课件12张PPT。复数的运算法则复数加减运算的几何意义问题引入例 1例21.复数加、减法的运算法则：已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 即:两个复数相加(减)就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i例1、计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)2.复数的乘法法则：例2例2.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i) 复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开, 运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数 z=a+bi 的共轭复数记作一步到位!例3.计算(a+bi)(a-bi)类似地 我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？设z1=a+bi z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i吻合!这就是复数加法的几何意义.类似地,复数减法:这就是复数减法的几何意义.练习
1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值.注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.7.在复数集C内，你能将 分解因式吗？1.计算:(1+2 i )2 2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i)-20+15i-2+2i-3-i8(x+yi)(x-yi)(2)D课件9张PPT。除法怎样运算练习复习法则复习练习整体代入妙!除法法则分母实数化练习先写成分式形式 化简成代数形式就得结果. 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数) 所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有:
(a+b)+(-a-2)i=1+i.复数中的几个结论及共应用
数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.
一、中点公式：A点对应的复数为，点对应的复数为，点为两点的中点，则点对应的复数为，即．
例1 四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别为，求点对应的复数．
解：由已知应用中点公式可得的中点对应的复数为，所以点对应的复数为．
二、根与系数的关系：若实系数方程的两复根为，，则有，．
推论：若实系数方程有两虚数根，则这两个虚数根共轭．
例2 方程的一个根为，求实数，的值．
解：已知实系数方程的一个根为，由推论知方程的另一根为，由根与系数的关系可知，．
三、相关运算性质：①为实数，为纯虚数；②对任意复数有；③；④，特别地有；⑤；⑥．
例3 设，且，求证为实数．
证明：由条件可知，则，
所以，，
所以为实数．
四、两则几何意义：①的几何意义为点到点的距离；②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．
例4 若，且，则的最小值为 ．
解：即，对应的点为到点的距离为定值1的所有的点，即以为圆心，1为半径的圆上的点．即，为圆上的点与点之间的距离减去圆的半径，可得结果为3．
复数与平行四边形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法．下面略举几例，以供参考．
一、复数式与长方形的转化
例1 复数，满足，，证明：．
解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．
已知复数，满足，，且，求与的值．
解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由于，故，
故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；．
二、复数式与正方形的转化
例3 已知复数满足，且，求证：．
证明：设复数在复平面上对应的点为，，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以．
点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．
三、复数式与菱形的转化
例4 已知，，，求．
解析：设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，，，考虑到时，；时，无意义，故使为纯虚数的充要条件是，且，．
复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
[学习目标]
1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．
2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
[知识链接]
在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系．那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题．
[预习导引]
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．
复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
要点一 复数加减法的运算
例1 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；
(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．
解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．
跟踪演练1 计算：
(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．
解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)
＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.
要点二 复数加减法的几何意义
例2 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则＝－＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)．
＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．
∵＝，
∴，解得，
故点D对应的复数为2－i.
规律方法 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．
跟踪演练2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.
求：(1)表示的复数；
(2)对角线表示的复数；
(3)对角线表示的复数．
解 (1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
要点三 复数加减法的综合应用
例3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解 法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1， ①
(a－c)2＋(b－d)2＝1 ②
由①②得2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
法二 设O为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝||＝
＝.
规律方法 (1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪演练3 本例中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.求|z1－z2|.
解 由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝.
1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
答案 D
解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i.
2．复数i＋i2在复平面内表示的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限．
3．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为( )
A．2＋8i B．－6－6i
C．4－4i D．－4＋2i
答案 C
解析 ＝－＝－(＋)＝(4，－4)．
∴表示的复数为4－4i.
4．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
答案 B
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
答案 －1
解析 z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
一、基础达标
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )
A．0 B.＋i
C．－i D．－i
答案 C
解析 z1＋z2＝－i＝－i.
2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( )
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
答案 B
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于( )
A．2 B．2＋2i
C．4＋2i D．4－2i
答案 C
4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
答案 D
解析 由，得，∴a＋bi＝－2－i.
5．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是________．
答案 3＋i
解析 ∵P(－1,0)，Q(2,1)，
∴＝(3,1)，∴对应的复数为3＋i.
6．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
答案 1
解析 由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．∴|z－1|min＝1.
7．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
(2)＋(2－i)－.
(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解 (1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2)＋(2－i)－
＝＋i＋2－i－＋i
＝＋i＝1＋i.
(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
二、能力提升
8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( )
A．－3i B．3i
C．±3i D．4i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a、b∈R)，
则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，∴b＝3，z＝3i.
9．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作?ABCD，则||等于( )
A．5 B．
C． D．
答案 B
解析 如图，
设D(x，y)，F为?ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以，即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，
所以＝－＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，
所以||＝.
10．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．
答案 ＋i
解析 设这个复数为x＋yi(x，y∈R)
∴x＋yi＋＝5＋i，
∴，∴∴x＋yi＝＋i.
11．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
解 ∵＝－，
∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，
设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
解 法一 设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．
∴AC中点为，BD中点为.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.
法二 设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)
＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，
由于＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.
三、探究与创新
13．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解 (1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
课件37张PPT。3．2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义 自主学习 新知突破1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．
2．理解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
[问题] 多项式的加、减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加、减？
[提示] 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝________________ ，
z1－z2＝________________.
2．加法运算律：
设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__________，
(z1＋z2)＋z3＝_____________．复数的加、减法法则 (a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)3．复数加、减法的几何意义平行四边形 复数加法1．复数加法运算的理解
(1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形．
(2)在这个规定中，当b＝0，d＝0时，则与实数的加法法则一致．
(3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
2．复数减法的几何定义的实质
(1)根据复数减法的几何意义知，两个复数对应向量的差所对应的复数就是这两个复数的差．
(2)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定．1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2所对应的点在实轴上，则a为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析： z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i，
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0.∴a＝－1.
答案： D答案： B
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a＝________，b＝________.
解析： z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i，
z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i，
由已知得b＋4＝0，a＋3＝0，∴a＝－3，b＝－4.
答案： －3 －4
4．计算：(1)(－1＋i)＋|i|＋(1＋i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解析： (1)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)
＝(－1＋i)＋1＋(1＋i)
＝1＋2i.
(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)原式＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.合作探究 课堂互动 复数的加、减运算 计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；
(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；
(3)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．
[思路点拨] 按照复数加、减运算的运算法则进行计算． (1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.
(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.
(3)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.
复数的加、减法运算
(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；
(2)复数的加、减运算结果仍是复数；
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；
(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用． 复数加、减运算的几何意义 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
[思路点拨] 1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 综合应用 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
[思路点拨] 解答本题既可利用z1，z2的代数形式求解，又可利用复数运算的几何意义求解． 1.设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
2．在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．3．已知|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.◎复数z满足|z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．【错因】 本题错用了复数减法的几何意义，其实|z－1－i|表示复数z对应的点到复数1＋i对应的点的距离，而|z＋1＋i|表示复数z对应的点与－1－i对应的点之间的距离．谢谢观看！
