鲁科版五四制数学九年级上册第二章：直角三角形的边角关系测评试卷（含答案解析版）

绝密★启用前 试卷类型：A
鲁科版五四制数学九年级上册第二章：直角三角形的边角关系
数 学 测 评 试 卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，试卷满分共100分，考试时间100分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题 答案填涂在机读卡上）
一、选择题(共12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3.0分,共36分)

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝5，那么AC等于（　　）

A．5tanα B．5cosα C．5sinα D．
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．sinA＝ D．tanA＝
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝（　　）

A． B． C． D．
6．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）

A． B．
C． D．
8．在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B．1 C．5 D．
9．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　）

A． B． C． D．
10．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）

A． B． C． D．
11．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为t＝12：5，小张从与点C相距65米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（　　）米．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）

A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
12．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道，为测量B、C两地之间距离，某工程师乘热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处；在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（　　）m．

A．100 B．50 C．50 D．



第Ⅱ卷（非选择题 答案填在答题卡上）
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　 　．
14．求值：cos30°?sin45°?tan60°＝　 　．
15．如图，直角坐标系中，点P（3，m）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为　 　．

16．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都正方形的顶点上，则tan∠ADC＝　 　．


三、解答题（共5小题，第17-18每小题6分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共48分）
17．计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°．
18．计算：2cos60°+4sin60°?tan30°﹣6cos245°．
19．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AC＝8，求：
（1）边BC上的高；
（2）△ABC的面积．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．

21．【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连结格点B、E可得BE∥CD，则∠ABE＝∠CPB，连结AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为　 　．
【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．





参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝5，那么AC等于（　　）

A．5tanα B．5cosα C．5sinα D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，
cosα＝，
∴AC＝AB?cosα＝5cosα，
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．sinA＝ D．tanA＝
【考点】T1：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，
∴AC＝＝＝．
sinA＝，cosA＝，tanA＝＝，
只有选项D正确．
故选：D．
【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝＝，
∴cosB＝＝．
故选：D．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
4．已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5
【考点】T3：同角三角函数的关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想．
【分析】根据同角三角函数关系tanα＝进行解答．
【解答】解：由＝1，得＝1．
所以＝1．
解得tanα＝2.5．
故选：D．
【点评】考查了同角三角函数关系，熟练运用同角的同角三角函数关系式进行求解．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝（　　）

A． B． C． D．
【考点】T4：互余两角三角函数的关系．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力．
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝，
∴sinB＝＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握边角关系是解题关键．
6．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】T6：计算器—三角函数．菁优网版权所有
【专题】64：几何直观；66：运算能力．
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B＝，根据计算器的应用，可得答案．
【解答】解：由tan∠B＝，得
AC＝BC?tanB＝5×tan26．
故选：D．
【点评】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．
8．在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BAC的值为（　　）

A． B．1 C．5 D．
【考点】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】利用网格构造直角三角形，求出边长后，以及三角函数的意义求出结果．
【解答】解：如图：在Rt△ACD中，CD＝2，AD＝4，则AC＝；
∴sin∠BAC＝＝＝；
故选：A．

【点评】考查三角函数的意义，一般的解法就是构造直角三角形，依据三角函数的定义求解，在网格中通常借助网格构造直角三角形，依据网格的边长为长度进行计算．
9．将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（　　）

A． B． C． D．
【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．
【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°
∴∠DCE＝45°，
∵DE⊥CE
∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°
∴设DE＝CE＝1，则CD＝
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，则AC＝，
在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°
∴BC＝，
∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝
故选：D．
【点评】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．
10．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）

A． B． C． D．
【考点】D5：坐标与图形性质；K3：三角形的面积；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】152：几何综合题；64：几何直观；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．
【解答】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，

∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝＝，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE＝?AB?EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝，
∴AH＝＝，
∴tan∠BAD＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为t＝12：5，小张从与点C相距65米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（　　）米．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）

A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．
【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，
则四边形EDHF为矩形，
∴FH＝DE＝12，EF＝DH，
∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，
∴设BH＝12x，CH＝5x，
由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝652，
解得，x＝5，
则BH＝12x＝60，CH＝5x＝25，
则EF＝DH＝DC+CH＝90，
在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，
则AF＝EF?tan∠AEF≈90×0.81＝72.9，
∴AB＝AF+HF﹣BH＝24.9（米），
故选：C．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道，为测量B、C两地之间距离，某工程师乘热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处；在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（　　）m．

