课件24张PPT。知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾研读教材新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课后作业§2.3 数学归纳法(1)
【学情分析】：
数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。
（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】：
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
【教学难点】：
如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、
提出
问题
1. 问题1：盒子里有八个乒乓球，如何证明里面的球全为白色？
以试验的方式，从盒子中先取5次球，观察颜色并猜想其余球的颜色，判断猜想是否正确（完全归纳法）？
2.考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。不完全归纳法得到的结论不一定正确。
考察全部对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。完全归纳法得到的结论一定正确。
3. 举2个小例子说明不完全归纳法不一定正确。
小明的爸爸有3个儿子，老大说：“我叫1毛”，老二说：“我叫2毛”，老三说————？（我声明，我不叫3毛，我叫小明）。
因为矩形与正方形的对角线都相等且互相平分，所以说所有四边形的对角线都相等且互相平分。
4. 问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？
（板书）归纳出的结论——正确。
5. 问题3：对于数列{an}，已知（n=1,2,……），求出，我们猜想其通项公式为。这个结论正确吗？
生：讨论、交流。
6. 提出问题：很多时候用完全归纳法证明结论是否正确是不合适的，我们借助不完全归纳法去发现或猜想结论，那么如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ （只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。）
通过实际例子了解不完全归纳法与完全归纳法的概念
复习回顾
提出问题，引发思考
通过一系列的问题引出新课
二、
数学归纳法原理
1. 由多米诺骨牌引入数学归纳法
[投影]多米诺骨牌游戏
提出两个问题：若第一块不倒，出现什么情况？若中间某块倒下，不能使其下一块倒下，出现什么情况？所以多米诺骨牌游戏能进行下去要满足两个条件。
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
2．参照多米诺骨牌的原理，我们设想：在证明某些与正整数有关问题时，先证明当n取第一个值n0(例如n0 =1或2)时，命题成立（即骨牌的第一块能倒），然后假设只要由n=k ( k∈N* ，k≥ n0 )时命题成立，就能推出n=k+1时命题也成立（即只要某一块倒下，就能使其下一块也倒下），那么就证明这个命题成立（所有骨牌都能倒下）。我们称这种证明方法叫做数学归纳法。（严谨，一而二，二而三，……以至无穷）
数学归纳法的适用范围、原理
电脑多媒体课件能够强化对学生感观的刺激，它创设生动、形象、直观的教学情景，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一节课的信息容量，帮助学生理解和掌握知识
三、
应用
给出问题3的数学归纳法的证明，将每一步骤标号。引导学生总结出数学归纳法的证题思路和步骤。
数列{an}中，已知（n=1,2,……），则猜想其通项公式为。
证明：（1）当n=1时，猜想式成立
（2）假设当n=k时猜想成立，即，
那么当n=k+1时，
根据已知及假设，
所以即当n=k+1时猜想也成立。
由（1）（2）可以断定，等式对一切n∈N*都成立
强调:要用到归纳假设；列出证明n=k+1成立时的目标
通过此例引导学生总结数学归纳法的证题步骤。
详细的板书推导利于学生总结归纳出数学归纳法的证题步骤及更进一步地理解原理
四、
归纳
明确数学归纳法的“起动步骤”和“递推步骤”这“两个步骤”以及“一个结论”。
用数学归纳法证明命题的具体步骤是：
(1)（归纳奠基）证明当n取第一值n0 (例如n0=1，n0=2等)时命题成立；
(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N* 且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确。
强调：
（1）上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。
（2）第一步要证明，n=k+1时也要证明，且过程中一定要用到假设。
阅读课本：P93倒数第5行至P94例1上方。
培养学生的归纳能力
培养阅读习惯
五、
应用
例1 用数学归纳法证明
板书解答过程，注意解题规范，严防出现“依次类推”式的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k+1成立的过程中，不可应用等差数列求和公式证明n=k+1成立。
证明：
（1）当n=1时，左式=1，右式=12，等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立
即成立
则当n=k+1时
所以当n=k+1时等式也成立
综合（1）（2）知，等式对于任意n∈N*都成立。
演示此求证式的含义
保证学生及时地在充分理解的基础上掌握数学归纳法的解题方法及步骤
六、
练习
巩固
P95. 练习1.
