鲁科版五四制数学九年级上册第三章：二次函数测评试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 鲁科版五四制数学九年级上册第三章：二次函数测评试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 879.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-28 11:22:48 | ||
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文档简介
绝密★启用前 试卷类型：A
鲁科版五四制数学九年级上册第三章：二次函数
数 学 测 评 试 卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，试卷满分共100分，考试时间100分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题 答案填涂在机读卡上）
一、选择题(共12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3.0分,共36分)
1．下列各曲线中，不表示是的函数的是
A． B．
C． D．
2．若是关于的二次函数，则的值为
A． B．1 C．或1 D．2或1
3．二次函数的顶点坐标是
A． B． C． D．
4．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
5．已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式只可能是
A． B． C． D．
6．如图，，，，那么二次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是
A． B． C． D．
8．要由抛物线得到地物线，则抛物线必须
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
9．已知抛物线经过和两点，则的值为
A． B． C．2 D．4
10．将二次函数通过配方可化为的形式，结果为
A． B． C． D．
11．抛物线的部分图象如图，则下列说法：①；②；③；④，正确的是
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
12．如图，在正方形中，、分别是、的中点，，，垂足分别为，，设，图中阴影部分面积为，则与之间的函数关系式是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 答案填在答题卡上）
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．请写出一个开口向上，并且对称轴为直线的抛物线的表达式
14．若二次函数的图象与轴交于，则的值是 ．
15．在平面直角坐标系中，抛物线，，是常数，的部分图象如图所示，直线是它的对称轴．若一元二次方程的一个根的取值范围是，则它的另一个根的取值范围是 ．
16．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
对称轴为直线．直线与抛物线交于、两点，则下列结论：
①
②；
③；
④；
其中正确的有
三、解答题（共6小题，第17-18每小题6分，第19-21题9分，第22题13分，共52分）17．已知抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）当时，求的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
18．某学习小组在研究函数的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
（1）请补全函数图象；
（2）方程实数根的个数为 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
19．已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当取何值时，随的增大而增大？
20．已知抛物线经过点和点，且．
（1）若该抛物线的对称轴经过点，如图，请根据观察图象说明此时的最小值及的值；
（2）若，求抛物线的解析式（也称关系式），并判断抛物线的开口方向．
21．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点．过，两点的抛物线交轴于点．
（1）求，的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求出当时，自变量的取值范围．
22．如图，抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围．
（3）若是抛物线上一动点，是否存在点，使的面积是10？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各曲线中，不表示是的函数的是
A． B．
C． D．
【考点】：函数的概念
【专题】532：函数及其图象
【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：显然、、选项中，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数；
选项对于取值时，都有2个值与之相对应，则不是的函数；
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．
2．若是关于的二次函数，则的值为
A． B．1 C．或1 D．2或1
【考点】：二次函数的定义
【专题】536：二次函数的应用
【分析】根据是不为0的常数）是二次函数，可得答案．
【解答】解：若是关于的二次函数，则且．，
解得：或．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数，注意二次项的系数不能是0．
3．二次函数的顶点坐标是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．
【解答】解：，
二次函数的顶点坐标是：，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标的方法，熟练配方是解题关键．
4．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【考点】：一次函数的图象；：二次函数的图象
【专题】535：二次函数图象及其性质；31：数形结合
【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在左侧，，同号，对称轴在轴右侧，异号，以及当大于0时开口向上，当小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交轴于正半轴，常数项为负，交轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【解答】解：由方程组得，
，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除．
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；但是一次函数为一次项系数，图象显示从左向右上升，，两者矛盾，故错；
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，，两者相符，故正确；
：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故错．
故选：．
