P78中的问题（2）、（5）恢复成完全三段论的形式．
解：（2）因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）
而冥王星是太阳系的大行星， （小前提）
因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行． （结论）
（5）∵两直线平行，同旁内角互补， （大前提）
而∠A 、∠B是两条直线的同旁内角， （小前提）
∴∠A+∠B＝180°． （结论）
例2、如图；在锐角三角形ABC中，AD⊥BC， BE⊥AC， D，E是垂足，求证：AB的中点M到D、E的距离相等．
解：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提
在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°，————小前提
所以△ABD是直角三角形————结论．
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，————大前提
而DM是直角三角形ABD斜边AB上的中线，——小前提
所以DM=AB．————结论
同理EM=AB．
所以DM=EM.
注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的.
思考：分析下面的推理：
因为指数函数是增函数，————大前提
而是指数函数，————小前提
所以是增函数. ————结论
（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？
提示：推理形式正确，但大前提是错误的（因为指数函数（0＜a＜1＝是减函数＝，所以所得的结论是错误的.
例3、证明函数在上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
1．运用新知；
2．板书解题详细步骤，规范学生的解题格式．
通过错例分析，加深理解
六、
小结与反思
1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式为：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
2．合情推理与演绎推理的区别和联系：
（1）推理形式不同（归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理）；
（2）合情推理为演绎推理提供方向和思路；演绎推理验证合情推理的正确性．
对比分析，
提高认识
【练习与测试】：
1．下面的推理过程中，划线部分是（ ）．
因为指数函数是减函数，而是指数函数，所以是减函数.
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（ ）
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
3．因为相似三角形面积相等，而△ABC与△A1B1C1面积相等，所以△ABC与△A1B1C1相似.上述推理显然不对，这是因为（ ）．
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．推理形式错误
4．请判断下面的证明，发生错误的是（ ）．
∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行，
又∵直线平面，直线平面，直线平面，且∥，
∴∥.
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．以上都错误
5．函数为奇函数，，则（ ）．
A．0 B．1 C． D．5
6．下面给出一段证明：
∵直线平面，
又∵∥，
∴∥.
这段证明的大前提是 ．
7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论．
∵ ．（大前提）
又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A． （小前提）
∴ ．（结论）
8．用“三段论”证明：通项公式为的数列是等差数列.
9．用“三段论”证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB=DC．
10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写．
11．证明函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．
12．设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：．
参考答案
1～5：BADAC
6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面
7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC⊥平面PAB
8．证：如果数列满足：（常数），那么数列是等差数列 （大前提）
∵数列中有（常数）， （小前提）
∴通项公式为的数列是等差数列． （结论）
9．证：过点D作DE∥AB，交BC于点E．
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （大前提）
又∵四边形ABED中DE∥AB，AD∥BE， （小前提）
∴四边形ABED是平行四边形． （结论）
∵平行四边形的对边相等． （大前提）
又∵四边形ABED是平行四边形， （小前提）
∴AB＝DE． （结论）
∵两直线平行，同位角相等． （大前提）
又∵AB∥DE， （小前提）
∴∠DEC＝∠B． （结论）
∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等． （大前提）
又∵∠B＝∠C，∠DEC＝∠B （小前提）
∴∠DEC＝∠C． （结论）
∵三角形中等角对等边． （大前提）
又∵△DEC中有∠DEC＝∠C， （小前提）
∴DE＝DC． （结论）
∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等． （大前提）
又∵AB＝DE，DE＝DC （小前提）
∴AB=DC． （结论）
10．证：函数若满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1＜x2，则有
＜，则在该给定区间内是增函数． （大前提）
任取x1、x2∈（－∞，1］，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x2－x1）（x1+x2－2）
又∵x1＜x2≤1，∴x2－x1＞0，x1+x2＜2，即x1+x2－2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＜0，即f(x1) ＜f(x2) ． （小前提）
∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数． （结论）
11．证：任取x1、x2∈［1，+∞］，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x1－x2）（2－（x1+x2））
又∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1+x2＞2，即2－（x1+x2）＜0，
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＞0，即f(x1)＞f(x2) ．
∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．
12．证：∵a+b=1，且a＞0,b＞0,
课件12张PPT。2.1.2演绎推理复习:合情推理归纳推理
类比推理从具体问题出发观察、分析
比较、联想提出猜想归纳、
类比类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。 复习:合情推理⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。 归纳推理的一般步骤： 观察与是思考1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 3.三角函数都是周期函数, 4.全等的三角形面积相等 所以铜能够导电.因为铜是金属, 所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+1)是奇数,所以是tan 周期函数因为tan 三角函数,那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.MSa1.全等三角形面积相等 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似,2.相似三角形面积相等 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似,想一想???练习:P91 3例.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等. (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900所以△ABD是直角三角形同理△ABD是直角三角形(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线所以 DM= AB同理 EM= AB所以 DM = EM大前提小前提结论大前提小前提结论证明:例:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.满足对于任意x1,x2∈D,若x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x10
