课件12张PPT。复数的意义探究复数的向量表示复习练习巩固(星期四限时训练,星期五不上新课.段考范围:导数其运用、推理与证明）复数的几何意义继续(1) 实数集原有的有关性质和特点能否推广到复数集？(2)从复数的特点出发，寻找复数集新的(实数集所不具有)性质和特点？探索复数集的性质和特点探索途径：想一想,实数集有些什么性质和特点?(1)实数可以判定相等或不相等；(2)不相等的实数可以比较大小；(3)实数可以用数轴上的点表示；(4)实数可以进行四则运算；(5)负实数不能进行开偶次方根运算；…… 能否找到用来表示复数的几何模型呢？我们知道实数可以用数轴上的点来表示。复数z=a+bi有序实数对(a,b)Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面——复平面x轴——实轴y轴——虚轴z=a+bi一一对应一一对应模与绝对值复数z=a+bi有序实数对(a,b)一一对应一一对应Z(a,b)z=a+bi实数绝对值的几何意义:复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOAa|a| = |OA| 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.3变式(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；
(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.练习：1.下列命题中的假命题是（ ）D2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的( )
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件C3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范围. 求证:对一切实数m，此复数所对应的点不可能位于第四象限.变式题:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i本课小结：知识点：思想方法：(1)复平面(2)复数的模(1)类比思想(3)数形结合思想(2)转化思想2.满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？选做作业:(星期四限时训练,星期五不上新课.)
(段考范围:导数其运用、推理与证明）B 例2 实数x分别取什么值时，复数 对应的点Z在（1）第三象限？（2）第四象限？（3）直线
上？ 解：（1）当实数x满足即 时，点Z在第三象限． 即 时，点Z在第四象限． （2）当实数x满足（3）当实数x 满足即 时，点Z在直线 上 .3.1.2 复数的几何意义
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[学习目标]
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．
2．掌握实轴、虚轴、模等概念．
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
[知识链接]
1．下列命题中不正确的有________．
(1)实数可以判定相等或不相等；
(2)不相等的实数可以比较大小；
(3)实数可以用数轴上的点表示；
(4)实数可以进行四则运算；
(5)负实数能进行开偶次方根运算；
答案 (5)
2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？
答案 由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型．
[预习导引]
1．复数的几何意义
(1)复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)复数与点、向量间的对应
①复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；
②复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量＝(a，b)．
2．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝.
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要点一 复数与复平面内的点
例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．
解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.
解得m＝－2或m＝4.
(2)由题意，，∴2
(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，
∴2(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.
规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．
跟踪演练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)对应的点在x轴上方；
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
解 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3，或m>5，所以当m<－3，或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
得m＝1，或m＝－，所以当m＝1，或m＝－时，
复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
要点二 复数的模及其应用
例2 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
解 法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．
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法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知：－规律方法 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．
跟踪演练2 求复数z1＝3＋4i，z2＝－－i的模，并比较它们的大小．
解 |z1|＝＝5，|z2|＝＝.∵5>，∴|z1|>|z2|.
要点三 复数的模的几何意义
例3 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝2； (2)|z|≤3.
解 法一 (1)∵复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆．
(2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部．
法二 (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．
(2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9.
∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
规律方法 例3的法一是根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状．
法二是利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．
跟踪演练3 已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？
解 ∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴z的实部为正数，虚部为负数，
∴复数z所对应的点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，
∴复数z对应点的轨迹是一条射线，
其方程为y＝－x＋2(x≥3)．
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1．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．
2．当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 ∵00，－13．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
答案 B
解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量对应的复数为－2＋i.
4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
答案 9
解析 ∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解之得m＝9.
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1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．
2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.
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一、基础达标
1．复数z＝＋i3对应的点在复平面第几象限( )
A．一 B．二
C．三 D．四
答案 D
解析 由i2＝－1，z＝－i，对应点坐标为(，－1)．
2．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)．
由0，m－1<0.所以点Z位于第四象限．故选D.
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
答案 C
解析 A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
4．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是( )
A．实轴 B．虚轴
C．原点 D．原点和虚轴
答案 B
解析 a＝0时，z＝bi，复平面内的点z的轨迹是虚轴．
5．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于________．
答案 －1＋i
解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________．
答案 2解析 ∵z位于第三象限，
∴∴27．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，求|z|.
解 ∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴解得a＝1，∴z＝2i.∴|z|＝2.
二、能力提升
8．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵θ∈，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.
9．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 因A、B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B＞，即A＞－B，sin A＞cos B．cos B－tan A＝cos B－＜cos B－sin A＜0，又tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B.
10．复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第________象限．
答案 三
解析 log3<0，log3 <0，
∴z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限．
11．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，须
∴，∴－7(2)要使点位于x轴负半轴上，须
，∴，∴m＝4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m2＋3m－28≥0，
解得m≥4或m≤－7.