【点评】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与的正负的关系，，的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
5．已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式只可能是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的图象
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】抛物线开口向下，，与轴的正半轴相交，对称轴在轴的左侧、同号，则，再选答案．
【解答】解：由图象得：，，．
故选：．
【点评】本题主要考查了用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法，难度适中．
6．如图，，，，那么二次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【考点】：二次函数的图象
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】根据、、的符号，可判断抛物线的开口方向，对称轴的位置，与轴交点的位置，作出选择．
【解答】解：由可知，抛物线开口向下，排除；
由，可知，对称轴，在轴右边，排除，
由可知，抛物线与轴交点在轴上方，排除；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象，关键是根据抛物线解析式的系数与抛物线图象位置的关系解答．
7．在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的最值；：二次函数的定义；：二次函数的图象
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．
【解答】解：由图象可知：
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的一个交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为且，根据待定系数法求得；
综上，二次项系数绝对值最小的是
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．
8．要由抛物线得到地物线，则抛物线必须
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【考点】：二次函数图象与几何变换；：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】变化规律：左加右减，上加下减．
【解答】解：抛物线必须向右平移1个单位，再向下平移3个单位才得到．
故选：．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
9．已知抛物线经过和两点，则的值为
A． B． C．2 D．4
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【解答】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
10．将二次函数通过配方可化为的形式，结果为
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的三种形式
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：，
即．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要是配方法和平方数非负数的应用．
11．抛物线的部分图象如图，则下列说法：①；②；③；④，正确的是
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【考点】：二次函数图象与系数的关系
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】根据二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定解答．
【解答】解：由抛物线图象得：开口向上，即；对称轴，则，抛物线与轴交于负半轴，可得，，故①正确；
对称轴，，
，故②正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故③正确；
由抛物线图象可知当时，，
，故④正确；
故选：．
【点评】主要考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴的交点的确定是解题的关键．
12．如图，在正方形中，、分别是、的中点，，，垂足分别为，，设，图中阴影部分面积为，则与之间的函数关系式是
A． B． C． D．
【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：正方形的性质
【分析】设正方形的边长为，易证四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用表示出，从而可求出与之间的关系式；
【解答】解：设正方形的边长为，
，，
、分别是、的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
由勾股定理可知：，
，
，
易证：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查矩形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
二．填空题（共4小题）
13．请写出一个开口向上，并且对称轴为直线的抛物线的表达式
【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．
【解答】解：符合的表达式是，
故答案为：．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
14．若二次函数的图象与轴交于，则的值是 2019 ．
【考点】：抛物线与轴的交点
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】把把代入得，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】解：把代入得，
所以，
所以．
故答案为2019．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
15．在平面直角坐标系中，抛物线，，是常数，的部分图象如图所示，直线是它的对称轴．若一元二次方程的一个根的取值范围是，则它的另一个根的取值范围是 ．
【考点】：抛物线与轴的交点；：图象法求一元二次方程的近似根
【专题】31：数形结合
【分析】利用对称轴及二次函数的图象性质，可以把图象与轴另一个交点的取值范围确定．
【解答】解：由图象可知时，；时，；
由于直线是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知：时，；时，；
所以另一个根的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图象信息确定出图象与轴交点的位置是解题的关键．
16．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
对称轴为直线．直线与抛物线交于、两点，则下列结论：
①
②；
③；
④；
其中正确的有 ②③④
【考点】：二次函数与不等式（组；：二次函数图象与系数的关系；：抛物线与轴的交点
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】由已知对称轴，，由图可知，，①；②当时，，则有；③；④当时，函数有最大值，所以，即；
