课件10张PPT。2.2.1 综合法和分析法(2) 一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
特点:“由因导果” 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以. AF⊥SC成立也可以是经过证明的结论例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3,公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.作业：Ｐ１０２ Ａ组4，Ｂ组3思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数甲:208个,乙:112个,丙:64个数学：2.2.1《综合法和分析法》教案
教学目标：
（一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
（二）过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
（三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想.
（答案：若，且，则 ）
2. 已知，，求证：.
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.
④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
为锐角，且，求证：. （提示：算）
② 已知 求证：
3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，. （教材P100 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. 的三个内角成等差数列，求证：.
3. 作业：教材P102 A组 2、3题.
第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式.
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：求证.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
→ 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.
③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .
3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）
三、巩固练习：
1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.
略证：正弦、余弦定理代入得：，
即证：，即：，即证：（成立）.
2. 作业：教材P100 练习 2、3题.
第三课时 2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，
则由垂径定理：OP(AB，OP(CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.
② 出示例2：求证是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为）
证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），
从而：，，可见m是3的倍数.
设m=3p（p是正整数），则 ，可见n 也是3的倍数.
这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴不可能，∴是无理数.
③ 练习：如果为无理数，求证是无理数.
提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即.
由，则也是有理数，这与已知矛盾. ∴ 是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
三、巩固练习： 1. 练习：教材P102 1、2题 2. 作业：教材P102 A组4题.
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
[学习目标]
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
[知识链接]
1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”
2．必修五中基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？
答 要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
[预习导引]
1．综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．分析法
分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．
要点一 综合法的应用
例1 在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明 由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C. ①
因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ②
由①②，得B＝. ③
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c，
从而有A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．
规律方法 利用综合法证明问题的步骤：
(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
跟踪演练1 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明 法一 ∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
法二 ∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2 >0，
∴(a＋b)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
法三 ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．
要点二 分析法的应用
例2 设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
规律方法 用分析法证明不等式时应注意
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．
跟踪演练2 已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.
证明 要证＋≥＋，
只要证a＋b≥·(＋)．
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，
因为a，b是正实数，
即证a＋b－≥，
也就是要证a＋b≥2，
即(－)2≥0.
该式显然成立，所以＋≥＋.
要点三 综合法和分析法的综合应用
例3 已知a、b、c是不全相等的正数，且0
求证：logx＋logx＋logx证明 要证明：
logx＋logx＋logx只需要证明logx由已知0abc.
由公式≥>0，≥>0，≥>0，
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
跟踪演练3 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：＋＝2.
证明 由已知条件得b2＝ac， ①
2x＝a＋b,2y＝b＋c. ②
要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( )
A．x<C．x<<2xy答案 D
解析 ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，
则＝，2xy＝，∴x<2xy<2．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案 C
解析 根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证：＋<＋，
只需证：(＋)2<(＋)2.
3．求证：＋＋<2.
证明 因为＝logab，所以左边
＝log195＋2log193＋3log192
＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360所以＋＋<2.
4．已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．
证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－，
∵＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，
即2tan α＝－1.∴tan α＝－显然成立，
∴结论得证．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.
一、基础达标
1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
答案 C
解析 对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立．
2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
答案 C
解析 由正弦定理＝，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；
若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D．答案 B
解析 因为a≠b，故>ab.
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝＝2－ab>1，即>1>ab.
5．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．
答案 分析法
6．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
答案 a>c>b
解析 ∵a2－c2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴a>c.∵＝＝＞1，∴c＞b.
7．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
证明 法一 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
法二 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，
只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，
∴上式成立．
二、能力提升
8．设0A．a B．b
C．c D．不能确定
答案 C
解析 ∵b－c＝(1＋x)－＝＝－<0，
∴bx＝a，∴a9．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
答案 C
解析 ∵与同号，由＋≤－2，知<0，<0，
即ab<0.又若ab<0，则<0，<0.
∴＋＝－≤
－2＝－2，
综上，ab<0是＋≤－2成立的充要条件，
∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分而不必要条件．
10．
如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
答案 对角线互相垂直
解析 本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
11．已知a＞0，b＞0，－＞1.求证：＞.
证明 要证＞成立，
只需证1＋a＞，
只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1，
∴a－b＞ab，只需证：＞1，即－＞1.
由已知a＞0，－＞1成立，
∴＞成立．
12．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
证明
如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|，
由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
三、探究与创新
13．(2013·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
(1)解 当n＝1时，＝2a1＝a2－－1－＝2，解得a2＝4.
