章末检测
一、选择题
1．(2018·广东改编)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( )
A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0
C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0
答案 D
解析 y′＝4x，设切点M(x0，y0)，∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率k1＝－，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x＝2，即切点为M(1,2)，k＝4.故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故选D.
2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )
A．(－∞，－1)及(0,1) B．(－1,0)及(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞)
答案 A
解析 y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
3．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为( )
A. J B． J
C． J D．2 J
答案 C
解析
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由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos 30°，W＝(5－x2)·cos 30°dx＝(5－x2)dx＝＝×＝ (J)．
4． (2012·重庆改编)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
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A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
答案 C
解析 使f′(x)＞0的x的取值范围为增区间；使f′(x)＜0的x的取值范围为减区间．
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．[－，]
C．(，＋∞) D．(－，)
答案 B
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤.
6．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．ln 2
C． D．e
答案 D
解析 f′(x)＝x(ln x)′＋(x)′·ln x＝1＋ln x，
∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2，
∴ln x0＝1，∴x0＝e.
7．设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
答案 C
解析 由题意得f′(x)＝，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3；f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0.
8．曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为( )
A．∫0(sin x－cos x)dx B．2∫0(sin x－cos x)dx
C．∫0(cos x－sin x)dx D．2∫0(cos x－sin x)dx
答案 D
解析
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如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0
9．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
答案 D
解析 ∵f′(x)＝x2sin θ＋x·cos θ，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2＝
2sin.
∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，
∴≤sin≤1.∴≤2sin≤2.
10．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数有( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 令f(x)＝2x3－6x2＋7，
∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由f′(x)＞0得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0得0＜x＜2；又f(0)＝7＞0，f(2)＝－1＜0，
f(x)在(0,2)内单调递减，
∴方程在(0,2)内只有一实根．
二、填空题
11．(2018·广东)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
答案 －1
解析 求导得y′＝k＋，依题意k＋1＝0，所以k＝－1.
12．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥3
解析 由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.
13.
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已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．
答案 ①④
解析 从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；
当0＜x＜1时，f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．
14．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013的值为________．
答案 －1
解析 ∵y′|x＝1＝n＋1，
∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
所以log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013
＝log2 014(x1·x2·…·x2 013)
＝log2 014＝log2 014＝－1.
三、解答题
15．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为y＝16.
16．设解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，
得x1＝0，x2＝a.
f(0)＝b ，f(a)＝－＋b,
f(－1)＝－1－a＋b，
f(1)＝1－a＋b.
因为故最大值为f(0)＝b＝1，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
故a＝，b＝1.
17．若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
解 若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，
即12x2－a≥0在上恒成立，
∴a≤12x2在上恒成立，∴a≤(12x2)min＝0.
当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．
∴a＝0符合题意．
若f(x)在上为单调减函数，
则f′(x)≤0在上恒成立，
即12x2－a≤0在上恒成立，
∴a≥12x2在上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±时f′(x)＝0)．因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.
18．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
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(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
解 (1)设长为x m，
则宽为 m.
据题意
解得≤x≤16.
y＝×400＋×248＋16 000
＝800x＋＋16 000，
(2)y′＝800－＝0，
解得x＝18.
当x∈(0,18)时，函数y为减函数；
当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．
又∵≤x≤16，
∴当x＝16时，ymin＝45 000.
当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元．
章末复习
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1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，即 ＝ .
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．曲线的切线方程
利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：
(1)判断P点是否在曲线上；
(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．
3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．
4．判断函数的单调性
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；
(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．
5．利用导数研究函数的极值要注意
(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．
(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．
(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．
6．求函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．
(2)求函数最值的步骤
一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值.
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题型一 应用导数解决与切线相关的问题
根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．
例1 (2013·福建)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)，
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1，
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0.
①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；
∵x∈(0，a)时，f′(x)＜0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
跟踪演练1 已知曲线C的方程是y＝x3－3x2＋2x.
(1)求曲线在x＝1处的切线方程；
(2)若l2：y＝kx，且直线l2与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l2的方程及切点坐标．
解 (1)∵y′＝3x2－6x＋2，
∴y′|x＝1＝3×1－6×1＋2＝－1.
∴l1的斜率为－1，且过点(1,0)．
∴直线l1的方程为y＝－(x－1)，
即l1的方程为x＋y－1＝0.
(2)直线l2过原点，则k＝(x0≠0)，
由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x－3x＋2x0，
∴＝x－3x0＋2.
∵y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x－6x0＋2.
