课件12张PPT。§2.3 数学归纳法(2)
【学情分析】：
数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。
（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】：
进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
【教学难点】：
如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、
复习
回顾
数学归纳法的主要步骤及其适用范围
(1)（归纳奠基）证明当n取第一值n0 (例如n0=1，n0=2等)时命题成立；
(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N* 且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
那那么，对n≥n0 的一切自然数n命题都成立。
数学归纳法多用于证与正整数有关的数学问题。
二、
应用
1. 例2 用数学归纳法证明
证明：（1）当n=1时，左边=1,
右边=，所以等式成立。
（2）假设当n=k时等式成立，即
那么，当n=k+1时，
即当n=k+1时等式也成立。
综合(1)(2)可知，等式对任何都成立。
2. 例3
已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。
解：；
猜想：
证明：（1）当n=1时，左边=
右边=，猜想成立。
（2）假设当n=k时猜想成立，即
那么，
所以，当n=k+1时猜想也成立。
综合(1)(2)知，猜想对任何都成立。
详细板书证明过程
强调：在证明n=k+1时一定要用到假设，整理过程中如何减少运算量，将待证目标式摆到草稿纸上，对应目标化简整理。
进一步巩固数学归纳法的证题步骤及思路。
三、
练习
巩固
P91. 练习2.
四、
知识
小结
1. 适用：与正整数有关的命题
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉
2. 数学归纳法两个步骤是一个统一的整体，缺一不可，注意在第二步中将归纳假设当做已知条件使用，而且必须运用到“归纳假设”，否则就不是数学归纳法。
3. 数学归纳法用步骤（1）和（2）的证明代替了无穷多个命题的证明，这里体现了有穷和无穷的辩证关系。
通过小结总结所学，突出重点，强调难点
五、
课后
作业
1. P91习题2.3 A组 2
2. P91习题2.3 B组2.3.
通过作业反馈，了解对所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难之处
六、
设计
反思
数学归纳法的步骤非常清晰，但学生在应用的过程中容易出现如下问题：如何由n=k时成立的归纳假设去推得n=k+1时结论依然成立，要通过仔细观察与分析前后原式发生的变化，不能轻易下结论；归纳假设是数学归纳法解题成功与否的关键，一定要利用上；为充分利用归纳假设，往往要利用“拆”、“添”项的方法“凑”出归纳假设中成立的因子。在教学过程中应给以强调。
【练习与测试】：
使用数学归纳法证明，若不等式成立，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：当n取第一个值5时，命题成立。
2．用数学归纳法证明“”，要证明第一步时，左边的式子= 。
答案：。
3．当时，求证：。
证明：（1）当n=1时，左式=，右式=1，，原不等式成立。
（2）假设当n=k时，原不等式成立，即
则当n=k+1时，左式=
所以n=k+1时结论成立
综合（1）（2）原不等式对于任意均成立。
4. 用数学归纳法证明：“成立，（）”，第二步从n=k到n=k+1时，左式有什么变化？
答案：左端增加了两项（2k+1）、（2k+2），还少了一项（k+1）。
解：当n=k时，左式=
5．已知f(x)是定义在（-∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足。（1）求的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并说明理由；（3）证明：。
解：（1）∵f(x)对任意x,y,f(x)都有
∴
（2）∵f(x)对任意x,y,f(x)都有
∴
将 f(-1)=0 代入得 f(-t)=-f(t)
∴函数f(x)是（-∞，+∞）上的歌奇函数。
证明：（3）用数学归纳法：
当n=1时，左边=f(a1)=f(a)，右边=，等式成立。
假设当n=k时，等式成立，即，则当n=k+1时，有
这表明当n=k+1时等式也成立。
综合①②可知，对任意正整数，等式成立。
6. 是否存在实数a,b,c,使得等式对任何正整数n都成立，并证明你的结论。
解：假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有
故
于是，对n=1,2,3,下面等式成立，
。（*）
下面证明上式对任何正整数n都成立
证明：（1）当n=1时，左式，左式=右式，所以（*）式成立。
（2）假设n=k时（*）式成立，即有
那么，当n=k+1时，
也就是说，（*）式对n=k+1也成立。
综合(1)(2)，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立。
选修2-2 2. 3 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2
B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3
D．1＋＋＋＜3
[答案] B
[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )
A．1
B．1＋a＋a2
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
[答案] B
[解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
C.＋ D.－
[答案] D
[解析] f(n＋1)－f(n)
＝
－＝＋－
＝－.
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
[答案] C
[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )
A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立
[答案] C
[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1
B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1
D．f(n)＋n－2
[答案] C
[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )
A．n＝1时命题成立
B．n＝1，n＝2时命题成立
C．n＝3时命题成立
D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立
[答案] D
[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，
当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)
由2(k2－2)≥(k－1)2－4?k2－2k－3≥0
?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.
