12.1 全等三角形(要点讲解+当堂检测+答案) 学案
文档属性
| 名称 | 12.1 全等三角形(要点讲解+当堂检测+答案) 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-13 11:27:43 | ||
图片预览
文档简介
人教版数学八年级上册同步学案
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
要 点 讲 解
要点一 全等形的概念
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
1. 全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置，看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可.
2. 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
3. 两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定全等.
要点二 全等三角形及对应元素
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
2. 全等三角形的表示方法：
1. “全等”用数学符号“≌”表示，读作“全等于”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.例如：如图所示的△ABC和△DEF全等，点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应顶点，记作△ABC≌△DEF.AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 完全重合有两层含义：①图形的形状相同；②图形的大小相等.全等的符号“≌”也形象直观地反映了这一点：“∽”表示图形的形状相同，“＝”表示图形的大小相等.
3. 全等三角形是全等形的特例.
经典例题1 如图所示，△ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角.
解析：解法一：如图所示，已知△ABC≌△DCB，故公共边BC和CB是对应边，它们所对的∠A和∠D是对应角，最短边AB和DC是对应边，它们所对的∠ACB和∠DBC是对应角，余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角.
解法二：根据书写规范可知点A和点D，点B和点C，点C和点B是对应顶点，而两组对应顶点的夹边是对应边，对应边所对的角是对应角.
解：AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；∠ABC与∠DCB，∠A与∠D，∠ACB与∠DBC是对应角.
要点三 全等三角形的性质
1. 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；由全等三角形的定义可知，全等三角形的周长相等，面积相等.
2. 全等三角形的性质是证明两条线段相等、两个角相等的重要方法.
经典例题2 如图，B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，∠A＝75°，∠B＝60°，BE＝5，求∠F的度数与CF的长.
解析：利用全等三角形的对应角相等、对应边相等求∠F的度数与CF的长.
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠ACB＝180°－∠A－∠B，
即∠F＝180°－75°－60°＝45°.
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，
∴CF＝BE＝5.
点拨：在应用全等三角形的性质时，根据需要选取对应边、对应角，同时要结合三角形的内角和进行计算.CF与BE不是全等三角形的对应边，所以不能由△ABC≌△DEF直接得出CF＝BE.
易错易混警示 对应关系考虑不全面而出错
用符号“≌”表示两个三角形全等时，对应顶点要放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却未必，不要形成固定思维.解决这类问题时要考虑各种对应情况，避免出现因考虑不全面，而导致结果错误的情况.
经典例题3 边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的取值为( )
A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 3或4或5
解析：由△ABC和△DEF全等可知，△ABC和△DEF的周长相等且都是奇数所以AC长为奇数.又根据三角形三边关系可得AC长大于2而小于6，所以AC＝3或5.又因为AB和DE是对应边，所以DF的对应边是AC或BC，所以DF的长可能是3或4或5.
答案：D
点拨：本题中的全等关系是用语言表述的，而不是用符号“≌”表示的.通过本题认真体会“△ABC和△DEF全等”与“△ABC≌△DEF”的区别.
当 堂 检 测
1. 下列说法不正确的是( )
A. 能够完全重合的两个图形是全等形
B. 形状相同的两个图形是全等形
C. 大小不同的两个图形不是全等形
D. 形状、大小都相同的两个图形是全等形
2. 如图，图形前后发生了变化，变化前后不是全等形的一对是( )
A B C D
3. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2.5
第3题 第4题
4. 如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数为 .
6. 如图所示，△ABC≌△BAD，且AC＝BD，写出这两个三角形的其他对应边和对应角.
7. 如图所示，△ABC和△ADE全等，B与D，C与E是对应点，∠1与∠2相等吗？试说明.
8. 如图，△ABF≌△CDE，∠B和∠D是对应角，AF和CE是对应边.
(1)若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
(2)若BD＝10，EF＝2，求BF的长.
当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. B 4. C
5. 130°
6. 解：对应边：AD与BC，AB与BA；对应角：∠ADB与∠BCA，∠DAB与∠CBA，∠DBA与∠CAB.
7. 解：∠1＝∠2.理由如下：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE.∵∠BAE＝∠BAE，∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠1＝∠2.
8. 解：(1)∵△ABF≌△CDE，∴∠B＝∠D＝30°.又∵∠DCF＝40°，∴∠EFC＝∠D＋∠DCF＝40°＋30°＝70°.
