教学目标：
1．知识技能目标：掌握复数的几个常用结论，会在复数范围内进行因式分解．
2．过程方法目标：理解并掌握复数进行四则运算的规律．
3．情感态度价值观目标：我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充，让学
生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系．
教学重点：
复数混合运算．
教学难点：
几个常用结论在计算中的熟练应用．
教学过程：
一、复习回顾
1．z2＝c＋di≠0，则．
2．共轭复数：与互为共轭复数．
3．乘方运算法则：z，z1，z2∈C及m，n∈N
．
（1）
（2）
（3）
．
特别地：n∈N
，有i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，结论1
补充：1．结论2
2．
结论3
3．结论4
二、问题情境
问题1 计算．
问题2 计算．
问题3 在复数范围内解方程x4＝1．
．
问题3 ∵x4－1＝(x2＋1)(
x2－1)＝(x＋1)(
x－1)(
x＋i)(
x－i)＝0
∴x＝±1，±i．
四、数学应用
1．计算（1）
（2）i·i2·i3·…·i100
解 （1）＝2i；
（2）i·i2·i3·…·i100＝i5050＝i2＝－1
2．计算：
解 原式＝＝＝0
3．在复数范围内因式分解：（1）a4－b4（2）x2＋2x＋5．
解 （1）a4－b4＝(a＋b)(
a－b)(
a＋bi)(
a－bi)
（2）∵x2＋2x＋5＝0，∴(x＋1)2＝4i2∴x＝±2i－1
∴x2＋2x＋5＝(x＋1＋2i)(
x＋1－2i)
五、巩固练习
在复数范围内因式分解：
（1）x2＋4
（2）a2＋b2＋c2＋2ab
已知z2＝－7－24i，求复数z．
六、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．关于复数运算的几个常用结论；
2．在复数范围内因式分解；
3．待定系数法求复数．
PAGE复数中的几个结论及共应用
数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.
一、中点公式：A点对应的复数为，点对应的复数为，点为两点的中点，则点对应的复数为，即．
例1 四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别为，求点对应的复数．
解：由已知应用中点公式可得的中点对应的复数为，所以点对应的复数为．
二、根与系数的关系：若实系数方程的两复根为，，则有，．
推论：若实系数方程有两虚数根，则这两个虚数根共轭．
例2 方程的一个根为，求实数，的值．
解：已知实系数方程的一个根为，由推论知方程的另一根为，由根与系数的关系可知，．
三、相关运算性质：①为实数，为纯虚数；②对任意复数有；③；④，特别地有；⑤；⑥．
例3 设，且，求证为实数．
证明：由条件可知，则，
所以，，
所以为实数．
四、两则几何意义：①的几何意义为点到点的距离；②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．
例4 若，且，则的最小值为 ．
解：即，对应的点为到点的距离为定值1的所有的点，即以为圆心，1为半径的圆上的点．即，为圆上的点与点之间的距离减去圆的半径，可得结果为3．
复数与平行四边形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法．下面略举几例，以供参考．
一、复数式与长方形的转化
例1 复数，满足，，证明：．
解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．
例2
已知复数，满足，，且，求与的值．
解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由于，故，
故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；．
二、复数式与正方形的转化
例3 已知复数满足，且，求证：．
证明：设复数在复平面上对应的点为，，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以．
点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．
三、复数式与菱形的转化
例4 已知，，，求．
解析：设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，，，考虑到时，；时，无意义，故使为纯虚数的充要条件是，且，．
复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．
PAGE
2(共41张PPT)
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
自主学习
新知突破
1．掌握复数代数形式的乘除运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
3．理解共轭复数的概念．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)
[问题1] 如何规定两复数相乘？
[提示1] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2
＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
[问题2] 如何规定两复数相除？
1．运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)
＝____________________
；
复数代数形式的乘除法
(ac－bd)＋(bc＋ad)i
2．乘法运算律
复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律．即：
z1z2＝__________，z1(z2z3)＝__________
，
z1(z2＋z3)＝______________.
z2z1
(z1z2)z3
z1z2＋z1z3
1．复数乘法运算的方法
(1)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
(2)复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式．如平方差公式，完全平方公式等．
2．复数的除法运算的实质
(1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同．
(2)复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a＋bi(a，b∈R)的形式即可．
共轭复数的概念
共轭复数
a－bi
答案： C
答案： 1＋i
合作探究
课堂互动
复数的乘除运算
计算下列各题：
(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；
(2)(1＋2i)÷(3－i)；
(3)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
[思路点拨] 根据复数乘法、除法的运算法则进行求解计算，对于除法运算，关键是将分子、分母同乘以分母的共轭复数．
1.复数的乘法运算法则的记忆：
复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
2．复数的除法运算法则的记忆：
复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.
3．复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等．
共轭复数
设z1，z2为共轭复数，且(z1＋z2)2－3z1z2i＝4－6i，求z1和z2.
[思路点拨]
(2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A
B．B
C．C
D．D
答案： (1)D (2)B
虚数单位i乘幂的周期性
计算i＋i2＋i3＋…＋i2
013.
[思路点拨] 本题中需求多个in和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及in的周期性化简；也可利用in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．
方法二：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，
∴i＋i2＋i3＋…＋i2
013
＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2
009＋i2
010＋i2
011＋i2
012)＋i2
013
＝i2
013＝i2
012＋1＝i2
012·i＝i.