【解答】解：对称轴，
，
由图可知，，
①，不正确；
②当时，，
；正确；
③；正确；
④当时，函数有最大值，
，
；正确；
故答案为②③④；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．已知抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）当时，求的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
【考点】：二次函数的性质
【分析】（1）将已知点的坐标代入解析式即可求得值；
（2）把代入求得的函数解析式即可求得值；
（3）增减性、最值等方面写出有关性质即可．
【解答】解：（1）抛物线经过点，
；
（2）把代入抛物线得：；
（3）抛物线的开口向上；
坐标原点是抛物线的顶点；
当时，随着的增大而增大；
抛物线的图象有最低点，当时，有最小值，是等．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解决二次函数有关问题的基础．
18．某学习小组在研究函数的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
（1）请补全函数图象；
（2）方程实数根的个数为 3 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
【考点】：二次函数的性质；：二次函数的图象
【专题】13：作图题；33：函数思想
【分析】（1）描点连接图象即可；
（2）作直线，即可求解；
（3）答案不唯一，如：①图象关于原点成中心对称；②，随的增大而增大，，随的增大而减小．
【解答】解：（1）描点连接图象如下：
（2）作直线，该直线与函数的图象有3个交点，
故答案为3；
（3）图象的性质：（答案不唯一）
①图象关于原点成中心对称；
②，随的增大而增大，，随的增大而减小．
【点评】本题考查的是函数的图象性质，此类问题主要是通过描点画出函数图象，从图象间的交点求解问题．
19．已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当取何值时，随的增大而增大？
【考点】：二次函数的性质；：二次函数的三种形式
【专题】11：计算题；33：函数思想
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）根据二次函数的图象的单调性解答．
【解答】解：（1），即；
（2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）根据（1）、（2）的结论画出二次函数的大致图象（如图所示），从图象中可知，当时，随的增大而增大．
【点评】此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，二次函数图象的性质．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：，、、为常数）；
（2）顶点式：；
（3）交点式（与轴）．
20．已知抛物线经过点和点，且．
（1）若该抛物线的对称轴经过点，如图，请根据观察图象说明此时的最小值及的值；
（2）若，求抛物线的解析式（也称关系式），并判断抛物线的开口方向．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数的最值；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】（1）根据二次函数的性质得此时的最小值，利用对称性得到，从而确定的值；
（2）设交点式，再把代入求得，从而得到抛物线解析式，利用二次函数的性质确定抛物线开口方向．
【解答】解：（1）该抛物线的对称轴经过点，
点为抛物线的顶点，对称轴为直线，
此时的最小值为；
点和原点为抛物线的对称点，
，
；
（2）当时，即，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，
即，
，
抛物线开口向下．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点．过，两点的抛物线交轴于点．
（1）求，的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求出当时，自变量的取值范围．
【考点】：抛物线与轴的交点；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数与不等式（组
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】（1）利用一次函数的解析式确定、的坐标；
（2）利用待定系数法求抛物线解析式；
（3）写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围．
【解答】解：（1）当时，，则；
当时，，解得，则；
（2）设抛物线解析式为，
把代入得，
解得：，
所以抛物线解析式为，
即；
（3）当时，的取值范围为或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与轴的交点问题和二次函数的性质．
22．如图，抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围．
（3）若是抛物线上一动点，是否存在点，使的面积是10？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题
【专题】153：代数几何综合题
【分析】（1）把点、代入，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求出二次函数的顶点坐标，利用待定系数法分别求出直线与直线的解析式，将顶点横坐标的值分别代入两直线的解析式，求出对应的的值，进而得出的取值范围；
（3）设抛物线上存在点，使的面积是10．过作轴的垂线，交直线于，则．分两种情况进行讨论：①点在上方；②点在下方．根据的面积是10列方程求解．
【解答】解：（1）抛物线经过、两点，
，
解之得：，
所求的解析式是：；
（2），
顶点的坐标为，．
设直线的解析式是，
因为直线经过、两点，
，解之得：，
直线的解析式为．
设直线的解析式是，
直线经过，
，解之得：，
直线的解析式为．
把代入，得，
把代入，得．
，，
；
（3）设抛物线上存在点，使的面积是10．
过作轴的垂线，交直线于，则．
分两种情况：①点在上方时，
，
的面积的面积的面积
，
，
，
无实数根；
②点在下方时，
，
的面积的面积的面积
，
，
，
解得，，
故所求点坐标为或．
【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、方程思想与分类讨论是解题的关键．
考点卡片
1．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
2．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
8．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
10．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
11．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
13．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
14．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
15．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