(2)∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BE＝DF＝(BD－EF)＝×(10－2)＝4.∴BF＝BE＋EF＝6.
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
要 点 讲 解
要点一 全等形的概念
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
1. 全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置，看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可.
2. 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
3. 两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定全等.
要点二 全等三角形及对应元素
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
2. 全等三角形的表示方法：
1. “全等”用数学符号“≌”表示，读作“全等于”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.例如：如图所示的△ABC和△DEF全等，点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应顶点，记作△ABC≌△DEF.AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 完全重合有两层含义：①图形的形状相同；②图形的大小相等.全等的符号“≌”也形象直观地反映了这一点：“∽”表示图形的形状相同，“＝”表示图形的大小相等.
3. 全等三角形是全等形的特例.
经典例题1 如图所示，△ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角.
解析：解法一：如图所示，已知△ABC≌△DCB，故公共边BC和CB是对应边，它们所对的∠A和∠D是对应角，最短边AB和DC是对应边，它们所对的∠ACB和∠DBC是对应角，余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角.
解法二：根据书写规范可知点A和点D，点B和点C，点C和点B是对应顶点，而两组对应顶点的夹边是对应边，对应边所对的角是对应角.
解：AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；∠ABC与∠DCB，∠A与∠D，∠ACB与∠DBC是对应角.
要点三 全等三角形的性质
1. 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；由全等三角形的定义可知，全等三角形的周长相等，面积相等.
2. 全等三角形的性质是证明两条线段相等、两个角相等的重要方法.
经典例题2 如图，B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，∠A＝75°，∠B＝60°，BE＝5，求∠F的度数与CF的长.
解析：利用全等三角形的对应角相等、对应边相等求∠F的度数与CF的长.
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠ACB＝180°－∠A－∠B，
即∠F＝180°－75°－60°＝45°.
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，
∴CF＝BE＝5.
点拨：在应用全等三角形的性质时，根据需要选取对应边、对应角，同时要结合三角形的内角和进行计算.CF与BE不是全等三角形的对应边，所以不能由△ABC≌△DEF直接得出CF＝BE.
易错易混警示 对应关系考虑不全面而出错
用符号“≌”表示两个三角形全等时，对应顶点要放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却未必，不要形成固定思维.解决这类问题时要考虑各种对应情况，避免出现因考虑不全面，而导致结果错误的情况.
经典例题3 边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的取值为( )
A. 3 B. 4 C. 3或5 D. 3或4或5
解析：由△ABC和△DEF全等可知，△ABC和△DEF的周长相等且都是奇数所以AC长为奇数.又根据三角形三边关系可得AC长大于2而小于6，所以AC＝3或5.又因为AB和DE是对应边，所以DF的对应边是AC或BC，所以DF的长可能是3或4或5.
答案：D
点拨：本题中的全等关系是用语言表述的，而不是用符号“≌”表示的.通过本题认真体会“△ABC和△DEF全等”与“△ABC≌△DEF”的区别.
当 堂 检 测
1. 下列说法不正确的是( )
A. 能够完全重合的两个图形是全等形
B. 形状相同的两个图形是全等形
C. 大小不同的两个图形不是全等形
D. 形状、大小都相同的两个图形是全等形
2. 如图，图形前后发生了变化，变化前后不是全等形的一对是( )
A B C D
3. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2.5
第3题 第4题
4. 如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数为 .
6. 如图所示，△ABC≌△BAD，且AC＝BD，写出这两个三角形的其他对应边和对应角.
7. 如图所示，△ABC和△ADE全等，B与D，C与E是对应点，∠1与∠2相等吗？试说明.
8. 如图，△ABF≌△CDE，∠B和∠D是对应角，AF和CE是对应边.
(1)若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
(2)若BD＝10，EF＝2，求BF的长.
当堂检测参考答案
1. B 2. C 3. B 4. C
5. 130°
6. 解：对应边：AD与BC，AB与BA；对应角：∠ADB与∠BCA，∠DAB与∠CBA，∠DBA与∠CAB.
7. 解：∠1＝∠2.理由如下：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE.∵∠BAE＝∠BAE，∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠1＝∠2.
8. 解：(1)∵△ABF≌△CDE，∴∠B＝∠D＝30°.又∵∠DCF＝40°，∴∠EFC＝∠D＋∠DCF＝40°＋30°＝70°.
(2)∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BE＝DF＝(BD－EF)＝×(10－2)＝4.∴BF＝BE＋EF＝6.