又k＝，∴3x－6x0＋2＝＝x－3x0＋2，
整理得2x－3x0＝0.∵x0≠0，∴x0＝，
此时y0＝－，k＝－，
因此直线l2的方程为y＝－x，切点坐标为.
题型二 利用导数求函数的单调区间
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．
例2 已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性．
解 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
此时f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
跟踪演练2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，又x∈(0，＋∞)，
所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)．
(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，
由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.
①当a>0时，x1②当a<0时，x1>x2，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，
单调递减区间为.
③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是递增的．
综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，(a，＋∞)，单调递减区间为.
a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，单调递减区间为.
a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
题型三 利用导数求函数的极值和最值
1．利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值， 这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
例3 已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R),
(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求证：当x＞1时，x2＋ln x＜x3.
(1)解 f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－＝，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，故a＝4.
(2)解 因为f′(x)＝x－＝，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，所以函数f(x)的单调递增区间(，＋∞)；递减区间为(0，)．
(3)证明 设g(x)＝x3－x2－ln x，则g′(x)＝2x2－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞0，所以当x＞1时，x2＋ln x＜x3.
跟踪演练3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
解 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.
①当0f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.
②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
2
↘
－2
↗
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则解得－2题型四 导数与函数、不等式的综合应用
利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．
例4 设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；
(3)当a＝时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．
解 (1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)．
令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a)
a
(a,3a)
3a
(3a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小
?
极大
?
∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．当x＝a时，f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(a)＝b－a3；当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(3a)＝b.
(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2a.
因为0所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数．
当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1；
当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4.
于是有即≤a≤1.
又因为0(3)当a＝时，f(x)＝－x3＋x2－x＋b.
f′(x)＝－x2＋x－，
由f′(x)＝0，即－x2＋x－＝0，
解得x1＝，x2＝2，即f(x)在上是减函数，
在上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．
要使f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，
即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，
于是有即解得0跟踪演练4 证明：当x∈[－2,1]时，－≤x3－4x≤.
证明 令f(x)＝x3－4x，x∈[－2,1]，
则f′(x)＝x2－4.因为x∈[－2,1]，所以f′(x)≤0，
即函数f(x)在区间[－2,1]上单调递减．
故函数f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f(－2)＝，
最小值为f(1)＝－.
所以，当x∈[－2,1]时，－≤f(x)≤，
即－≤x3－4x≤成立．
题型五 定积分及其应用
定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限．
例5 求曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围成图形的面积．
解
/
所求面积S＝∫π－dx
＝－－sin xdx＋sin xdx－
∫ππsin xdx＝1＋2＋＝4－.
跟踪演练5 求由曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．
解
/
如图，由解得交点为(0,1)．所求面积为S＝(ex－e－x)dx
＝(ex＋e－x)＝e＋－2.
/
1．求函数中参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．
2．在解决问题的过程中主要处理好下面的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．
高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课 新人教版选修2-2
题型一 导数与曲线的切线
利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
例1 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为
f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．
解 依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0，
∵l与圆相切，∴＝?a＝，
∴a的值为.
题型二 导数与函数的单调性
求解函数y＝f(x)单调区间的步骤：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，又x∈(0，＋∞)，
∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)．
(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，
由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.
①当a>0时，x1∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，
单调递减区间为(，a)．
②当a<0时，x1>x2，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，
单调递减区间为(a，)．
③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是单调递增的．
综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，单调递减区间为(，a)；
a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，单调递减区间为(a，)；
a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)．
跟踪训练2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝sin x，x∈0,2π]；
(2)y＝xlnx.
解 (1)函数的定义域是0,2π]，
f′(x)＝cos x，令cos x>0，
解得2kπ－当x∈0,2π]时，0令cos x<0，解得因此，f(x)的单调递增区间是(0，)和(，2π)，单调递减区间是(，)．
(2)函数的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1，令ln x＋1>0得x>e－1，
因此，f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞)，单调递减区间是(0，e－1)．
题型三 数形结合思想在导数中的应用
1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极植与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；
特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一个点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
例3 设解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，
得x1＝0，x2＝a.
f(0)＝b，f(a)＝－b，f(－1)＝－1－a＋b，
f(1)＝1－a＋b.
因为故最大值为f(0)＝b＝1，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
故a＝，b＝1.
跟踪训练3 已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则有( )
A．a>0，b>0 B．a<0，b<0
C．a<0，b>0 D．a>0，b<0
答案 B
解析 由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，
∴a<0.
又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，
∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0，
∴b<0.
题型四 定积分及其应用
定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限．
例4 如图，是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.