8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30
B．26
C．36
D．6
[答案] C
[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝an (n≥2)．
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝
a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝
猜想an＝，故选B.
10．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案] D
[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
二、填空题
11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．
12．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________.
[答案]
[解析] 解法1：通过计算易得答案．
解法2：Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
[答案] 5
[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.
(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．
(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．
(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．
[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；
(k－1)[3(k－1)＋1]
(2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2
(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1]
[解析] 由数学归纳法的法则易知．
三、解答题
15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
16．求证：＋＋＋…＋>(n≥2)．
[证明] ①当n＝2时，左＝>0＝右，
∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．
即＋＋…＋>成立．
那么n＝k＋1时，＋＋…＋
＋＋…＋
>＋＋…＋>＋＋＋…＋
＝＋＝，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立．
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
18．(衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；
②利用数学归纳法证明猜想的结论．
解答本题的关键是先利用特殊值猜想．
[解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．
2.3 数学归纳法(二)
[学习目标]
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．
[知识链接]
1．数学归纳法的两个步骤有何关系？
答案 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？
答案 与正整数n有关的命题
[预习导引]
1．归纳法
归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题；
(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．
要点一 用数学归纳法证明不等式问题
例1 用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
证明 (1)当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝.
因为<，所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－＝1－<1－＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
规律方法 用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．
跟踪演练1 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．
证明 (1)当n＝2时，左＝1＋＝，右＝，左>右，
∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，即
…>，
那么当n＝k＋1时，
…>
·＝＝>
＝＝，
∴n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
要点二 用数学归纳法证明整除性问题
例2 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．
证明 ①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．
②假设n＝k(k∈N*)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，
而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，
所以f(k＋1)能被36整除．
由①②可知，对任意的n∈N*，f(n)能被36整除．
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．
跟踪演练2 用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．
证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)，(2)知命题成立．
要点三 用数学归纳法证明几何问题
例3 用数学归纳法证明凸n边形的对角线有n(n－3)条．
证明 ①当n＝3时，n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确，
即凸k边形的对角线有k(k－3)条，
当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.
∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1
＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)
＝(k＋1)[(k＋1)－3]
故当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对任意n≥3，n∈N*，命题成立．
规律方法 用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．
跟踪演练3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n)＝.
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为
f(k)＝k(k－1)，
l与其他k条直线交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)
＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)，(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．
要点四 归纳—猜想—证明
例4 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋＜.
(1)解 由条件得2bn＝an＋an＋1，
a＝bnbn＋1.
由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立．
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)
＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，
bk＋1＝＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，
bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
(2)证明 ＝＜.
n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.
故＋＋…＋
＜＋
＝＋
＝＋＜＋＝.
综上，原不等式成立．
规律方法 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．
跟踪演练4 已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解 S1＝＝；S2＝＋＝；
S3＝＋＝；S4＝＋＝.
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝(n∈N*)．
下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝＝，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
＋＋＋…＋＝，那么，
＋＋＋…＋
＋＝＋
＝＝＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．
1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )
A．n＝6时该命题不成立
B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立
D．n＝4时该命题成立
答案 C
解析 ∵n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题成立．∴若n＝5时，该命题不成立，则n＝4时该命题不成立．
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋3时命题正确
B．假设n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确
C．假设n＝k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确
D．假设n≤k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确
答案 B
解析 因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B.
3．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________．
答案 n＝3时是否成立
解析 n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立．
4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是________．
答案 (2k＋2)＋(2k＋3)
解析 当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．
1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．
2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.
3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子，一定要用到归纳假设．
一、基础达标
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
答案 D
解析 等式左边的数是从1加到n＋3.
当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3
C．5 D．6
答案 C
解析 当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 B
解析 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )
A．增加了一项
B．增加了两项和
C．增加了B中的两项，但又减少了一项
D．增加了A中的一项，但又减少了一项
答案 C
解析 当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故选C.
5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．
答案 (k＋3)3
解析 假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________．
答案 Sn＝
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.
7．已知正数数列{an}(n∈N*)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
证明 (1)当n＝1时．a1＝S1＝，
∴a＝1(an>0)，∴a1＝1，又－＝1，
∴n＝1时，结论成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－
＝－.
∴a＋2ak＋1－1＝0，
解得ak＋1＝－(an>0)，
∴n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝－.
二、能力提升
8．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
答案 A
解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
9．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
②假设n＝k(n∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案 D
解析 从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．
10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
答案 ＋＋…＋＋＋>－
解析 观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.
