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高二数学不等式章末测试
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|log2(x2－x)＞1}，则A∩B＝( )
A．(2,3] B．(2,3)
C．(－3，－2) D．[－3，－2)
解析：由x2－2x－3≤0，得－1≤x≤3，所以A＝[－1,3]．由log2(x2－x)＞1，即x2－x＞2，得x＜－1或x＞2，故B＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．所以A∩B＝(2,3]．
答案：A
2．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b＋c B．ac>bc
C.>0 D.≥0
解析：∵a>b，∴a－b>0，c2≥0，
∴≥0.
答案：D
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M>N B．M ≥N
C．M
解析：因为M－N＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N，故选A.
答案：A
4．已知关于x的不等式mx2＋8mx＋28<0的解集为{x|－7A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为不等式mx2＋8mx＋28<0的解集为{x|－7所以－7，－1是方程mx2＋8mx＋28＝0的两个根，且m>0，
所以∴m＝4.
答案：D
5．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
解析：x，y为正数，(x＋y)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x等号成立，选B.
答案：B
6．若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0
C. D．3
解析：可行域为如图所示的阴影部分，可知z＝x－y在点A(0，3)处取得最小值，∴z最小值＝－3.
答案：A
7．若不等式ax2＋≥(a＞0)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(0,9] B．[9，＋∞)
C. D.
解析：原不等式转化为a(x2＋1)＋≥，又a＞0，则a(x2＋1)＋≥2＝2，当且仅当a(x2＋1)＝，即a＝时等号成立，则根据恒成立的意义可知2≥，解得a≥.
答案：C
8．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )
A．1 B．6
C．9 D．16
解析：∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝＞0，得a＞1，同理得b＞1，所以＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，所以＋的最小值为6.
答案：B
9．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－4 B．a≥－4
C．a≥－12 D．a≤－12
解析：令y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)，则y＝2x2－8x－4在x＝4时取得最大值－4，∴当a≤－4时，2x2－8x－4≥a在1≤x≤4内有解．
答案：A
10．已知二次函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)的两个零点分别在区间(0,1)与(1,2)内，则m2＋n2的取值范围是( )
A．[1,13] B．(1，)
C．[1，] D．(1,13)
解析：由题意得，即，画出可行域，如图中阴影部分所示(不包含边界)，m2＋n2的几何意义为可行域内的点到原点的距离的平方．又|OA|＝，|OC|＝1，故m2＋n2的取值范围是(1,13)．
答案：D
11．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.
线性约束条件为即
作出不等式组
表示的可行域如图，易求得点A(0,50)，B(30,20)，C(45,0)．
平移直线x＋0.9y＝0，可知当直线经过点B(30,20)，即x＝30，y＝20时，z取得最大值，且zmax＝48.故选B.
答案：B
12．x，y满足约束条件若z＝ny－mx(n＞0)取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，因为z＝ny－mx(n＞0)，所以y＝x＋，所以当m＞0时，直线y＝x＋应平行于直线2x－y＋2＝0，所以＝2；当m＜0时，直线y＝x＋应平行于直线x＋y－2＝0，所以＝－1，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．函数y＝2－x－(x>0)的值域为________．
解析：当x>0时，y＝2－≤2－2＝－2.当且仅当x＝，x＝2时取等号．
答案：(－∞，－2]
14．不等式≤3的解集为________．
解析：≤3?≤0，即≥0，
∴x＜0或x≥.
答案：(－∞，0)∪[，＋∞)
15．已知x＞0，y＞0，且(x＋y)2－(5m－1)(x＋y)＋144≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为x＞0，y＞0，所以x＋y＞0，则(x＋y)2－(5m－1)(x＋y)＋144≥0恒成立?x＋y＋≥5m－1恒成立．又x＋y＋≥2＝24(当且仅当x＋y＝12时，等号成立)，所以5m－1≤24，解得m≤5，所以实数m的取值范围为(－∞，5]．
答案：(－∞，5]
16. 设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________．
解析：画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.