因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0
因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.作业;P93 6 P110 A组2 普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]
2.1.2演绎推理
教学目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
教学重点：
掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
教学过程
复习
引入新课
1．假言推理
假言推理是以假言判断为前提的演绎推理。假言推理分为充分条件假言推理和必要条件假言推理两种。
（1）充分条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的前件，结论就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的后件，结论就否定大前提的前件。
（2）必要条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的后件，结论就要肯定大前提的前件；小前提否定大前提的前件，结论就要否定大前提的后件。
2．三段论
三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。
3.关系推理 指前提中至少有一个是关系判断的推理，它是根据关系的逻辑性质进行推演的。可分为纯关系推理和混合关系推理。纯关系推理就是前提和结论都是关系判断的推理，包括对称性关系推理、反对称性关系推理、传递性关系推理和反传递性关系推理。
对称性关系推理是根据关系的对称性进行的推理。
反对称性关系推理是根据关系的反对称性进行的推理。
传递性关系推理是根据关系的传递性进行的推理。
反传递性关系推理是根据关系的反传递性进行的推理。
4. 完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此得出结论说：该类事物都具有某种性质。
??完全归纳推理可用公式表示如下：
??S1具有（或不具有）性质P
??S2具有（或不具有）性质P……
??Sn具有（或不具有）性质P
??（S1?S2……Sn是?S类的所有个别对象）
??所以，所有S都具有（或不具有）性质P
??可见，完全归纳推理的基本特点在于：前提中所考察的个别对象，必须是该类事物的全部个别对象。否则，只要其中有一个个别对象没有考察，这样的归纳推理就不能称做完全归纳推理。完全归纳推理的结论所断定的范围，并未超出前提所断定的范围。所以，结论是由前提必然得出的。应用完全归纳推理，只要遵循以下两点，那末结论就必然是真实的：（1）对于个别对象的断定都是真实的；（2）被断定的个别对象是该类的全部个别对象。
小结：本节课学习了演绎推理的基本模式.
课堂练习：第68页练习A、B
课后作业：第69页A:3，
2.1.2 演绎推理
/
[学习目标]
1．理解演绎推理的意义．
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
[知识链接]
1．演绎推理的结论一定正确吗？
答 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．
2．如何分清大前提、小前提和结论？
答 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．
3．演绎推理一般是怎样的模式？
答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
[预习导引]
1．演绎推理
含义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
2.三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
/
要点一 用三段论的形式表示演绎推理
例1 把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提
水会沸腾．结论
(2)一切奇数都不能被2整除，大前提
2100＋1是奇数，小前提
2100＋1不能被2整除．结论
(3)三角函数都是周期函数，大前提
y＝tan α是三角函数，小前提
y＝tan α是周期函数．结论
规律方法 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪演练1 试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；
(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
解 (1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；
小前提：海王星是太阳系里的大行星；
结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．
(2)大前提：所有导体通电时发热；
小前提：铁是导体；
结论：铁通电时发热．
(3)大前提：一次函数都是单调函数；
小前提：函数y＝2x－1是一次函数；
结论：y＝2x－1是单调函数．
(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q；
小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列；
结论：数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
要点二 演绎推理的应用
例2 正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.
(1)求证：A1B⊥AD；
(2)求证：CE∥平面AB1D.
证明
/
(1)连接BD.
∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，
∴A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点，
∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，∵G为A1B的中点，∴A1B⊥DG，
又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.
又∵AD?平面AB1D，∴A1B⊥AD.
(2)连接GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面ABC.
∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，
∵GE＝DC＝a，∴四边形GECD为平行四边形，∴CE∥GD.
又∵CE?平面AB1D，DG?平面AB1D，
∴CE∥平面AB1D.
规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．
跟踪演练2 求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明 y＝＝1－，
所以f(x)的定义域为R.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－＝2－
＝2－＝2－2＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝2＝2·.
由于x1所以f(x1)要点三 合情推理、演绎推理的综合应用
例3 如图所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．
/
(1)求证：O为△BCD的垂心；
(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．
(1)证明 ∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，
∴AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC.
∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
/
(2)解 猜想：S＋S＋S
＝S.
证明：连接DO并延长交BC于E，连结AE，
由(1)知AD⊥平面ABC，
AE?平面ABC，
∴AD⊥AE，又AO⊥ED，
∴AE2＝EO·ED，
∴2＝·，
即S＝S△BOC·S△BCD.
同理可证：S＝S△COD·S△BCD，
S＝S△BOD·S△BCD.
∴S＋S＋S＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S.