(2)解 2Sn＝nan＋1－n3－n2－n ①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1) ②
①－②得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n
整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即＝＋1，－＝1，当n＝1时，－＝2－1＝1.
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以＝n，即an＝n2.
所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*.
(3)证明 因为＝＜＝－(n≥2)，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.
习题课 综合法和分析法
明目标、知重点
加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．
1．综合法
综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．
综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(结论)
2．分析法
分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．
分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)?…?Pn－2?Pn－1?Pn(结论)
分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．
题型一 选择恰当的方法证明不等式
例1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.
证明 I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
＝a2＋b2＋c2＋2S.
欲证3S≤I2<4S，
即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.
先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，
只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，
即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；
再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，
只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，
即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，
只需证a由于a、b、c为三角形的三边长，
上述三式显然成立，故有3S≤I2<4S.
反思与感悟 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
(1)a2≥0(a∈R)．
(2)(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，()2≥ab，a2＋b2≥.
(3)若a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别地＋≥2.
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
跟踪训练1 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≤4.
证明 方法一 ∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
方法二 ∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
∴(a＋b)(＋)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
方法三 ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．
题型二 选择恰当的方法证明等式
例2 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：＋＝.
证明 要证原式，只需证＋＝3，
即证＋＝1，即只需证＝1，
而由题意知A＋C＝2B，
∴B＝，∴b2＝a2＋c2－ac，
∴＝
＝＝1，
∴原等式成立，即＋＝.
反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
跟踪训练2 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：＋＝2.
证明 由已知条件得
b2＝ac，①
2x＝a＋b,2y＝b＋c.②
要证＋＝2，
只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
题型三 立体几何中位置关系的证明
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，
∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.
反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．
跟踪训练3 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明 (1)如图，设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG，且EF＝1，
AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG?平面BDE，
AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，
且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF.
所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，
所以CF⊥平面BDE.
呈重点、现规律]
1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．
2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.
一、基础过关
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．a≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
答案 C
解析 ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
2．已知a、b、c、d∈{正实数}，且<，则( )
A.<< B.<<
C.<< D．以上均可能
答案 A
解析 方法一 特值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.∴B、C、D不正确．
方法二 要证<，∵a、b、c、d∈{正实数}，
∴只需证a(b＋d)只需证<.而<成立，
∴<.同理可证<.
3．下面四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；②a(1－a)≤；
③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋ac＋bc；a(1－a)≤()2＝；(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2；当<0时，＋≥2不成立．
4．若实数a，b满足0A. B．2ab C．a2＋b2 D．a
答案 C
解析 ∵a＋b＝1，a＋b>2，∴2ab<，
由a2＋b2>＝，
又∵05．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是________．
答案 a>b>c
解析 a＝，b＝，c＝.∴a>b>c.
6．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为______)，只需证______，只需证AE⊥BC(因为________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．
答案 EF⊥SC AE⊥平面SBC AE⊥SB AB⊥BC
解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC⊥平面SAB，可得AE⊥BC，进而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，问题得证．
7．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋>＋.
证明 方法一 用综合法
＋－－＝
＝＝>0，
∴＋>＋.
方法二 用分析法
要证＋>＋，
只要证＋＋2>a＋b＋2，
即要证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
即需证a2－ab＋b2>ab，
只需证(a－b)2>0，
因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立，
所以＋>＋成立．
二、能力提升
8．命题甲：()x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由()x、2－x、2x－4成等比数列可得：(2－x)2＝()x·2x－4，解得x＝4；由lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列得：2lg(x＋2)＝lg x＋lg(2x＋1)，可解得x＝4(x＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件.
9．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg()，则( )
A．RC．Q答案 B
解析 a>b>1?lg a>0，lg b>0，Q＝(lg a＋lg b)>＝P，
R>lg＝(lg a＋lg b)＝Q?R>Q>P.
10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．
答案 ①③?②
解析 ∵αβ>0，|α|>2，|β|>2.
∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.
∴|α＋β|>5.
11．已知a>0，求证： －≥a＋－2.
证明 要证 －≥a＋－2，
只要证 ＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只要证 2≥2，
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只要证2≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．
12．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)·(－1)≥8.
证明 方法一 (分析法)
要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，
只需证··≥8成立．
因为a＋b＋c＝1，
所以只需证··≥8成立，
即证··≥8成立．
而··≥··＝8成立．
∴(－1)(－1)(－1)≥8成立．
方法二 (综合法)
(－1)(－1)(－1)
＝(－1)(－1)(－1)
＝··＝
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立．
13．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
(1)解 2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，
所以a2＝4.