答案：4
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知f(x)＝x2＋2x＋2a－a2，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
解析：设g(x)＝x2＋2x.
因为f(x)>0，所以x2＋2x>a2－2a.
只要使g(x)在[1，＋∞)上的最小值大于a2－2a即可．
因为g(x)＝x2＋2x在[1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝3.
所以a2－2a<3，解此一元二次不等式，得－1所以实数a的取值范围是(－1,3)．
18．(12分)已知f(x)＝x2－(a＋)x＋1，
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a＞0，解关于x的不等式f(x)≤0.
解析：(1)当a＝时，有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
∴(x－)(x－2)≤0，
∴不等式的解集为{x|≤x≤2}．
(2)∵不等式f(x)＝(x－)(x－a)≤0，
当0＜a＜1时，有＞a，
不等式的解集为{x|a≤x≤}；
当a＞1时，有＜a，不等式的解集为{x|≤x≤a}；
当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}．
19．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
解析：设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
即
画出可行域如图阴影部分所示．
而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立得交点B(1.5,0.5)．
故当x＝1.5，y＝0.5时，
P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．
20．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
解析：(1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k<0.
由根与系数的关系得解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
所以
即
所以k<－.
即k的取值范围是.
21．(13分)某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．
(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)从第几年开始获利？
(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．
问哪种方案最合算？为什么？
解析：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，则f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.
(1)获利就是要求f(n)>0，所以－2n2＋40n－72>0，
解得2(2)①年平均利润＝＝40－2≤16.
当且仅当n＝6时取等号，
故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，
此时n＝6.
②f(n)＝－2(n－10)2＋128.
当n＝10时，f(n)max＝128.
故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)．
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案．
22．(13分)设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0解析：(1)把a＝2代入f(x)＝x＋，
得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1，
∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1>0，>0，
∴x＋1＋≥2.
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f(x)取最小值．此时，f(x)min＝2－1.
(2)当0若x＋1＋≥2，
则当且仅当x＋1＝时取等号，此时x＝－1<0(不合题意)，因此，上式等号取不到．
设x1>x2≥0，则
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)，
∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1.
∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而0∴<1，
∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)＝a.
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高二数学不等式章末测试
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|log2(x2－x)＞1}，则A∩B＝( )
A．(2,3] B．(2,3)C．(－3，－2) D．[－3，－2)
2．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b＋c B．ac>bcC.>0 D.≥0
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M>N B．M ≥NC．M4．已知关于x的不等式mx2＋8mx＋28<0的解集为{x|－7A．1 B．2C．3 D．4
5．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A．6 B．9C．12 D．15
6．若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0C. D．3
7．若不等式ax2＋≥(a＞0)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(0,9] B．[9，＋∞)C. D.
8．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )
A．1 B．6C．9 D．16
9．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－4 B．a≥－4C．a≥－12 D．a≤－12
10．已知二次函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)的两个零点分别在区间(0,1)与(1,2)内，则m2＋n2的取值范围是( )
A．[1,13] B．(1，)C．[1，] D．(1,13)
11．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 B．30,20C．20,30 D．0,50
12．x，y满足约束条件若z＝ny－mx(n＞0)取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为( )
A.或－1 B．2或C．2或1 D．2或－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．函数y＝2－x－(x>0)的值域为________．
14．不等式≤3的解集为________．
15．已知x＞0，y＞0，且(x＋y)2－(5m－1)(x＋y)＋144≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
16. 设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________．
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知f(x)＝x2＋2x＋2a－a2，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
18．(12分)已知f(x)＝x2－(a＋)x＋1，
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a＞0，解关于x的不等式f(x)≤0.
19．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
20．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
21．(13分)某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．
(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)从第几年开始获利？
(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．
问哪种方案最合算？为什么？
22．(13分)设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0
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