人教九年级数学第22章二次函数知识和例题详解(含答案)

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名称 人教九年级数学第22章二次函数知识和例题详解(含答案)
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文件大小 1.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2019-08-14 11:41:02

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人教九年级数学最全《二次函数》知识&例题详解
一、什么是二次函数?
【引例】一个正方体的棱长为a,它的表面积为S,于是我们可以得到函数关系式:S=6a2,这里a是自变量,S是a的函数,因为这里自变量的最高次数是2,所以我们把它称为二次函数
我们可以以图表的形式把对应关系表示出来(不考虑实际意义):
我们根据列表绘制出它的图像:
?
我们发现:
二次函数的图像是一条抛物线
二、二次函数的图象研究
刚才我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线,那么这条抛物线有什么特点那?
二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0)
(1)我们先来研究a与抛物线y=ax2+bx+c图像的联系
我们发现:
当a>0时,抛物线开口向上;
当a<0时,抛物线开口向下
观察上面的抛物线我们发现:
当a>0,a越大,开口越小
当a<0,a越大,开口越大
即|a|越大,开口越小
(2)抛物线与y轴的交点
对于y=ax2+bx+c,令x=0,得y=c,即抛物线与y轴的交点为(0,c)
(3)抛物线与x轴的交点
对于y=ax2+bx+c,令y=0,就转化成了一元二次方程ax2+bx+c=0
我们知道这个方程根的个数可以用判别式△=b2-4ac来判断,
①当△>0时,方程有两个不相等的实根
②当△=0时,方程有两个相等的实根
③当△<0时,方程无实根
而一元二次方程ax2+bx+c=0的实根个数和抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是相对应的
①当△>0时,抛物线与x轴有两个交点
所以,当给出两个交点时,我们也可以把函数关系式写成:
我们也把这个关系式叫做交点式
②当△=0时,抛物线与x轴有一个交点
③当△<0时,抛物线与x轴无交点
(4)抛物线的顶点及对称性
不难发现,抛物线是个轴对称图形,那么它的对称轴是什么那?
我们随便找一个二次函数y=2x2-4x+1,我们对它进行配方,得到y=2(x-1)2-1
我们利用列表法描点:
根据图像我们发现:
此函数图像的对称轴为x=1
当x<1,即在对称轴左侧时,抛物线呈递减趋势;
当x>1,即在对称轴右侧时,抛物线呈增强趋势;
当x=1,即在对称轴上时,y=-1,
而(1,-1)即为抛物线y=2(x-1)2-1的顶点
下面我们对一般情况进行分析:
对二次函数一般形式y=ax2+bx+c进行配方得:
因此抛物线y=ax2+bx+c的
对称轴:
顶点坐标:
所以我们也把
称为顶点式
(5)抛物线的增减性与最值
观察图像,我们发现:
①若a>0
②若a<0
三、二次函数图象分析常用图
四、二次函数题型归纳及做题技巧
类型一 ? 二次函数的概念
【知识点】
判断二次函数解析式的三个特征:
①整式;②a≠0;③化简后x的最高次数是2
例题1??下列函数中属于二次函数的是( ?)
A. y = 2x + 1 ? ? ?B. y = (x - 1)2 - x2
C. y = 2x2 ? ? ? ? ? D.
【提示】
根据二次函数解析式三个特征
例题2 ?已知是y关于x的二次函数,那么m的值为( ? )
A. -2 ? ? B. 2 ? ? C. ±2 ? ? D. 0
【提示】
根据二次函数解析式三个特征
类型二 ? 二次函数的图像和性质
【知识点】
二次函数y=ax2+bx+c图像性质
1、根据a判断开口方向,|a|判断开口大小
①a>0,开口向上;a<0,开口向下
②|a|越大开口越小,
? ? |a|相等,抛物线的开口大小,形状相同
2、根据c判断与y轴的交点位置
①c>0,交于y轴正半轴
②c<0,交于y轴负半轴
③c=0,抛物线经过原点
3、根据△判断交点个数
①△>0,与x轴有2个交点
②△=0,与x轴有1个交点
③△<0,与x轴无交点
4、对称轴
对称轴是直线x = -b/2a
①b=0时,对称轴为y轴
②b/a>0(即a、b同号),对称轴在y轴左侧
③b/a<0(即a、b异号),对称轴在y轴右侧
5、根据开口方向和对称轴判断增减性
①a>0,对称轴左侧递减,右侧递增
②a<0,对称轴左侧递增,右侧递减
6、看图象判定代数式的值或范围
①判断a,b,c的符号和取值
根据开口方向及大小,对称轴在y轴哪侧,与y轴交点判断
②如何得到a±b+c的值或范围
x取±1时可得出
③如何得到2a±b的值或范围
比较对称轴-b/2a与±1的大小关系得出
④如何得到b2-4ac的大小
根据图象与x轴的交点个数
⑤如何得到a,b,c的关系式
试试经过的点代入
⑥碰到特殊的技巧和规律就积累下来
例题3 ?函数y= - x2 ?+ 1的图象大致为( ? )
【提示】
根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图象
例题4??关于抛物线y = x2 - 2x +1,下列说法错误的是( ?)