16．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
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鲁科版五四制数学九年级上册第三章：二次函数
数 学 测 评 试 卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，试卷满分共100分，考试时间100分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题 答案填涂在机读卡上）
一、选择题(共12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3.0分,共36分)
1．下列各曲线中，不表示是的函数的是
A． B．
C． D．
2．若是关于的二次函数，则的值为
A． B．1 C．或1 D．2或1
3．二次函数的顶点坐标是
A． B． C． D．
4．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
5．已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式只可能是
A． B． C． D．
6．如图，，，，那么二次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是
A． B． C． D．
8．要由抛物线得到地物线，则抛物线必须
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
9．已知抛物线经过和两点，则的值为
A． B． C．2 D．4
10．将二次函数通过配方可化为的形式，结果为
A． B． C． D．
11．抛物线的部分图象如图，则下列说法：①；②；③；④，正确的是
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
12．如图，在正方形中，、分别是、的中点，，，垂足分别为，，设，图中阴影部分面积为，则与之间的函数关系式是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 答案填在答题卡上）
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．请写出一个开口向上，并且对称轴为直线的抛物线的表达式
14．若二次函数的图象与轴交于，则的值是 ．
15．在平面直角坐标系中，抛物线，，是常数，的部分图象如图所示，直线是它的对称轴．若一元二次方程的一个根的取值范围是，则它的另一个根的取值范围是 ．
16．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
对称轴为直线．直线与抛物线交于、两点，则下列结论：
①
②；
③；
④；
其中正确的有
三、解答题（共6小题，第17-18每小题6分，第19-21题9分，第22题13分，共52分）17．已知抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）当时，求的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
18．某学习小组在研究函数的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
（1）请补全函数图象；
（2）方程实数根的个数为 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
19．已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当取何值时，随的增大而增大？
20．已知抛物线经过点和点，且．
（1）若该抛物线的对称轴经过点，如图，请根据观察图象说明此时的最小值及的值；
（2）若，求抛物线的解析式（也称关系式），并判断抛物线的开口方向．
21．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点．过，两点的抛物线交轴于点．
（1）求，的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求出当时，自变量的取值范围．
22．如图，抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围．
（3）若是抛物线上一动点，是否存在点，使的面积是10？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各曲线中，不表示是的函数的是
A． B．
C． D．
【考点】：函数的概念
【专题】532：函数及其图象
【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：显然、、选项中，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数；
选项对于取值时，都有2个值与之相对应，则不是的函数；
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．
2．若是关于的二次函数，则的值为
A． B．1 C．或1 D．2或1
【考点】：二次函数的定义
【专题】536：二次函数的应用
【分析】根据是不为0的常数）是二次函数，可得答案．
【解答】解：若是关于的二次函数，则且．，
解得：或．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数，注意二次项的系数不能是0．
3．二次函数的顶点坐标是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．
【解答】解：，
二次函数的顶点坐标是：，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标的方法，熟练配方是解题关键．
4．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【考点】：一次函数的图象；：二次函数的图象
【专题】535：二次函数图象及其性质；31：数形结合
【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在左侧，，同号，对称轴在轴右侧，异号，以及当大于0时开口向上，当小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交轴于正半轴，常数项为负，交轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【解答】解：由方程组得，
，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除．
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；但是一次函数为一次项系数，图象显示从左向右上升，，两者矛盾，故错；
：二次函数开口向上，说明，对称轴在轴右侧，则；为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，，两者相符，故正确；
：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故错．
故选：．
【点评】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与的正负的关系，，的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
5．已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式只可能是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的图象