1.虚数单位i的周期性：
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N
)．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
特别提醒：n也可以推广到整数集．
答案： (1)0
◎利用公式a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，把下列各式分解成一次因式的积：(1)a2＋9；(2)x3－x2＋4x－4.
【错解】 (1)a2＋9不能分解为一次因式的积．
(2)x3－x2＋4x－4
＝x2(x－1)＋4(x－1)
＝(x2＋4)(x－1)．
【错因】 没有将a2＋9，x2＋4写成一次因式的积的形式，多项式a2＋b2在实数集中不能因式分解，但在复数集中可进行分解．可理解为：a2＋b2＝a2－(bi)2＝(a＋bi)(a－bi)．
【正解】 (1)a2＋9＝a2＋32＝(a＋3i)(a－3i)．
(2)x3－x2＋4x－4
＝x2(x－1)＋4(x－1)
＝(x－1)(x2＋4)
＝(x－1)(x＋2i)(x－2i)．
谢谢观看！3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[学习目标]
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
3．理解共轭复数的概念．
[知识链接]
写出下列各小题的计算结果：
(1)(a±b)2＝________；
(2)(3a＋2b)(3a－2b)________；
(3)(3a＋2b)(－a－3b)________．
(4)(x－y)÷(＋)________．
答案 (1)a2±2ab＋b2 (2)9a2－4b2 (3)－3a2－11ab－6b2 (4)－
[预习导引]
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＝＋i.
要点一 复数乘除法的运算
例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
规律方法 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
(2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a＋bi和a－bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.
跟踪演练1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝
－20＋15i；
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；
(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；
(2)6＋.
解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝＝＝＝－＋i；
(2)原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
规律方法 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
跟踪演练2 计算：(1)；(2).
解 (1)＝＝＝1－i；
(2)＝＝＝－1－3i.
要点二 共轭复数及其应用
例3 已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴，解得，
∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.
规律方法 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．
跟踪演练3 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.
①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.
②
由①②联立，解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
1．复数－i＋等于( )
A．－2i
B．i
C．0
D．2i
答案 A
解析 －i＋＝－i－＝－2i，选A.
2．(2013·江西)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )
A．－2i
B．2i
C．－4i
D．4i
答案 C
解析 本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算．因为M∩N＝{4}，所以zi＝4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，zi＝－b＋ai，由zi＝4，利用复数相等，得a＝0，b＝－4.故选C.
3．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)z等于( )
A．1＋3i
B．3＋3i
C．3－i
D．3
答案 A
解析 (1＋z)·z＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i＝1＋3i.
4．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A.
B．
C．－
D．－
答案 A
解析 ∵z2＝t＋i，∴2＝t－i.
z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.
5．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
解析 因为z＝＝＝，故复数z对应的点在第四象限，选D.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
一、基础达标
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．－i
B．i
C．－1
D．1
答案 A
解析 z＝＝－i.
2．i为虚数单位，＋＋＋等于( )
A．0
B．2i
C．－2i
D．4i
答案 A
解析 ＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0.
3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝1，b＝－1
答案 D
解析 ∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴.
4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 B
解析 ＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．
5．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
答案 1
解析 由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.
6．复数的虚部是________．
答案 －
解析 原式＝＝＝－i，∴虚部为－.
7．计算：(1)＋2
010；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解 (1)＋2
010＝＋1
005
＝i(1＋i)＋1
005＝－1＋i＋(－i)1
005
＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
二、能力提升
8．(2013·新课标)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
答案 A
解析 因为复数z满足z(1－i)＝2i，所以z＝＝＝－1＋i.
9．(2013·山东)若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i
B．2－i
C．5＋i
D．5－i
答案 D
解析 由(z－3)(2－i)＝5，得z＝＋3＝＋3＝＋3＝2＋i＋3＝5＋i.所以＝5－i，选D.
10．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于________．
答案 －2i
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
11．(2013·山东聊城期中)已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值．
解 由z＝，
得z＝＝＝1－i，
又z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1.
12．已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
又z·－3iz＝，
∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝，
∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
∴∴或.
∴z＝－1，或z＝－1－3i.
三、探究与创新
13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
解 (1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴，得.
∴b、c的值为b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．(共10张PPT)
问题2
练习巩固
问题1
问题1解答
猜想证明
继续
4答案
2答案
另外,本题还可用几何知识来分析.教学目标：
1．掌握复数的除法及乘方运算法则及意义．
2．理解并掌握复数进行四则运算的规律．
教学重点：
复数乘方运算．
教学难点：
复数运算法则在计算中的熟练应用．
教学方法：
类比探究法．
教学过程：
1、
复习回顾
1．复数的加法，减法和乘法．
2．共轭复数：共轭复数：与互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身；共轭复数的简单性质：；；．
二、建构数学
乘方运算法则：z，z1，z2∈C及m，n∈N
．
（1）
（2）
（3）
．
除法运算：z2＝c＋di≠0，
．
三、数学应用
例1 计算．
解 解法一
设＝x＋yi，即(3－4i)(
x＋yi)＝2－i
；
所以
所以
所以＝＋i
例4 设，求证：（1）（2）．
证明 （1）
所以
（2）
所以
思考 写出在复数范围内的三个根？
结论4
，
四、巩固练习
课本P117练习第2，3题．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．复数的乘方法则和运算律．
2．复数的除法法则和运算律．
3．几个常用的结论．
PAGE
解祛二
3(2-(3+4
4i1(3-41)(3+
s×7
例2计算.
1+)2
1
例3求值i+2+3+…+2010
Ks5u,您身边的高考专家
