陕西省渭南市临渭区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含解析

渭南市临渭区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. =( )
A. B. C. D.
2. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法
3.已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为 , 则这个扇形的面积是( )
A. B. C. D.
4.在 中, 为 边上的中线,为的中点, 则=( )
A. B.
C. D.
5.若将函数的图像向左平移个单位长度,得的图像,则等于( )
A. － B. － C. D.
6.若,则与的夹角为( )
A. B. C. D. π
7.设函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称
C. 在单调递减 D. 的一个零点为
8.已知向量, 向量,则 的最大值为( )
A. 1 B. C. 9 D. 3
9.已知，则的值为（ ）
A. － B. － C. － D. －
10.若函数的图像关于轴对称,则=（ ）
A. B. C. D.
11.如图所示,已知 是圆的直径 是半圆弧的两个三等分点,, 则=（ ）
A. a－b B. a－b C. a+b D. a+b
12.已知，函数在上单调递减．则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（请将答案填写在答题纸中的横线上）
13.若 , 且为第二象限角,则 =_______
14.已知,则=__________
15.设, , 且, 则锐角=__________
16.若正方形 边长为4, 为四边形上任意一点,则的长度大于5的概率等于______
17.已知在中,两直角边是内一点,且,设, , 则=_________
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.已知,
(1) 求;
(2)若与互相垂直,求的值.
19.城市公交车的数量太多造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15名,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
组别
候车时间
人数
一
[0,5)
2
二
[5,10)
6
三
[10,15)
4
四
[15,20)
2
五
[20,25]
1
(1)求这15名乘客的平均候车时间
(2)估计这60名乘客候车时间少于10分钟的人数.
20.已知, 且.
(1)求的值;
(2)若,, 求的值.
21.某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层抽样的方法从这这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师,中级教师,高级教师中分别抽取的人数;
(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析,求抽取的2名教师均为初级教师的概率.
22.设函数的图像上两相邻对称轴之间的距离为.
(1)求值
(2)若函数是奇函数,求函数在上的单调递减区间.
答案与解析
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. =( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：
考点：两角和差的正弦公式
点评：本题主要应用的基本公式，与之类似的公式还有
2. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法
【答案】D
【解析】
试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.
考点：抽样方法.
【此处有视频，请去附件查看】
3.已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为 , 则这个扇形的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据弧长公式|α|可得：圆的半径R＝2，然后结合扇形的面积公式S可得答案．
【详解】因为扇形的圆心角α＝2弧度，它所对的弧长l＝4cm，
所以根据弧长公式|α|可得：圆的半径R＝2，
所以扇形的面积为：S4cm2；
故选：C．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式，此题属于基础题型，只要认真计算并且熟练的记忆公式即可解答正确．
4.在 中, 为 边上的中线,为的中点, 则=( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【详解】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

（）
，
故选：B．
点睛】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
5.若将函数的图像向左平移个单位长度,得的图像,则等于( )
A. － B. － C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平移变换求出函数的关系式，则可求．
【详解】将函数的图像向左平移个单位长度得 ，则等于
故选：C
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础型．
6.若,则与的夹角为( )
A. B. C. D. π
【答案】A
【解析】
分析】
由（ ）⊥，可得（ ）0，解出 ，再利用两个向量的数量积的定义求出cosθ 的值，则夹角可求．
【详解】∵（ ）⊥，∴（ ） 4+ 0，得
∴||||cosθ∴cosθ，又
故选：A
【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的夹角的求法，向量垂直的性质，是基础题
7.设函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称
C. 在单调递减 D. 的一个零点为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【详解】A．函数的周期为2kπ，当k＝﹣1时，周期T＝﹣2π，故A正确，
B．当x时，cos（x）＝cos（）＝coscos3π＝﹣1为最小值，此时y＝f（x）的图象关于直线x对称，故B正确，
C．当x＜π时，x，此时函数f（x）不是单调函数，故C错误，
D．当x时，f（π）＝cos（π）＝cos0，则f（x+π）的一个零点为x，故D正确
故选：C．
【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
8.已知向量, 向量,则 的最大值为( )
A. 1 B. C. 9 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出，再将三角函数化简，用三角函数的有界性求得最大值．
【详解】1+2（sinxcosx）+4＝5+4sin（x）
∴当sin（x）=1时，的最大值为9
∴的最大值为3
故选：D．
【点睛】本题考查向量模的求法，数量积运算，注意求向量模一般先进行平方运算，是基础题
9.已知，则的值为（ ）
A. － B. － C. － D. －
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两角和的正切得tan（α），由此能求出tanα,再利用二倍角公式和同角三角函数关系式求解即可．
【详解】∵tan（α），
解得tanα．