A. 开口向上
B. 与x轴有两个重合的交点
C. 对称轴是直线x = 1
D. 当x>1时,y随x的增大而减小
【提示】
根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图像,或直接画出图象
例题5?下列图像中,有一个可能是函数y = ax2 + bx + a + b(a≠0)的图象,它是()
【提示】
根据y = ax2 + bx + a + b(a≠0),对a,b的正负进行分类讨论,把一定错误的排除掉即可得到正确选项
例题6??已知函数y = ax2 + bx + a + c,当y > 0时,-1/3 < x < 1/2,则函数y = cx2 - bx + a的图像可能是图中的()
【提示】
根据a,b,c分别对图象的影响或利用根与系数的关系
例题7 ?如图,已知二次函数y = ax2 + bx + c(a≠0)的图像与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x = 1.下列结论:
①abc>0 ?②4a+2b+c>0 ?③4ac-b2<8a ④1/3 < a < 2/3 ? ⑤b>c
其中含所有正确结论的选项是()
A. ①③ ? ? B. ①③④ ? ?C. ②④⑤ ? ?D. ①③④⑤
【提示】
根据对称轴及图象开口方向向上可判断出a,b,c的符号,从而判断①;根据对称轴得到函数图象经过(3,0),从而判断②;根据图像经过(-1,0)可得到a,b,c之间的关系,从而判断③⑤;从图像与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间,从而判断c的大小,进而判断④
类型三 ? 利用二次函数的对称性解题
【知识点】
1、若抛物线上的点,纵坐标相同,它们一定关于对称轴对称
如上图,经过抛物线的A、B两点的纵坐标都是2,那么它们一定关于对称轴对称
2、若抛物线上A、B两点关于对称轴对称,且它们的横坐标分别为m、n,则对称轴为x=(m+n)/2
例题8?二次函数y = ax2 + bx +c,自变量x与函数y的对应值如表:
下列说法正确的是()
A. 抛物线开口向下
B. 当x>-3时,y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是-2
D. 抛物线的对称轴是x=-5/2
【提示】
注意表格中给出的y值,有三对相同的数字,而它们都是图象上点的纵坐标,抛物线上的点,纵坐标相同,它们一定关于对称轴对称,再根据二次函数的性质逐项判断
例题9 ?
【提示】
根据函数解析式的特点,其对称轴为x=1,图象开口向下,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,根据二次函数图象的对称性可知,关于对称轴对称,即可判断
例题10 ??如图,抛物线y = x2 - bx + c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x = 2
(1)求抛物线的解析式
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由
【提示】
(1)根据抛物线经过点A(1,0),对称轴是x=2列出方程组,求出b,c即可;
(2)因为点A与点C关于x=2对称,根据轴对称的性质连接BC与x=2交于点P,点P即为所求,求出直线BC与x=2的交点即可
类型四 ? 根据条件确定二次函数的解析式
【知识点】
注:有顶点信息用顶点式,有交点信息用交点式,没特殊信息用一般式
例题11? ?已知某二次函数的图象如图,则这个二次函数的解析式为()
A. y = - 3(x - 1)2 + 3
B.?y = ?3(x - 1)2 + 3
C.?y = - 3(x + 1)2 + 3
D. y = 3(x + 1)2 + 3
【提示】有顶点信息,用顶点式
例题12 ??已知二次函数的图象经过(-1,-5),(0,-4),(1,1),则这个二次函数的表达式为()
A. y = - 6x2 + 3x + 4
B. y = - 2x2 + 3x - 4
C. y = x2 + 2x - 4
D. y = 2x2 + 3x - 4
【提示】无特殊信息,用一般式
例题13 ??已知二次函数图象经过(1,0),(2,0),(0,2)三点,则该函数图象的关系式是_____________________.
【提示】有交点信息,用交点式
类型五 ? 利用二次函数解决实际问题
例题14?? 在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图,如果要使整个挂图的面积是y cm2,设金色纸边的宽度为x cm,那么y关于x的函数是( ?)
A. y = (60+2x)(40+2x)
B. y = (60+x)(40+x)
C. y = (60+2x)(40+x)
D. y = (60+x)(40+2x)
【提示】挂图面积 = 长×宽 =(60+2x)(40+2x)
例题15 ??某商店进了一批服装,每件成本50元,如果按每件60元出售,可销售800件,如果每件提价5元出售,其销量将减少100件.
(1)求售价为70元时的销售量及销售利润
(2)求销售利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系,并求售价为多少元时获得最大利润;
(3)如果商店销售这批服装想获利12000元,那么这批服装的定价是多少元?
【参考答案】
例题1:C
例题2:A
例题3:B
例题4:D
例题5:C
例题6:D
例题7:D
例题8:D
例题9:D
例题10:
(1)解析式为:y=x2- 4x + 3
(2)点P的坐标为(2,1)
例题11:A
例题12:D
例题13:y= x2 - 3x + 2
例题14:A
例题15:
(1)销售量:600(件),销售利润:12000(元)
(2)关系式:y= -20(x-75)2 + 12500
? ? ? ? ? 最大利润:12500元
(3)定价为70元或80元时这批服装可获利12000元