2. 2.2反证法
课前预习学案
一、预习目标：
使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.
二、预习内容：
提出问题：
问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．
问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.
推进新课
??在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标
（1）使学生了解反证法的基本原理；
（2）掌握运用反证法的一般步骤；
（3）学会用反证法证明一些典型问题.
二、学习过程：
例1、已知直线和平面，如果，且，求证。
解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；
证明：因为,
所以经过直线a , b 确定一个平面。
因为，而，
所以 与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾．所以 .
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利
变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例2、求证：不是有理数
解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质， ”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．
证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,
因此，，
所以 m 为偶数．于是可设 ( k 是正整数），从而有
，即
所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．
点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
变式训练2、已知，求证：（且）
例3、设二次函数， 求证：中至少有一个不小于.
解析：直接证明中至少有一个不小于.比较困难，我们应采用反证法
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。
变式训练3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ( a)b, (1 ( b)c, (1 ( c)a,不可能同时大于
反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
3.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
（4结论为 “唯一”类命题；
当堂检测：
1. 证明不可能成等差数列．
2．设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。
课后练习与提高
一、选择题
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
Ａ．假设都是偶数
Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数
Ｄ．假设至多有两个是偶数
2．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（ ）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确
3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
二、填空题
4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______．
5. 已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．
三、解答题
6．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．
课件12张PPT。2.2.2 反证法经过证明的结论 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.用框图表示分析法思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数甲:208个,乙:112个,丙:64个思考？ A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎. 反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：
正难则反反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 ------论正确归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；
（4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。例3：证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。ABCD 例4 求证： 是无理数。作业2.2.2 反证法
[学习目标]
1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
[知识链接]
1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？
答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．
2．反证法主要适用于什么情形？
答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
[预习导引]
1．反证法定义
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题
例1 已知x，y>0，且x＋y>2.
求证：，中至少有一个小于2.
证明 假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．
跟踪演练1 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明 假设a，b，c，d都是非负数，
∵a＋b＝c＋d＝1，
∴(a＋b)(c＋d)＝1.
又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
∴ac＋bd≤1.
这与已知ac＋bd>1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题
例2 求证对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．
证明 假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点在直线y＝ax上，所以
由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④
当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．
由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤
由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得：
ak＝3，这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．
规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．
跟踪演练2 求证方程2x＝3有且只有一个根．
证明 ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．
∴b1－b2＝0，则b1＝b2.
∴假设不成立，从而原命题得证．
要点三 用反证法证明否定性命题
例3 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解 设公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明 由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，
∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
跟踪演练3 已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明 假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，由0
解得故方程f(x)＝0没有负数根．
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
答案 B
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
答案 B
3．“aA．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b或a>b
答案 D
4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
答案 D
5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．
证明 (反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
1．反证法证明的基本步骤
(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)
(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)
2．用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、基础达标
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )
①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾
A．①② B．①③
C．①③④ D．①②③④
答案 D
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
答案 C
解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或xA．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 B
解析 ①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除
答案 B
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________
答案 a，b，c都不是偶数
解析 a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．
答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证f(x)＝0无整数根．
证明 设f(x)＝0有一个整数根k，则
ak2＋bk＝－c. ①
又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，
∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．
二、能力提升
8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使xn≤xn＋1
答案 D
解析 “任意”的反语是“存在一个”．
9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
答案 C
解析 假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则＋＋<6.
又＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－2或a≥－1
解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－211．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证a>0，b>0，c>0.
证明 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
12．已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
证明 假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>， ①
又因为0同理0所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤， ②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
三、探究与创新
13．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：
(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；
(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.
证明 (1)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，
又因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，
f(b)＞f(－a)，
由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．
(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，
因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，
这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，
所以假设不正确，所以原命题成立.
2.2.2 反证法
明目标、知重点
1．了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
1．定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
情境导学]
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．
探究点一 反证法的概念
思考1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？
答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．
思考2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？
答 (1)与原题中的条件矛盾；
(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；
(3)与假设矛盾．
思考3 反证法主要适用于什么情形？
答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论
例1 已知直线a，b和平面α，如果a?α，b?α，且a∥b，求证：a∥α.
证明 因为a∥b，
所以经过直线a，b确定一个平面β.
因为a?α，而a?β，所以α与β是两个不同的平面．
因为b?α，且b?β，所以α∩β＝b.
下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．
假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，
则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，
这与a∥b矛盾．所以a∥α.