实物投影学生解答过程，及时点评。
（学生板演练习）
通过讲评可以及时发现学生解题中存在的问题，予以更正。
七、
知识
小结
适用：与正整数有关的命题
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉
通过小结总结所学，突出重点，强调难点
十、
课后
作业
1. P96习题2.3 A组 1（2）
2. P96习题2.3 B组1
通过作业反馈，了解对所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难的地方
十一、
设计
反思
本节课让学生对数学归纳法的原理及证题步骤有一个初步的认识，所选例题及练习均是较基础和简单的。在教学过程中要强调：用数学归纳法证明命题时，难在第二步。即在假设n=k命题成立时，推出n=k+1时命题也成立。要顺利地完成这一步，主要依赖于观察、归纳、恒等变形等方面的能力。在推导证明中必须运用到“归纳假设”，否则不是数学归纳法。
【练习与测试】：
1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）
A. n=1时成立 B. n=2时成立
C. n=3时成立 D. n=4时成立
答案：C
解：由于多边形最少是三角形，故选C。
2. 某个与正整数n有关的命题，如果当时该命题成立，则一定可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知n=5时，该命题不成立，那么应有（ ）
A. 当n=4时，该命题成立 B. 当n=6时，该命题成立
C. 当n=4时，该命题不成立 D. 当n=6时，该命题不成立
答案：C
解：n=6时命题成立与否不能确定，排除B、D；假设n=4时，该命题成立，由已知得n=5时该命题成立，与已知条件矛盾，故选C。
3．用数学归纳法证明：，在验证n=1时，左端计算所得的项为_______________________________。
答案：1+a+a2
解：由题意可知等式左端共有n+2项，∴当n=1时，左端有3项为1+a+a2。
4. 数列{an}中，已知（n=1,2,……），计算，猜想的表达式并用数学归纳法证明。
解：
猜想：
证明：（1）当n=1时，猜想式成立
（2）假设当n=k时猜想成立，即，
那么当n=k+1时，
根据已知及假设，
所以
即当n=k+1时猜想也成立。
由（1）（2）可以断定，等式对一切n∈N*都成立
5．用数学归纳法证明：n边形的内角和为
证明：（1）当n=3时，三角形内角和为，满足。
（2）假设当n=k时，命题成立，即k边形的内角和为
则当n=k+1时，相当于多出了一个三角形，内角增加了，
所以k+1边形的内角和为
即当n=k+1时，命题成立 。
综合（1）（2），命题对于任意 成立。
6. 若n为正整数，求证：n3+5n能被整除。
证明：（1）当n=1时，命题显然成立；
（2）假设当n=k时，命题成立，则k3+5k能被6整除
则当n=k+1时，（k+1）3+5(k+1)= k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6
由假设知 k3+5k能被6整除，而k(k+1)是2的倍数，即3k(k+1)为6的倍数，
第三项6也能被6整除，因此，(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除。
综合(1)(2)知，原命题成立。
数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A版选修2-2）
第一课时 2.3 数学归纳法（一）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.
教学过程：
一、复习准备：
1. 问题1： 在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式. （过程：，，，由此得到：）
2. 问题2：，当n∈N时，是否都为质数？
过程：=41，=43，=47，=53，=61，=71，=83，=97，=113，=131，=151，…? =1 601．但是=1 681=412是合数
3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.
二、讲授新课：
1. 教学数学归纳法概念：
① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.
不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.
完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
② 讨论：问题1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？对所有的正整数n是否成立？
③ 提出数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.
2. 教学例题：
出示例1：.
分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？
小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.
② 练习：
求证：.
③ 出示例2：设a＝++…+ (n∈N*)，求证：a<(n＋1).
关键：a<(k＋1)+＝(k+1)+<(k+1)+(k+)＝(k+2)
小结：放缩法，对比目标发现放缩途径. 变式：求证a>n(n＋1)
3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B组1、2、3题.
第二课时 2.3 数学归纳法（二）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知，猜想的表达式，并给出证明？
过程：试值，，…，→ 猜想 → 用数学归纳法证明.
2. 提问：数学归纳法的基本步骤？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知数列，猜想的表达式，并证明.
分析：如何进行猜想？（试值→猜想） → 学生练习用数学归纳法证明
→ 讨论：如何直接求此题的？ （裂项相消法）
小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）
② 练习：是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立，试证明你的结论.
解题要点：试值n=1,2,3， → 猜想a、b、c → 数学归纳法证明
2. 练习：
① 已知 ，考察；；之后，归纳出对也成立的类似不等式，并证明你的结论.
② （89年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式 （答案：a=3,b=11,c=10）
1对一切自然数n都成立？并证明你的结论
3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.
三、巩固练习：
1. 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.
2. 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （答案：m=36）
3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何的邮资.
证明：（1）当时，由可知命题成立；
（2）假设时，命题成立. 则
当时，由（1）及归纳假设，显然时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.
小结：新的递推形式，即（1）验证 成立；（2）假设成立，并在此基础上,推出成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数,命题都成立.
