课件10张PPT。数系的扩充自然数有理数实数Q+∪{0}QR用图形表示数集包含关系：大胆假设例题1与练习1回顾数系扩充问题提出代数形式虚数发展史 为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
(1) i 2??1；
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.问题解决:其中a —实部 , b —虚部 ,复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即 称为虚数单位.讨论:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a例1 实数m取什么值时，复数
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数．（2）当 ，即 时，复数z 是虚数．（3）当即 时，复数z 是
纯虚数．练习1:当m为何实数时，复数
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数练习22答案 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．例2 已知 ，其中 求解：根据复数相等的定义，得方程组解得 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．1.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：复数的代数形式:复数的实部 、虚部复数相等虚数、纯虚数3.复数的分类：学习小结复数的概念
教学目标：
1．理解复数的有关概念以及符号表示；
2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应；
3．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质．
教学重点：复数的有关概念,复数的表示和共轭复数的概念；
教学难点：复数概念的理解,复数与复平面上点一一对应关系的理解．
教学过程
一、引入
我们知道，对于实系数一元二次方程 ，当 时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
二、授课
1．引入数i
我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：
（1）i2= -1 ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
根据前面规定，－1可以开平方，而且－1的平方根是 ．
2．复数的概念
根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi .
形如 的数，我们把它们叫做复数．
复数的代数形式、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部.
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：
N* N Z Q R C．
数的分类
复数
3.相等复数
如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等.即：
a,b,c,d(R, 则a+bi=c+di(a=c且b=d
注意：两个复数中若有一个是虚数，则它们不能比较大小.
4．复数的几何表示法
任何一个复数 都可以由一个有序实数对(a,b) 唯一确定．而有序实数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的．由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应．
复平面、实轴、虚轴等概念，并结合实例对这些概念进行一一说明．
由此可知，复数集C和复平面内所有的点所组成的集会是—一对应的，即
这就是复数的几何意义．这时提醒学生注意复数 中的字母z用小写字母表示，点Z(a,b) 中的Z 用大写字母表示．
复数的向量表示.
5．共轭复数
（1）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不为0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数．
（2）复数z的共轭复数用 表示，即如果 ，那么 ．
三、例题
例1 实数 分别取什么值时，复数 是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数。
例2 设 （ ）， ，当 取何值时，
（1） z1=z2；（2）
例3 设复数 和复平面的点Z（ a , b）对应， 、 必须满足什么条件，才能使点Z位于：（1）实轴上？（2）虚轴上？（3）上半平面（含实轴）？（4）左半平面（不含虚轴及原点）？
例4? 计算 ．
四、作业 同步练习
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3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
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[学习目标]
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
[知识链接]
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．
[预习导引]
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
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3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
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要点一 复数的概念
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
规律方法 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
跟踪演练1 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
答案 0
解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②是假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得，解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立．
要点二 复数的分类
例2 实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，
且m2＋2m－3≠0，
解得m＝0或m＝－2.
规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当时，z是纯虚数，解得k＝4.
(4)当时，z＝0，解得k＝－1.
要点三 两个复数相等
例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴解得a＝11或a＝－.
规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪演练3 已知x，y均是实数，且满足(x＋y)＋(y－1)i＝2x＋3y＋(2y＋1)i，求x与y.
解 由复数相等的充要条件得x＋y＝2x＋3y且y－1＝2y＋1，解得x＝4，y＝－2.
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1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B．，5
C．±，5 D．±，1
答案 C
解析 令，得a＝±，b＝5.
2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A．±1 B．±i
C．±i D．±2i
答案 C
3．下列命题正确的是( )
A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i
C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1
D．两个虚数不能比较大小
答案 D
解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，
当a＝0且b≠0时为纯虚数．
在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；
在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；
在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．
4．在下列几个命题中，正确命题的个数为( )
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
答案 B
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
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1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.
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一、基础达标
1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
答案 B
解析 由题意知，∴m＝0.
2．(2013·青岛二中期中)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D．＋i
答案 A
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A. B．2
C．0 D．1
答案 D
解析 由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
5．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
答案 2 ±2
解析 由z1＝z2得，
解得.
6．(2013·上海)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案 －2
解析 ?m＝－2.
7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，
∴解得
所以实数x，y的值分别为，2.
二、能力提升
8．若(x3－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．－1或－2
答案 A
解析 由题意，得解得x＝1.
9．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．π＋(k∈Z)
答案 B
解析 由题意，得，解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________．
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根．
答案 1
解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．
11．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
解得m≠6且m≠－3，所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则，
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
12．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1解 由于z1当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z1三、探究与创新
13．如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然数m，n的值？
解 因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，
所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，
综上可得m＝0，n＝1
课件37张PPT。第 三 章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念自主学习 新知突破1．了解数系的扩充过程．
2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示法．[问题1] 方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？
[问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
[提示2] 没有解．
[问题3] 若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
[提示3] 有解，x＝i但不是实数范围内．
[问题4] 实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？
[提示4] C＝{a＋bi|a，b∈R}．1．复数的定义：形如__________的数叫做复数．其中i叫做__________，满足：i2＝_______.
2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即__________，这种表示形式叫做复数的代数形式，其中实数a叫做复数z的________，实数b叫做复数z的________．复数的概念及其代数表示法 a＋bi虚数单位－1z＝a＋bi实部虚部1．复数的分类：复数的分类 2．集合表示：设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?___________.复数相等的充要条件 a＝c且b＝d1．理解复数与复数集的概念时应注意以下几点
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数代数形式的应用
(1)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数．
若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)
若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．1．复数i－i2的虚部为( )
A．0 B．1
C．i D．－2
解析： i－i2＝1＋i.
答案： B
2．用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( )
A．C＝R∩I B．R∩I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝?
解析： 由复数的概念可知R?C，I?C，R∩I＝?.
答案： D
3．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，则实数m的值为________．
答案： 2
4．如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，求实数x，y的值．合作探究 课堂互动 复数的概念及分类 下列命题中，正确命题的个数是( )
①复数－3i＋5的实部是－3，虚部是5；
②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
[思路点拨] 本题主要考查复数的基本概念及分类，解题时要注意a＋bi中，a，b的取值为实数．
解析： ①－3i＋5＝5－3i，∴－3i＋5的实部是5，虚部是－3，①是假命题．②由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．
故选A.
答案： A
在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件．利用举反例的形式否定一个命题是很有效的方法．
1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是( )
A．a＝0 B．a＝0且b≠0
C．a≠0且b＝0 D．a≠0且b≠0
解析： 由纯虚数的概念可知：a＝0且b≠0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件．而题中要选择的是必要不充分条件．因此，我们要选择的应该是由“且”字连接的复合命题“a＝0且b≠0”的子命题，“a＝0”或“b≠0”．对照各选择项的情况，故选A.
答案： A复数的概念 [思路点拨]
复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当满足①b＝0时复数z是实数，②b≠0时复数z是虚数，③a＝0，b≠0时复数z是纯虚数．研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是否有意义．
特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，采用的是标准形式的代数式，若不是复数的标准代数形式，应先化为复数的标准代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，再依据概念求解、判断复数是实数，仅注重虚部为零是不够的，还需要考虑它的实部是否有意义．复数相等的充要条件[思路点拨] 确定实部与虚部，列方程组求解． 1.一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
3．必须在标准代数形式下确定实部、虚部后才可应用． 3．(1)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________.
(2)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值．
答案： (1)－4◎求满足条件－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i的实数a，b的取值情况．【错因】 错解想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大，而忽视了只有实数才能比较大小的前提，因此本题中的复数应为实数．谢谢观看！