规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
跟踪演练3 已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝也是等差数列．
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋(n－1)，
所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．
/
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝log x是对数函数(小前提)，所以y＝log x是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
答案 A
解析 y＝logax是增函数错误．故大前提错．
3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小前提：________；结论：________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y＝x2＋x＋1是二次函数 函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
4． “如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
/
证明：在△ABC中 ，
因为CD⊥AB，AC>BC， ①
所以AD>BD， ②
于是∠ACD>∠BCD. ③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
答案 ③
解析 由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
/
1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．
2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.
/
一、基础达标
1．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
答案 D
解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
答案 C
解析 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
答案 C
解析 由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
解析 利用三段论分析：
大前提：矩形都是对角线相等的四边形；
小前提：四边形ABCD是矩形；
结论：四边形ABCD的对角线相等．
5．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．
答案 ③
解析 在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．
6．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________．
答案 y＝的定义域是[4，＋∞)
解析 由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
证明 因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．
二、能力提升
8．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )
A．小前提错 B．结论错
C．正确的 D．大前提错
答案 C
解析 由三段论推理概念知推理正确．
9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 ①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.
10．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________.
答案
解析 令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)
即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ①
令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x) ②
由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(x＋2)，
∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)，
∴f(x)＝f(x＋6)，
即f(x)周期为6，
∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)
对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得
4f(1)f(0)＝2f(1)，
∴f(0)＝，即f(2 010)＝.
11．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin x|是周期函数．
证明 大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．
小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)．
结论：函数f(x)＝|sin x|是周期函数．
12．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
证明
/
如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB.AE?平面SAB.
∴AE⊥平面SBC，
又BC?平面SBC.
∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC.
∵SA∩AE＝A，SA?平面SAB，AE?平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB?平面SAB.∴AB⊥BC.
三、探究与创新
13．设f(x)＝，g(x)＝(其中a＞0且a≠1)．
(1)5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解 (1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝＋＝，
又g(5)＝因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝
f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明 因f(x)＝，g(x)＝(大前提)，
所以g(x＋y)＝，g(y)＝，f(y)＝(小前提及结论)，
所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋＝＝g(x＋y).
2.1.2 演绎推理
明目标、知重点
1．理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
1．演绎推理
含义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
2.三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
情境导学]
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？
探究点一 演绎推理与三段论
思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；
(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
答 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．
思考2 演绎推理有什么特点？
答 演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．
思考3 演绎推理的结论一定正确吗？
答 在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．
思考4 演绎推理一般是怎样的模式？
答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：
(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
解 (1)平行四边形的对角线互相平分， 大前提
菱形是平行四边形， 小前提
菱形的对角线互相平分． 结论
(2)等腰三角形的两底角相等， 大前提
∠A，∠B是等腰三角形的底角， 小前提
∠A＝∠B. 结论
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列， 大前提
通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－2(n－1)＋3]＝2(常数)， 小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列． 结论
反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：
(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；
(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；
(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形， 大前提
△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52， 小前提
△ABC是直角三角形． 结论
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线， 大前提
函数y＝2x＋5是一次函数， 小前提
函数y＝2x＋5的图象是一条直线． 结论
(3)三角函数是周期函数， 大前提
y＝sin x(x∈R)是三角函数， 小前提
y＝sin x(x∈R)是周期函数． 结论
探究点二 三段论推理中的易错点
例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)整数是自然数， 大前提
－3是整数， 小前提
－3是自然数． 结论
(2)常函数的导函数为0， 大前提
函数f(x)的导函数为0， 小前提
f(x)为常函数． 结论
(3)无限不循环小数是无理数， 大前提
(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提
是无理数． 结论
解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．
(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．
(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数．
反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确．
跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提
北京大学是中国的大学，小前提
所以北京大学分布在中国各地．结论
(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提
所以菱形是正多边形．结论
解 (1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．
探究点三 三段论的应用
例3 如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到点D，E的距离相等．
证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形， 大前提
在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°， 小前提
所以△ABD是直角三角形． 结论
同理，△AEB也是直角三角形．
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提
因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线， 小前提
所以DM＝AB. 结论
同理EM＝AB.
所以DM＝EM.
反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．
跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明 三角形的中位线平行于底边，大前提
点E、F分别是AB、AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提
EF∥平面BCD.结论
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
答案 A
解析 y＝logax是增函数错误．故大前提错．
3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；
小前提：____________；
结论：____________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y＝x2＋x＋1是二次函数 函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
4.如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>BCD.
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC， ①
所以AD>BD, ②
于是∠ACD>∠BCD. ③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
答案 ③
解析 由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
呈重点、现规律]
1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．
2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.