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】抛物线开口向下，，与轴的正半轴相交，对称轴在轴的左侧、同号，则，再选答案．
【解答】解：由图象得：，，．
故选：．
【点评】本题主要考查了用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法，难度适中．
6．如图，，，，那么二次函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【考点】：二次函数的图象
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】根据、、的符号，可判断抛物线的开口方向，对称轴的位置，与轴交点的位置，作出选择．
【解答】解：由可知，抛物线开口向下，排除；
由，可知，对称轴，在轴右边，排除，
由可知，抛物线与轴交点在轴上方，排除；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象，关键是根据抛物线解析式的系数与抛物线图象位置的关系解答．
7．在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的最值；：二次函数的定义；：二次函数的图象
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．
【解答】解：由图象可知：
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的一个交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为，根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为，与轴的交点为且，根据待定系数法求得；
综上，二次项系数绝对值最小的是
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．
8．要由抛物线得到地物线，则抛物线必须
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【考点】：二次函数图象与几何变换；：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】变化规律：左加右减，上加下减．
【解答】解：抛物线必须向右平移1个单位，再向下平移3个单位才得到．
故选：．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
9．已知抛物线经过和两点，则的值为
A． B． C．2 D．4
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【解答】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
10．将二次函数通过配方可化为的形式，结果为
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的三种形式
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：，
即．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要是配方法和平方数非负数的应用．
11．抛物线的部分图象如图，则下列说法：①；②；③；④，正确的是
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【考点】：二次函数图象与系数的关系
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】根据二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定解答．
【解答】解：由抛物线图象得：开口向上，即；对称轴，则，抛物线与轴交于负半轴，可得，，故①正确；
对称轴，，
，故②正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故③正确；
由抛物线图象可知当时，，
，故④正确；
故选：．
【点评】主要考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴的交点的确定是解题的关键．
12．如图，在正方形中，、分别是、的中点，，，垂足分别为，，设，图中阴影部分面积为，则与之间的函数关系式是
A． B． C． D．
【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：正方形的性质
【分析】设正方形的边长为，易证四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用表示出，从而可求出与之间的关系式；
【解答】解：设正方形的边长为，
，，
、分别是、的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
由勾股定理可知：，
，
，
易证：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查矩形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
二．填空题（共4小题）
13．请写出一个开口向上，并且对称轴为直线的抛物线的表达式
【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．
【解答】解：符合的表达式是，
故答案为：．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
14．若二次函数的图象与轴交于，则的值是 2019 ．
【考点】：抛物线与轴的交点
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】把把代入得，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】解：把代入得，
所以，
所以．
故答案为2019．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
15．在平面直角坐标系中，抛物线，，是常数，的部分图象如图所示，直线是它的对称轴．若一元二次方程的一个根的取值范围是，则它的另一个根的取值范围是 ．
【考点】：抛物线与轴的交点；：图象法求一元二次方程的近似根
【专题】31：数形结合
【分析】利用对称轴及二次函数的图象性质，可以把图象与轴另一个交点的取值范围确定．
【解答】解：由图象可知时，；时，；
由于直线是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知：时，；时，；
所以另一个根的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图象信息确定出图象与轴交点的位置是解题的关键．
16．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
对称轴为直线．直线与抛物线交于、两点，则下列结论：
①
②；
③；
④；
其中正确的有 ②③④
【考点】：二次函数与不等式（组；：二次函数图象与系数的关系；：抛物线与轴的交点
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】由已知对称轴，，由图可知，，①；②当时，，则有；③；④当时，函数有最大值，所以，即；
【解答】解：对称轴，
，
由图可知，，
①，不正确；
②当时，，
；正确；
③；正确；
④当时，函数有最大值，
，
；正确；