解 由得x＝1或x＝4，故A(1，－1)，B(4,2)，如图所示，
S＝2?dx＋?(－x＋2)dx
＝2×x|＋(x－x2＋2x)|
＝2×＋(×4－×42＋2×4)－(－＋2)]＝.
跟踪训练4 在区间0,1]上给定曲线y＝x2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小．
解 面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t围成的面积，
即S1＝t·t2－?x2dx＝t3.
面积S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，
即S2＝?x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分面积S为：
S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)，
由S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0，
得t＝0，或t＝.
由于当0当0，
所以S(t)在0在所以当t＝时，S最小，即图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．
呈重点、现规律]
1．函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．
2．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．
章末检测卷（一）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( )
A．(－1,3) B．(－1，－3)
C．(－2，－3) D．(－2,3)
答案 B
解析 ∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.
f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.
∴M(－1，－3)．
2．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间是( )
A．(－∞，－1)和(0,1) B．(－1,0)和(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
答案 A
解析 y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3时取得极值，
即f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.
4．函数y＝ln的大致图象为( )
答案 D
解析 函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x>－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D.
5．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为( )
A.J B.J
C.J D．2J
答案 C
解析 由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos 30°，
W＝?(5－x2)·cos 30°dx
＝?(5－x2)dx
＝(5x－x3)|＝×＝(J)．
6．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点所在象限是( )
A．一 B．二 C．三 D．四
答案 C
解析 ∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．
7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪，＋∞)
B．－，]
C．(－∞，－]∪，＋∞)
D．－，3]
答案 B
解析 在f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤.
8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，f(1)＋f′(1)的值等于( )
A．1 B. C．3 D．0
答案 C
解析 由已知切点在切线上，所以f(1)＝＋2＝，切点处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝，
所以f(1)＋f′(1)＝3.
9．曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为( )
A．(sin x－cos x)dx B．2(sin x－cos x)dx
C．(cos x－sin x)dx D．2(cos x－sin x)dx
答案 D
解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于010．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
D．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
答案 C
解析 由题意得f′(x)＝，令f′(x)>0得x>3；令f′(x)<0得00，f(e)＝－1<0，f()＝＋1>0.
11．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 令f(x)＝2x3－6x2＋7，
∴f′(x)＝6x2－12x，
由f′(x)>0得x>2或x<0；由f′(x)<0得00，f(2)＝－1<0，
∴方程在(0,2)内只有一实根．
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 015的值为( )
A．－log2 0142 013 B．－1
C．(log2 0142 013)－1 D．1
答案 B
解析 ∵y′|x＝1＝n＋1，
∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
所以log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013
＝log2 014(x1·x2·…·x2 013)
＝log2 014＝log2 014＝－1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
答案 －1
解析 ∵y′＝k＋，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.
14．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥3
解析 由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.
15．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________
答案 (－2,15)
解析 y′＝3x2－10＝2?x＝±2，又点P在第二象限内，∴x＝－2，得点P的坐标为(－2,15)
16．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1时有极值10，那么a，b的值分别为________．
答案 4，－11
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，
，解得，或，当a＝－3时，x＝1不是极值点，a，b的值分别为4，－11.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为y＝16.
18．(12分)已知f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a、b，使f(x)同时满足下列两个条件：(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由．
解 设g(x)＝，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数，
∴g(x)在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数，
∴，∴，解得
经检验，a＝1，b＝1时，f(x)满足题设的两个条件．
19．(12分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解 函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，
所以f(x)的单调递增区间为(0，)，
单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．
解 (1)由于年销售量为Q(x)＝，则＝500，
所以k＝500e40，则年售量为Q(x)＝万件，
则年利润L(x)＝(x－a－30)
＝500e40·(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500e40·.
①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，
当35≤x≤41时，L′(x)≤0；
所以x＝35时，L(x)取最大值为500(5－a)e5.
②当4令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知x＝a＋31时，L(x)取最大值为500e9－a.