2. 作业：
2.3 数学归纳法(一)
/
[学习目标]
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
[知识链接]
1．对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？
答 a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想数列的通项公式为an＝.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．
2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？
答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下．
3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？
答 (1)当n＝1时，猜想成立；(2)若当n＝k时猜想成立，证明当n＝k＋1时猜想也成立．
[预习导引]
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
2．应用数学归纳法时注意几点：
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．
/
要点一 正确判断命题从n＝k到n＝k＋1项的变化
例1 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．
答案 2k
解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．
规律方法 在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．
跟踪演练1 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．
答案 ＋＋
解析 ∵f(n)＝1＋＋＋…＋，
∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
要点二 证明与自然数n有关的等式
例2 已知n∈N*，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，
等式成立；
(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即：
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋
－
＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋
＝右边；
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知对一切n∈N*等式都成立．
规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；
(2)用数学归纳法证题时，要把n＝k时的命题当作条件，在证n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．
跟踪演练2 用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N*时，·…·＝.
证明 (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，
即…＝，
那么当n＝k＋1时，
…＝·＝＝
＝.
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．
要点三 证明与数列有关的问题
例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前五项；
(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．
解 (1)已知a1＝1，由题意得a1·a2＝22，
∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.
同理可得a4＝，a5＝.
因此这个数列的前五项为1,4，，，.
(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：
an＝
下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.
①当n＝2时，a2＝＝22，
所以等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，
即ak＝，
则当n＝k＋1时，∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，
∴a1·a2·…·ak＋1＝(k＋1)2.
∴ak＋1＝
＝·＝，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是
an＝，∴an＝
规律方法 (1)数列{an}既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明．
(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法．
跟踪演练3 数列{an}满足：a1＝，前n项和Sn＝an，
(1)写出a2，a3，a4；
(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．
解 (1)令n＝2，得S2＝a2，
即a1＋a2＝3a2，解得a2＝.
令n＝3，得S3＝a3，
即a1＋a2＋a3＝6a3，解得a3＝.
令n＝4，得S4＝a4，
即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，解得a4＝.
(2)由(1)的结果猜想an＝，下面用数学归纳法给予证明：
①当n＝1时，a1＝＝，结论成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，Sk＝ak， ①
Sk＋1＝ak＋1， ②
②与①相减得ak＋1＝ak＋1－ak，
整理得ak＋1＝ak＝·＝＝，
即当n＝k＋1时结论也成立．
由①、②知对于n∈N*，上述结论都成立．
/
1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案 C
解析 由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
答案 C
解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．
答案 未用归纳假设
解析 本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
4．当n∈N*时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋，
(1)求S1，S2，T1，T2；
(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
解 (1)∵当n∈N*时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋.
∴S1＝1－＝，S2＝1－＋－＝，
T1＝＝，T2＝＋＝.
(2)猜想Sn＝Tn(n∈N*)，即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，已证S1＝T1，
②假设n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)，
即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，
则Sk＋1＝Sk＋－＝Tk＋－
＝＋＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋
＝Tk＋1.
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn＝Tn都成立．
/
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
/
一、基础达标
1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出( )
A．当n＝6时命题不成立 B．当n＝6时命题成立
C．当n＝4时命题不成立 D．当n＝4时命题成立
答案 B
2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
答案 B
解析 由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
答案 C
解析 因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.
4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是( )
A．1 B．
C．1＋＋ D．以上答案均不正确
答案 C
5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
答案 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
解析 由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项．
6．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝________.
答案 f(k)＋＋＋－
7．用数学归纳法证明…＝(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即
…＝，
当n＝k＋1时，
…·＝＝＝＝，
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．
二、能力提升
8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
答案 B
解析 n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)．
9．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
答案 D
解析 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，
∴项数为n2－n＋1.
10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________．
证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．
答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础
11．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，
右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．
(2)假设当n＝k时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，
那么当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k·(k＋1)
＝(－1)k·
＝(－1)k＋1－1·.
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．
12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝.
(2)证明 ①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．
②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，
即ak＝5×2k－2，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.
＝5＋＝5×2k－1＝5×2(k＋1)－2.
故n＝k＋1时公式也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2.
所以数列{an}的通项公式为
an＝.
三、探究与创新
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解 (1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.
(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝.
那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
又Sk＝1－kak＝，
所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
从而ak＋1＝＝.
即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立
【创新设计】2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课时作业 新人教版选修2-2
明目标、知重点
1．了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
2．应用数学归纳法时特别注意：
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．
情境导学]
多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下； 而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？
探究点一 数学归纳法的原理
思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？
答 (1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．
所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．
思考2 对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？
答 a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
猜想an＝(n∈N*)．
以下为证明过程：
(1)当n＝1时，a1＝1＝，所以结论成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时ak＋1＝(已知)
＝(代入假设)
＝(变形)
＝(目标)
即当n＝k＋1时，结论也成立．
由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an＝成立．
思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？
答 一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．
证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．
(2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，
则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝＝(k＋1)2等式也成立．
由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．
答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．
探究点二 用数学归纳法证明等式
例1 用数学归纳法证明
12＋22＋…＋n2＝(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝＝1，
等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即
12＋22＋…＋k2＝，
那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝
＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．
反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
跟踪训练1 求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
证明 当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝，
所以等式成立．
假设n＝k(k∈N*)时，
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋成立．
那么当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋－]
＝＋＋…＋＋，
所以n＝k＋1时，等式也成立．
综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．
探究点三 用数学归纳法证明数列问题
例2 已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解 S1＝＝；
S2＝＋＝；
S3＝＋＝；
S4＝＋＝.