一、基础过关
1．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
答案 D
解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
2．下列说法不正确的是( )
A．演绎推理是由一般到特殊的推理
B．赋值法是演绎推理
C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断
D．归纳推理的结论都不可靠
答案 D
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
答案 C
解析 由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
解析 利用三段论分析：
大前提：矩形都是对角线相等的四边形；
小前提：四边形ABCD是矩形；
结论：四边形ABCD的对角线相等．
5．给出演绎推理的“三段论”：
直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)
已知直线b∥平面α，直线a?平面α；(小前提)
则直线b∥直线a.(结论)
那么这个推理是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
答案 A
6．下列几种推理过程是演绎推理的是( )
A．5和2可以比较大小
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．预测股票走势图
答案 A
7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
证明 因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．
二、能力提升
8．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是__________________．
答案 y＝的定义域是4，＋∞)
解析 由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.
10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)．
答案 ②③
11．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin x|是周期函数．
证明 大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．
小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)．
结论：函数f(x)＝|sin x|是周期函数．
12．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．
解 ∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴(a－)(ex－)＝0对于一切x∈R恒成立，
由此得a－＝0，
即a2＝1.又a>0，
∴a＝1.
三、探究与拓展
13．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0且a≠1)．
(1)5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解 (1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝×＋×＝
又g(5)＝，因此，
g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明：因为f(x)＝，g(x)＝，(大前提)
所以g(x＋y)＝，
g(y)＝，f(y)＝，(小前提及结论)
所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝×＋×
＝＝g(x＋y).
课件37张PPT。2.1.2 演绎推理 自主学习 新知突破1．理解演绎推理的意义．
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用三段论进行一些简单推理．
3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．人们在喜马拉雅山区考察时，发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石，还发现了鱼龙的化石．地质学家们推断说，鱼类、贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋．地质学家是怎么得出这个结论的呢？
[提示] 喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程：
大前提：鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里．
小前提： 在喜马拉雅山上发现它们的化石．
结论：喜马拉雅山曾经是海洋．1．演绎推理的含义及特点演绎推理 某个特殊情况下一般到特殊2.三段论已知的一般原理所研究的特殊情况对演绎推理及三段论的理解
(1)①演绎的前提是一般性的原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中；
②演绎推理是一种收敛性的思考方法，少创造性，但具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
(2)对于“三段论”应注意：
应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
解析： A、D为归纳推理，C为类比推理，B为演绎推理．
答案： B
2．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个推理的小前提为( )
A．EF∥BC
B．三角形的中位线平行于第三边
C．三角形的中位线等于第三边的一半
D．线段EF为△ABC的中位线
解析： 大前提是：三角形的中位线平行于第三边，小前提是：线段EF为△ABC的中位线．
答案： D
3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理的错误是________．
解析： 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然这是个错误的推理，究其原因，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但是结论是错误的．
答案： 大前提4．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处：
(1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.
(2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”
(3)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”
解析： (1)错误．在证明过程中，把论题中的四边形改为了矩形．
(2)不正确．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．
(3)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．合作探究 课堂互动 把演绎推理写成三段论的形式 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.
(3)菱形的对角线互相平分．
(4)通过公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列． (1)一切奇数都不能被2整除． (大前提)
75不能被2整除． (小前提)
75是奇数． (结论)
(2)三角形的内角和为180°. (大前提)
Rt△ABC是三角形． (小前提)
Rt△ABC的内角和为180°. (结论)
(3)平行四边形的对角线互相平分． (大前提)
菱形是平行四边形． (小前提)
菱形的对角线互相平分． (结论)
(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列． (大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)． (小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
(结论) 运用三段论时的注意事项
用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
1．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．
解析： (1)每个菱形的对角线相互垂直， (大前提)
正方形是菱形， (小前提)
所以，正方形的对角线相互垂直． (结论)
(2)两个角是对顶角则两角相等， (大前提)
∠1和∠2不相等， (小前提)
所以，∠1和∠2不是对顶角． (结论)三段论推理的错因 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误 解析： 直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．
答案： A 认清三段论的形式
解本题的关键是掌握好三段论推理的形式，然后仔细审查究竟是大前提错误、小前提错误还是推理形式错误，因为这三者中的任何一方错误都会导致整个三段论推理的结论错误． 2．(1)有下面一个演绎推理：“所有4的倍数都是2的倍数，某偶数是4的倍数，所以它是2的倍数”．关于这个推理，下面说法正确的一项是( )
A．推理是正确的
B．推理是错误的，因为大前提错误
C．推理是错误的，因为小前提错误
D．推理是错误的，因为结论错误
(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
答案： (1)A (2)C
演绎推理在几何中的应用 如图，已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证EF∥平面BCD.
[思路点拨] 三段论在几何问题中的应用
(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
特别提醒：在利用三段论证明问题时，大前提可以省略，但其他的不能省略．3．如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF.证明： 同位角相等，两条直线平行，(大前提)
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥EA.(结论)
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE是平行四边形．(结论)
平行四边形的对边相等，(大前提)
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，(小前提)
所以ED＝AF.(结论)谢谢观看！