反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．
跟踪训练1 如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.
求证：直线b与平面α必相交．
证明 假设b与平面α不相交，即b?α或b∥α.
①若b?α，因为b∥a，a?α，所以a∥α，
这与a∩α＝A相矛盾；
②如图所示，如果b∥α，
则a，b确定平面β.
显然α与β相交，
设α∩β＝c，因为b∥α，
所以b∥c.又a∥b，
从而a∥c，且a?α，c?α，
则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾．
由①②知，假设不成立，
故直线b与平面α必相交．
探究点三 用反证法证明否定性命题
例2 求证：不是有理数．
证明 假设是有理数．于是，
存在互质的正整数m，n，
使得＝，从而有m＝n，因此m2＝2n2，
所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有
4k2＝2n2，即n2＝2k2，
所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．
由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数．
反思与感悟 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
跟踪训练2 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
证明 假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0.即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明
例3 若函数f(x)在区间a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间a，b]上至多有一个实根．
证明 假设方程f(x)＝0在区间a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在a，b]上是增函数，所以f(α)反思与感悟 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．
跟踪训练3 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大于0.
证明 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一个大于0.
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
答案 B
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
答案 B
3．“aA．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b或a>b
答案 D
4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
答案 D
5．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
证明 由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.
如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b， ①
ax2＝b. ②
①－②，得a(x1－x2)＝0.
因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．
所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．
呈重点、现规律]
1．反证法证明的基本步骤是什么？
(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)
(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)
2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？
反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的.
一、基础过关
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )
①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
答案 D
2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
答案 D
解析 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c”中都是奇数或至少有两个偶数．
3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或xA．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 B
解析 ①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除
答案 B
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为( )
A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都不是偶数
C．a，b，c中至多一个是偶数 D．至多有两个偶数
答案 B
解析 a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_________________________.
答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
证明 设f(x)＝0有一个整数根k，则
ak2＋bk＝－c.①
又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，
∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．
二、能力提升
8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使xn≤xn＋1
答案 D
解析 “任意”的反语是“存在一个”．
9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
答案 C
解析 假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.
又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－2或a≥－1
解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－211．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
证明 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)，
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab，
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2，
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
证明 假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①
又因为0同理0所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
三、探究与拓展
13．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：
(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；
(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.
证明 (1)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，
又因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，
由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．
(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，
因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，
这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，
所以假设不正确，所以原命题成立．
课件36张PPT。2.2.2 反证法 自主学习 新知突破1．了解反证法是间接证明的一种方法．
2．理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数学问题．1．[问题] A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？
[提示] 假设C没有撒谎，则C真．那么A假且B假；由A假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎．
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
[问题1] 你能利用综合法和分析法证明该问题吗？
[提示1] 不能．
[问题2] a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？
[提示2] 都是奇数．假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法．定义 不成立假设错误原命题成立反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与_______、公理、定理、事实矛盾等．反证法常见的矛盾类型 已知条件假设定义反证法的实质及注意事项
(1)反证法的实质
反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题“若p则q”为真．
(2)注意事项
①用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义．
②反证法的“归谬”要合理．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
解析： 由反证法定义可知①②③正确．
答案： C2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b 都不能被5整除”．
答案： B3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析： 由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案： ③①②合作探究 课堂互动 用反证法证明否(肯)定式命题 平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路点拨] 1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．
(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 用反证法证明唯一性问题 已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．
[思路点拨] 这是一个唯一性问题，直接证明较困难，宜用反证法． 如图，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立． 用反证法证明唯一性命题的适用类型
(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．
(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用．
特别提醒：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个问题，即存在性问题和唯一性问题．2．已知：一点A和平面α.
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
证明： 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，
a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．用反证法证明“至多”“至少”存在性问题 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
[思路点拨] 结论中有词语“至少”，宜采用反证法，注意“至少有一个”的否定形式为“一个也没有”．
所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直． 1.当命题出现“至多”“至少”等形式时，适合用反证法．
2．常见的“结论词”与“反设词”
◎用反证法证明命题“a，b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为________．
【错解】 a，b不都是偶数
【错因】 应用反证法时，假设错误
a，b不都是偶数包括的情况有：
①a是偶数，b是奇数；②a是奇数，b是偶数；③a是奇数，b是奇数．
注意否定的结论是不是结论的对立面，“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”．
【正解】 a，b不都是奇数谢谢观看！