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.
于是可以猜想Sn＝.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，
右边＝＝＝，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
＋＋＋…＋＝，
那么，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．
反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．
跟踪训练2 数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．
解 由a1＝2－a1，
得a1＝1；
由a1＋a2＝2×2－a2，
得a2＝；
由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，
得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，
得a4＝.
猜想an＝.
下面证明猜想正确：
(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．
(2)假设当n＝k时猜想成立，
则有ak＝，
当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
∴ak＋1＝2(k＋1)－Sk]
＝k＋1－(2k－)
＝，
所以，当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可知，an＝对任意正整数n都成立．
1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案 C
解析 由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
答案 C
解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．
上述证明的错误是________．
答案 未用归纳假设
解析 本题在由n＝k成立，
证n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上假设条件，
这与数学归纳法的要求不符．
4．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)
证明 (1)当n＝1时，左式＝1＋，
右式＝＋1，
所以≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．
呈重点、现规律]
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、基础过关
1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出( )
A．当n＝6时命题不成立
B．当n＝6时命题成立
C．当n＝4时命题不成立
D．当n＝4时命题成立
答案 B
2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
答案 B
解析 由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 C
解析 因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.
4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是( )
A．1 B.
C．1＋＋ D．以上答案均不正确
答案 C
5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
答案 D
解析 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，
∴项数为n2－n＋1.
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推测an＝，故选B.
7．用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即
(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，
当n＝k＋1时，
(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)
＝(1－)＝＝＝，
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．
二、能力提升
8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
答案 B
解析 n＝k＋1时，
左端为(k＋2)(k＋3)…(k＋1)＋(k－1)]·(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，
∴应增乘2(2k＋1)．
9．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝________.
答案 f(k)＋＋＋－
10．证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________．
答案 缺少步骤归纳奠基
11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，
右边＝(－1)1－1×＝1，
结论成立．
(2)假设当n＝k时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，
那么当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k·(k＋1)
＝(－1)k·.
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．
12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝.
(2)证明 ①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．
②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，
即ak＝5×2k－2，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.
＝5＋＝5×2k－1.
故n＝k＋1时公式也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2.
所以数列{an}的通项公式为
an＝.
三、探究与拓展
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解 (1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.
(2)猜想：an＝.
下面用数学归纳法证明
①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝.
那么，当n＝k＋1时Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
又Sk＝1－kak＝，
所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
从而ak＋1＝＝.
即n＝k＋1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．
课件39张PPT。2．3 数学归纳法自主学习 新知突破1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．下图为多米诺骨牌：
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
[提示] (1)处理第一个问题；(相当于推倒第一块骨牌)
(2)验证前一问题与后一问题有递推关系．(相当于前牌推倒后牌)一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1．(归纳奠基)证明当n取___________ (n0∈N*)时命题成立；
2．(归纳递推)假设 ___________________时命题成立，证明当__________时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1上述证明方法叫做数学归纳法
可以用框图表示为：数学归纳法的应用及注意事项
(1)数学归纳法的应用范围是证明与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题，探求数列的通项及前n项和等．
(2)应用数学归纳法应注意：
①数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．
②验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；
③在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
答案： C答案： D
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为__________ .
解析： 当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.
答案： 1×4＋2×7…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)24．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
证明： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，
即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)．
则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)
＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，对一切n∈N*，命题成立．合作探究 课堂互动 用数学归纳法证明等式或不等式 [思路点拨] 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项． 用数学归纳法证明几何问题 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析．在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧． 归纳—猜想—证明 “观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法
(1)观察：由已知条件写出前几项；
(2)归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系；
(3)猜想：猜想出通项公式；
(4)证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明． 3．数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*)，
(1)求a1，a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解析： (1)由2Sn＝a＋n得
当n＝1时，2a1＝a＋1，∴a1＝1.
当n＝2时，2S2＝a＋2，∴a2＝2.
当n＝3时，2S3＝a＋3，∴a3＝3.
猜想：数列{an}的通项公式为an＝n.【错因】 没有利用归纳假设进行证明．第(2)步，不可以直接利用等比数列的求和公式求出当n＝k＋1时式子的和，在证明n＝k＋1时，一定要利用“归纳假设”．谢谢观看！