(2)解 当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，
即－＝1，又－＝1，
故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*.
(3)证明 ＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋
＝1＋＋＋＋…＋
＝＋－＝－<，
所以对一切正整数n，有＋＋…＋<.
三、探究与拓展
14．已知a，b，c，d∈R，求证：
ac＋bd≤.(你能用几种方法证明？)
证明 方法一 (用分析法)
①当ac＋bd≤0时，显然成立．
②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立，只需证
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.
即证2abcd≤b2c2＋a2d2即证0≤(bc－ad)2.
因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．
故原不等式成立，综合①②知，命题得证．
方法二 (用综合法)
(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
＝(a2c2＋2acbd＋b2d2)＋(b2c2－2bcad＋a2d2)
＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2.
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法三 (用比较法)
∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝(bc－ad)2≥0，
∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法四 (用放缩法)
为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以试证(ac＋bd)2≤ (a2＋b2)(c2＋d2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．
方法五 (构造向量法)
设m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，
|m|＝，|n|＝.
∵m·n≤|m|·|n|＝·.
故ac＋bd≤.
课件41张PPT。2．2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法 自主学习 新知突破1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．了解综合法、分析法的思考过程、特点．
3．会综合运用综合法、分析法解决数学问题．1．阅读下列例题：
例：若实数a，b满足a＋b＝4，证明2a＋2b≥8.
[问题1] 本题利用什么公式证明的？
[提示1] 基本不等式．
[问题2] 本题的证明顺序是什么？
[提示2] 从已知到结论．
[问题1] 本题证明从哪里开始？
[提示1] 从结论开始．
[问题2] 证题思路是什么？
[提示2] 寻求上一步成立的充分条件．1．综合法的定义
利用___________和某些数学_________、________、_________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的__________成立，这种证明方法叫做综合法．综合法已知条件定义定理公理推理论证结论(P表示__________、已有的_________、__________、__________等，Q表示________________)已知条件定义定理公理所要证明的结论
1．综合法证明问题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．分析法的定义
从要证明的_________，逐步寻求使它成立的_________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法 结论出发充分条件2．应用分析法证明问题的模式
用分析法证明命题“若P，则Q”时的模式如下：
为了证明命题Q为真，
只需证明命题P1为真，从而有…
只需证明命题P2为真，从而有…
…
只需证明命题P为真，而已知P为真，故Q必为真．1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②CA．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
解析： ②?①，∴②是①的充分条件．
答案： A
2．下面叙述正确的是( )
A．综合法、分析法是直接证明的方法
B．综合法是直接证法，分析法是间接证法
C．综合法、分析法所用语气都是肯定的
D．综合法、分析法所用语气都是假定的
解析： 直接证明包括综合法和分析法．
答案： A
答案： a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
4．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
证明： ∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2
≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋bbd2
＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边，
∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．合作探究 课堂互动 综合法的应用 1.综合法是数学证明中最常用的一种方法，本题巧妙地应用了“1”的代换及基本不等式．
2．综合法证明不等式常用“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形．
3．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： 分析法的应用 [思路点拨] 本题含有绝对值符号，可用分析法证明． 用分析法证明不等式时应注意的问题：
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“?”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．分析法与综合法的综合应用 [思路点拨] 解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数的性质转化成证明整式不等式． 1.“分析综合法”解决数学问题：
“分析综合法”又叫混合型分析法，是同时从已知条件与结论出发，寻找其之间的联系而沟通思路的方法．在解题过程中，分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析．分析综合法的方法结构如图所示： 2．“分析综合法”证明的步骤：
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q.若由Q可以推出P成立，就可证明结论成立，其证明模式可用如下框图表示：
(其中Q1代表结论，P1代表要证的条件)．
特别提醒：在平时的证明问题中，一般不是单纯地使用某一种证明方法，更多的是综合使用几种方法．3．已知a，b，c∈R且不全相等，
求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
证明： 证法一：(分析法)
要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)，
只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＞0，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0，
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0.
所以原不等式a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca成立．
证法二：(综合法)
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.
所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
【错因】 没有按照分析法的过程来证明
以论证“若A，则B”为例，分析法的书写格式为：欲证命题B成立，只需证命题B1成立，只需证命题B2成立，…，只需证A成立．由已知，A成立，故B必成立．谢谢观看！