综上所述，当2≤a≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；当421．(12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；
当2由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
22．(12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若在区间－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－ x2＋1，f(2)＝3.
f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
以下分两种情况讨论：
①若0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－，0)
0
(0，)
f′(x)
＋
0
－f(x)
f(x)
单调递增(
极大值
单调递减(
当x∈－ ，]时，
f(x)>0等价于即
解不等式组得－5②若a>2，则0<<.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－，0)
0
(0，)
(，)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增(
极大值
单调递
减(
极小值
单调递
增(
当x∈－，]时，
f(x)>0等价于即
解不等式组得因此2综合①②，可知a的取值范围为0课件55张PPT。知能整合提升[说明] (1)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数，而函数y＝f(x)在一个区间上的导数指的是这个函数在这个区间上每点处的导数构成的一个函数，它实际上是“导函数”的简称；
(2)函数y＝f(x)和它的导数y′＝f′(x)具有相同的定义域，并且y′＝f′(x)在定义域上点x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x0处的导数值，这样求函数在点x0处的导数值就可以先求出这个函数的导数，再求这个导数在点x0处的函数值；
(3)并不是所有的函数在其定义域上每一点处都有导数，如函数y＝|x|在点0处就没有导数，但这个函数在定义域的其他点处都有导数．2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)． ①
又y1＝f(x1)， ②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
3．复合函数的求导法则
设复合函数μ＝g(x)在点x处可导，y＝f(μ)在点μ处可导，则复合函数f[g(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(μ)·g′(x)，即yx′＝yμ′·μx′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量．
[说明] 求导数时，先化简再求导是导数计算的基本原则．一般情况下，有四类函数求导数在解题时较容易出错，需要特别注意，即分式函数、对数函数、三角函数和复合函数．
三、导数的应用
1．导数与函数的单调性
(1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
[说明] f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，
∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
(2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
①求导数f′(x)；
②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
③确定并指出函数的单调增区间、减区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．2．导数与函数的极值和最值
函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值．
(1)应用导数求函数极值的一般步骤：
①确定函数f(x)的定义域；
②解方程f′(x)＝0的根；
③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
[说明] 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．(2)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将①求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
四、定积分
1．求定积分
求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证．
2．利用定积分求平面图形的面积
将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须确定的是被积函数，积分变量，积分上、下限．一般步骤为：
①画图；
②确定要素(找到所属基本型，确定被积函数的积分上、下限)；
③转化求值．
要注意当所围成的图形在x轴下方时积分值为负，因此，需对其定积分取绝对值．热点考点例析【点拨】 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)，相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．导数的几何意义 [思维点击] 切线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，要求其面积关键是求两条直角边的长，为此只要求两条坐标轴与切线交点的坐标，从而应先求出切线的方程．【点拨】 在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．应用导数求函数的单调区间[思维点击] 先求定义域，然后求导．
(1)中利用f′(x)＞0及f′(x)＜0求单调区间．
(2)中利用x∈[1,2]时f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．2．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．【点拨】 导数的应用：
导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系：
(1)求函数的最大值与最小值；求函数的极大值与极小值；已知最值与极值，求参数的值．
(2)解决恒成立问题．
(3)数形结合，研究函数的图象交点情况(方程根的个数问题)．导数的综合应用 函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．
(1)求a和b的值；
当x∈[1，＋∞)时，h′(x)≥0，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
故当x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0.
所以对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有h(x)≥0.
又x2≥0，因此f(x)－g(x)≥0.
故对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有f(x)≥g(x)．3．设函数f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－ln x＋2，其中a∈R，x>0，是否存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析： 令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋ln x－a2x2(x>0)，
假设存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立，
即当x>0时，h(x)的最大值小于等于0.
下面求h(x)的最大值．【点拨】 定积分是解决求平面图形的面积，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功等问题的方便而且强有力的工具．定积分及其应用 求由曲线y＝x2，y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．答案： C2．已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )解析： 由f′(x)的图象知函数f(x)的切线斜率先增大后减小，故选D.
答案： D2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析： 由导数定义求得y′＝2x，
∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，
∴y′＝2x＝2?x＝1，即切点为(1,1)，
∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0，故选D.
答案： D
4．若函数f(x)满足xf′(x)>0，则下列关于f(x)的判断中正确的一项是( )
A．f(x)可能是奇函数
B．f(x)可能是偶函数
C．若－1D．若－1解析： 由xf′(x)>0知，当x>0时，f′(x)>0，
当x<0时，f′(x)<0.
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增．
若f(x)为奇函数，则在(－∞，0)与(0，＋∞)单调性一致，
故排除A.又x1，x2不同在一个单调区间内且f(x)的解析式没有给出，故无法比较f(x1)与f(x2)的大小，排除C、D.故选B.
答案： B
5．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为________．
6．函数f(x)＝x3＋ax在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则a＝________.
解析： f(x)＝x3＋ax，f′(x)＝3x2＋a.
∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
∴f′(1)＝3＋a＝0.∴a＝－3.
答案： －3
7．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
8．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解析： (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，
单调递增区间是(ln 2，＋∞)；
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为
f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)的最小值为
g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.谢谢观看！