故答案为②③④；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．已知抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）当时，求的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
【考点】：二次函数的性质
【分析】（1）将已知点的坐标代入解析式即可求得值；
（2）把代入求得的函数解析式即可求得值；
（3）增减性、最值等方面写出有关性质即可．
【解答】解：（1）抛物线经过点，
；
（2）把代入抛物线得：；
（3）抛物线的开口向上；
坐标原点是抛物线的顶点；
当时，随着的增大而增大；
抛物线的图象有最低点，当时，有最小值，是等．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解决二次函数有关问题的基础．
18．某学习小组在研究函数的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
（1）请补全函数图象；
（2）方程实数根的个数为 3 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
【考点】：二次函数的性质；：二次函数的图象
【专题】13：作图题；33：函数思想
【分析】（1）描点连接图象即可；
（2）作直线，即可求解；
（3）答案不唯一，如：①图象关于原点成中心对称；②，随的增大而增大，，随的增大而减小．
【解答】解：（1）描点连接图象如下：
（2）作直线，该直线与函数的图象有3个交点，
故答案为3；
（3）图象的性质：（答案不唯一）
①图象关于原点成中心对称；
②，随的增大而增大，，随的增大而减小．
【点评】本题考查的是函数的图象性质，此类问题主要是通过描点画出函数图象，从图象间的交点求解问题．
19．已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当取何值时，随的增大而增大？
【考点】：二次函数的性质；：二次函数的三种形式
【专题】11：计算题；33：函数思想
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）根据二次函数的图象的单调性解答．
【解答】解：（1），即；
（2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）根据（1）、（2）的结论画出二次函数的大致图象（如图所示），从图象中可知，当时，随的增大而增大．
【点评】此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，二次函数图象的性质．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：，、、为常数）；
（2）顶点式：；
（3）交点式（与轴）．
20．已知抛物线经过点和点，且．
（1）若该抛物线的对称轴经过点，如图，请根据观察图象说明此时的最小值及的值；
（2）若，求抛物线的解析式（也称关系式），并判断抛物线的开口方向．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数的最值；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】（1）根据二次函数的性质得此时的最小值，利用对称性得到，从而确定的值；
（2）设交点式，再把代入求得，从而得到抛物线解析式，利用二次函数的性质确定抛物线开口方向．
【解答】解：（1）该抛物线的对称轴经过点，
点为抛物线的顶点，对称轴为直线，
此时的最小值为；
点和原点为抛物线的对称点，
，
；
（2）当时，即，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，
即，
，
抛物线开口向下．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点．过，两点的抛物线交轴于点．
（1）求，的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求出当时，自变量的取值范围．
【考点】：抛物线与轴的交点；：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数与不等式（组
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】（1）利用一次函数的解析式确定、的坐标；
（2）利用待定系数法求抛物线解析式；
（3）写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围．
【解答】解：（1）当时，，则；
当时，，解得，则；
（2）设抛物线解析式为，
把代入得，
解得：，
所以抛物线解析式为，
即；
（3）当时，的取值范围为或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与轴的交点问题和二次函数的性质．
22．如图，抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围．
（3）若是抛物线上一动点，是否存在点，使的面积是10？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题
【专题】153：代数几何综合题
【分析】（1）把点、代入，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）先利用配方法求出二次函数的顶点坐标，利用待定系数法分别求出直线与直线的解析式，将顶点横坐标的值分别代入两直线的解析式，求出对应的的值，进而得出的取值范围；
（3）设抛物线上存在点，使的面积是10．过作轴的垂线，交直线于，则．分两种情况进行讨论：①点在上方；②点在下方．根据的面积是10列方程求解．
【解答】解：（1）抛物线经过、两点，
，
解之得：，
所求的解析式是：；
（2），
顶点的坐标为，．
设直线的解析式是，
因为直线经过、两点，
，解之得：，
直线的解析式为．
设直线的解析式是，
直线经过，
，解之得：，
直线的解析式为．
把代入，得，
把代入，得．
，，
；
（3）设抛物线上存在点，使的面积是10．
过作轴的垂线，交直线于，则．
分两种情况：①点在上方时，
，
的面积的面积的面积
，
，
，
无实数根；
②点在下方时，
，
的面积的面积的面积
，
，
，
解得，，
故所求点坐标为或．
【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、方程思想与分类讨论是解题的关键．
考点卡片
1．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
2．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
8．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
10．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
11．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
13．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
14．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
15．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
16．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
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