12．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.
解
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根据题意可画图形如图所示：
设点Z的坐标为(a，b)，
∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，
∴a＝－1，b＝±，
即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)，∴z＝－1＋i或z＝－1－i.
三、探究与创新
13．试研究方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为
a2－b2－5＋6＋2abi＝0
?，
?或
或
即x＝±2或x＝±3或x＝±i.
故方程在复数集上的解共有6个
教学目标：
1．了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i．
2．了解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律．
3．了解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念．
教学重点 ：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类（实数、虚数、纯虚数）和复数相等等概念．
教学难点 ：
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点，复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的．
教学方法：
类比探究法．
教学过程：
一、问题情境
回忆数系内部的扩充历程，思考：
在自然数集内如何解方程x＋2＝0？引入负数．
在整数集内解方程3x－2＝0？引入分数．
在有理数集内解方程x2－2＝0？引入无理数．
二、学生活动
在实数集内方程x2＋1＝0的解的问题该如何解决？
数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1．由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并由此产生了复数．
三、建构数学
1．虚数单位i．
（1）它的平方等于－1，即i2＝－1；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
2．复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．
5．复数集与其他数集之间的关系：NZQRC．
6． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d ．
四、数学应用
例1 写出复数4，2－3i，0，i，5＋2i，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
练习1 说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部？
2＋，0.618，i，0，i2，i(1－)，3－9i，5i＋8．
例2 实数m取什么数值时，复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
练习2 实数m取什么数值时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
例3 已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，其中x，y∈R，求x与y．
练习3 若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+6)i＝0，求x的值．
五、巩固练习
课本P112习题第3，4，5题．
六、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．虚数的单位i．
2．复数的有关概念．
3．复数相等的有关概念．
课件39张PPT。3.1.2 复数的几何意义 自主学习 新知突破1．了解复数的几何意义．
2．理解复数的模的概念，会求复数的模．1．平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？
[提示] 可以．
因复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)唯一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)．
[问题1] 在复平面内作出点Z.
[提示] 可以．
因复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)唯一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．[提示1] 如右图．
[提示2] 有一一对应关系．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x轴叫做__________，y轴叫做__________，实轴上的点都表示__________；除__________外，虚轴上的点都表示纯虚数．复平面的定义 实轴虚轴实数原点1．复平面上的点的坐标与复数的关系
(1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．
(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点__________；
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量____________．复数的几何意义 Z(a，b)复数的模
(2)复平面内任意两点间的距离
设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝|z2－z1|.
运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．1．对于复平面，下列命题中的真命题是( )
A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的
B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的
C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的
D．实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的
解析： A中纯虚数所对应的点不在象限内；B中的点应在第三象限；C中若复数z为负实数，则在x轴负半轴上，故选D.
答案： D
答案： B答案： 1＋2i或－1－2i
4．当实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i：
(1)对应的点Z在实轴上？
(2)对应的点Z在第四象限？
(3)对应的点Z在直线x－y－3＝0上？合作探究 课堂互动 复数的几何意义 求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上．
[思路点拨] 求解复数问题常用的解题技巧
(1)代数化：由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应的复数时，通常是由其对应关系列出方程(组)或不等式(组)或混合组，求得复数的实部、虚部的值或范围，来确定所求的复数．
(2)几何化：利用复数的向量表示，充分运用数形结合，转化成几何问题，渗透数形结合思想就是其中技巧之一，可简化解题步骤，使问题变得直观、简捷、易解． 1．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限；
(3)在抛物线y2＝4x上．复数的模的求法 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的计算公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 复数的模的几何意义 设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
[思路点拨] 根据|z|的几何意义确定图形．
方法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.
∵|3＋4i|＝5，
∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．
复数的模的几何意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解． 3．(1)复数z＝x＋3＋i(y－2)(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是________．
(2)求适合条件2≤|z|＜3的复数z在复平面上表示的图形．
解析： (1)∵|z|＝2，
∴(x＋3)2＋(y－2)2＝4.
即点(x，y)的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．(2)如图是以原点O为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．
答案： (1)以(－3,2)为圆心，2为半径的圆◎设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.
【错解】 由|z－1|＝|－1＋i|，得z－1＝±(－1＋i)，
当z－1＝－1＋i时，z＝i；
当z－1＝－(－1＋i)时，z＝2－i.
因为z为纯虚数，所以z＝2－i应舍去．
综上得z＝i.
【错因】 造成这种错误的主要原因是实数绝对值概念的负迁移所致．当x∈R时，|x|＝a(a＞0)才有x＝±a，而当x∈C时，这一性质不再成立．解决这类等式问题，一般要设出复数的代数形式，化复数问题为实数问题．谢谢观看！