．
故选：B
【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10.若函数的图像关于轴对称,则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用余弦函数的图象的对称性、诱导公式，得出结论
【详解】∵函数f（x）＝cos（）＝sin （φ∈[0，2π]）的图象关于y轴对称，
∴，由题知 φ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性、诱导公式，属于基础题．
11.如图所示,已知 是圆的直径 是半圆弧的两个三等分点,, 则=（ ）
A. a－b B. a－b C. a+b D. a+b
【答案】D
【解析】
连接，由点是半圆弧的三等分点，且和均为边长等于圆的半径的等边三角形，所以四边形为菱形，所以，故选D .
12.已知，函数在上单调递减．则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意可得，，
，．故A正确．
考点：三角函数单调性．
【此处有视频，请去附件查看】
二、填空题（请将答案填写在答题纸中的横线上）
13.若 , 且为第二象限角,则 =_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据角是第二象限的角得其余弦值，利用诱导公式化简得到结果．
【详解】∵是第二象限的角，
cos，
∴
故答案为．
【点睛】本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能．
14.已知,则=__________
【答案】
【解析】
，
两边平方得： ，则.
15.设, , 且, 则锐角=__________
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量平行坐标表示直接求解即可
【详解】，则
又为锐角，则 ，故=
故答案为
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，熟记公式是关键，是基础题
16.若正方形 边长为4, 为四边形上任意一点,则的长度大于5的概率等于______
【答案】
【解析】
【分析】
确定在正方形的位置即可求解
【详解】由题时，则当在上运动时，的长度大于5
故的长度大于5的概率等于
故答案为
【点睛】本题考查长度型几何概型，确定的轨迹是关键，是基础题
17.已知在中,两直角边是内一点,且,设, , 则=_________
【答案】
【解析】
【分析】
以两条直角边分别为x轴和y轴建系，用平面向量的坐标表示计算λ与μ的比
【详解】以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴建系如图所示：
得到各点坐标A（0，0），B（1，0），C（0，2），且，则设点D（x，x），
则（x，x），（1，0），（0，2），根据，得x＝λ，2μ，则
故答案为．
【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量基本定理，属于基础题
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.已知,
(1) 求;
(2)若与互相垂直,求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）先求出，然后求出其模即可；（2）由k与k互相垂直，可知，然后解方程求出k．
【详解】（1），
（2）与互相垂直，
，即.
，，
，
【点睛】本题考查了平面向量的基本运算和平面向量数量积与垂直的关系，考查了运算能力，属基础题．
19.城市公交车的数量太多造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15名,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
组别
候车时间
人数
一
[0,5)
2
二
[5,10)
6
三
[10,15)
4
四
[15,20)
2
五
[20,25]
1
(1)求这15名乘客的平均候车时间
(2)估计这60名乘客候车时间少于10分钟的人数.
【答案】(1) 10.5分钟(2)32人
【解析】
【分析】
（1）由频率分布表结合平均数公式求解；（2）求出样本中候车时间少于10分钟的概率，乘以60得答案．
【详解】（1），
故这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟.
（2）样本中候车时间少于10分钟的概率为，
所以这60名乘客候车时间少于10分钟的人数为人
【点睛】本题考查频率分布表，考查平均值求法，考查古典概型及其求法，是基础题．
20.已知, 且.
(1)求的值;
(2)若,, 求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式求得的值．
先求得的值，再利用两角和差的余弦公式求得的值．
【详解】解：，，，
．
若，，则，
，
．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．
21.某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层抽样的方法从这这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师,中级教师,高级教师中分别抽取的人数;
(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析,求抽取的2名教师均为初级教师的概率.
【答案】（1）3,2,1； （2）.
【解析】
【分析】
(1)先求出每位教师被抽到的概率，再用每层的教师数乘以毎位教师被柚到的概率，即得应从每层教师中抽取的人数；(2) 从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1，列出抽取2名教师的所有可能结果，以及从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师的结果，利用古典概型的概率公式计算，即可得到结果.
【详解】（1）从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1.
( 2 )在抽取到的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则抽取2名教师的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，
共3种．所以P(B)＝ .
【点睛】本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
22.设函数的图像上两相邻对称轴之间的距离为.
(1)求值
(2)若函数是奇函数,求函数在上的单调递减区间.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）对f（x）化简，根据f（x）图象上两相邻对称轴之间的距离为π，可得f（x）的周期，然后求出ω．（2）根据f（x+φ）是奇函数，可得，然后由φ的范围求出φ，再利用整体法求出g（x）在[0，π]上的周期即可．
【详解】（1）.
又两相邻对称轴之间的距离为，故 即，.
（2）由（1）知，，
是奇函数，.
，.
，
令，则，，
的单调递减区间是
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查三角恒等变换，考查了整体思想，属基中档题．