11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋
＋＞＋
＞＋
＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有：S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，
由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．
用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)猜想成立，
即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－
＝－
＝－＝－.
即n＝k＋1时猜想成立．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．
三、探究与创新
13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若不等式··…·≤对任意n∈N*，试猜想出实数m的最小值，并证明．
解 (1)设数列{an}公差为d(d＞0)，
由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，
解得d＝1或d＝0(舍去)．
所以，an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)不等式等价于···…·≤，
当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；
而＞，所以猜想，m的最小值为.
下面证不等式···…·≤对任意n∈N*恒成立．
下面用数学归纳法证明：
证明 ①当n＝1时，≤＝，成立．
②假设当n＝k时，不等式···…·≤成立，
当n＝k＋1时，···…··≤·，
只要证·≤，
只要证≤，
只要证≤2k＋2，
只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．即n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，对任意n∈N*，不等式···…·≤恒成立．
习题课 数学归纳法
明目标、知重点
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．
1．归纳法
归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；
(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．
题型一 用数学归纳法证明不等式
思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？
答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n＝k到n＝k＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n＝k＋1时的结论．
例1 已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N*，不等式··…·>都成立．
证明 由bn＝2n，得＝，
所以··…·＝···…·.
下面用数学归纳法证明不等式··…·＝···…·>成立．
(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时不等式成立，
即··…·＝···…·>成立．
则当n＝k＋1时，左边＝··…··＝···…··
>·＝＝
>＝
＝
＝＝.
所以当n＝k＋1时，
不等式也成立．
由(1)、(2)可得不等式··…·＝···…·>对任意的n∈N*都成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．
跟踪训练1 用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
证明 当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝，
因为<，所以不等式成立．
假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－＝1－<1－
＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
题型二 利用数学归纳法证明整除问题
例2 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.
证明 (1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，
命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则
当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
＝aak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
＝aak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，
故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，
命题成立．
反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．
跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．
证明 (1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．
那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1
＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2
＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1
＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．
∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，
y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，
∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．
由(1)，(2)可知原命题成立．
题型三 利用数学归纳法证明几何问题
思考 用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？
答 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．
例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，
即平面内满足题设的任何k条直线交点个数
f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为
f(k)＝k(k－1)，
l与其他k条直线交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
＝k(k－1＋2)
＝k(k＋1)＝(k＋1)(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．
跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．
证明 (1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；
(2)假设n＝k(k∈N*)时，
被分成f(k)＝k2－k＋2部分；
那么当n＝k＋1时，依题意，
第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．
∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k
＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．
呈重点、现规律]
1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．
2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.
3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.
一、基础过关
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
答案 D
解析 等式左边的数是从1加到n＋3.
当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3
C．5 D．6
答案 C
解析 当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )
A．2k－1项 B．2k＋1项
C．2k项 D．以上都不对
答案 C
解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．
4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )
A．增加了一项
B．增加了两项和
C．增加了B中的两项，但又减少了一项
D．增加了A中的一项，但又减少了一项
答案 C
解析 当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，
当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故选C.
5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案 A
解析 假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________．
答案 Sn＝
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
7．已知正数数列{an}(n∈N*)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
证明 (1)当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋)，
∴a＝1(an>0)，
∴a1＝1，又－＝1，∴n＝1时，结论成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝(ak＋1＋)－(ak＋)
＝(ak＋1＋)－(－＋)
＝(ak＋1＋)－.
∴a＋2ak＋1－1＝0，解得ak＋1＝－(an>0)，
∴n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝－.
二、能力提升
8．对于不等式≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案 D
解析 从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．
9．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．
答案 ＋＋…＋＋＋>－
解析 观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.
10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
＝36×(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)，(2)知命题成立．
11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，
不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，
即＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)>＋(3×－)＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有：S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，
由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．
用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)猜想成立，
即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－
＝－
＝－＝－.
即n＝k＋1时猜想成立．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．
三、探究与拓展
13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若不等式(1－)·(1－)·…·(1－)≤对任意n∈N*，试猜想出实数m的最小值，并证明．
解 (1)设数列{an}公差为d(d>0)，
由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，
解得d＝1或d＝0(舍去)．所以an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)不等式等价于···…·≤，
当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；
而>，所以猜想，m的最小值为.
下面证不等式···…·≤对任意n∈N*恒成立．
下面用数学归纳法证明：
证明 (1)当n＝1时，≤＝，命题成立．
(2)假设当n＝k时，不等式，···…·≤成立，
当n＝k＋1时，···…··≤·，
只要证·≤ ，
只要证≤，只要证≤2k＋2，
只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．
所以，对任意n∈N*，不等式···…·≤恒成立．