A．100 B．50 C．50 D．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据正切的定义计算即可．
【解答】解：由题意得，∠ABC＝30°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，
则BC＝＝100，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
13．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　或　．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值．
【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；
综上所述，cosC的值为或．
故答案为或．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．
14．求值：cos30°?sin45°?tan60°＝　　．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．
【解答】解：cos30°?sin45°?tan60°
＝××
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．
15．如图，直角坐标系中，点P（3，m）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为　　．

【考点】D5：坐标与图形性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A，
∴OA＝3，PA＝m，
∵tanα＝，
∴＝，
∴m＝4，
由勾股定理可知：OP＝5，
∴sinα＝＝，
故答案为：

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
16．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都正方形的顶点上，则
tan∠ADC＝　　．

【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】连接AC、AD、CD，过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求出得：AC＝，AD＝5，CD＝，又设DF＝x，利用勾股定理即可求出x的值，最后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：连接AC、AD、CD，过点C作CF⊥AD于点F，
由勾股定理可求出得：AC＝，AD＝5，CD＝，
设DF＝x，
∴由勾股定理可知：CD2﹣DF2＝AC2﹣AF2，
∴10﹣x2＝5﹣（5﹣x）2，
解得：x＝3，
∴由勾股定理可知：CF＝1，
在Rt△CDF中，
∴tan∠ADC＝＝，
故答案为：

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
三．解答题（共5小题）
17．计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】511：实数．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式＝﹣（）2+1﹣2×
＝﹣+1﹣
＝．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．计算：2cos60°+4sin60°?tan30°﹣6cos245°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】511：实数．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【解答】解：原式＝2×+4××﹣6×（）2
＝1+2﹣3
＝0．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
19．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AC＝8，求：
（1）边BC上的高；
（2）△ABC的面积．

【考点】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，先求出DC的长，再根据勾股定理即可得出边BC上的高；
（2）根据三角形的性质先求出AD＝BD＝4，再根据BC＝BD+CD，得出BC的长，然后根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∵AC＝8，
∴DC＝4，
∴AD＝＝＝4，
∴边BC上的高为4；

（2）∵∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝4，
∴BC＝BD+CD＝4+4，
∴△ABC的面积是：×4×（4+4）＝24+8．

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解题的关键是做出辅助线，得出相应的数值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝．
（1）求AD的长；
（2）求sinα的值．

【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】（1）根据tanB＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求得x，进而由勾股定理求AD；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，解直角三角形求得BE与DE，进而求得结果．
【解答】解：（1）∵tanB＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，
∴AC＝3，BC＝4，
∵BD＝1，
∴CD＝3，
∴AD＝；
（2）过点作DE⊥AB于点E，

∵tanB＝，可设DE＝3y，则BE＝4y，
∵AE2+DE2＝BD2，
∴（3y）2+（4y）2＝12，
解得，y＝﹣（舍），或y＝，
∴，
∴sinα＝．
【点评】本题是解直角三角形的应用，主要考查了解直角三角形，勾股定理，第二小题关键是构造直角三角形．
21．【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连结格点B、E可得BE∥CD，则∠ABE＝∠CPB，连结AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为　3　．
【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．

【考点】JB：平行线的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用正切函数的定义求出tan∠ABE即可．
（2）如图2，连接CE，DE，作DM⊥CE于M．先证明四边形ABCE是平行四边形，得出CE∥AB，那么∠APD＝∠ECD．利用割补法求出△ECD的面积＝，
由勾股定理求出CE＝，那么根据三角形的面积公式得出DM＝，然后利用正弦函数定义求出sin∠ECD即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠CPB，
∴tan∠ABE＝tan∠CPB，
∵∠AEB＝90°，
∴tan∠CPB＝tan∠ABE＝＝＝3，
故答案为3．
（2）如图2，连接CE，DE，作DM⊥CE于M．

∵BC∥AE，BC＝AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB，
∴∠APD＝∠ECD．
∵△ECD的面积＝3×4﹣×1×4﹣×2×3﹣×1×3＝，
∴CE?DM＝，
∵CE＝，
∴DM＝，
∴sin∠APD＝sin∠ECD＝＝÷＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，有一定难度．



考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
3．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
5．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
6．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA?cosA．
7．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
8．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
9．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα＝0.5678，一般先按键“SHIFT”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
10．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角直角的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝∠A的对边斜边＝ac，cosA＝∠A的邻边斜边＝bc，tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
11．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
12．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
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日期：2019/8/5 14:59:56；用户：守望幸福；邮箱：orFmNt1xod957tuAdbCuuW4AwdIo@weixin.jyeoo.com；学号：29703779









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