12.2 判定方法—斜边、直角边(HL)(要点讲解+当堂检测+答案) 第4课时 学案
文档属性
| 名称 | 12.2 判定方法—斜边、直角边(HL)(要点讲解+当堂检测+答案) 第4课时 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-13 11:33:14 | ||
图片预览
文档简介
人教版数学八年级上册同步学案
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时 判定方法—斜边、直角边(HL)
要 点 讲 解
要点一 用“斜边、直角边”判定三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
1. “HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立.
2. “HL”是识别两个直角三角形全等特有的方法，应用此方法时要注意：(1)要保证两个三角形是直角三角形；(2)斜边相等；(3)任意一条直角边对应相等.
要点二 直角三角形全等的综合判定
1. 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SAS，ASA，AAS和HL五种方法去判定两个直角三角形全等.在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法.
2. 判定两个三角形全等常用的思路方法：
三角形的形状
已知条件
可选择的
判定方法
需寻找的条件
锐角三角形或钝角三角形
两边对应相等(SS)
SSS或SAS
可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等
一边及其邻角对应相等(SA)
SAS或ASA
可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等
一边及该边的对角对应相等(SA)
AAS
可证另一角对应相等
两角对应相等(AA)
ASA或AAS
可证两角的夹边对应相等或证相等一角的对边对应相等
一锐角对应相等(AA)
ASA或AAS
可证直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等
直角三角形
斜边对应相等(H)
HL或AAS
可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等
一直角边对应相等(L)
HL或ASA或AAS
可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等
经典例题1 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的个数有( )
①AC＝A′C′，∠A＝∠A′；②AC＝A′C′，AB＝A′B′；③AC＝A′C′，BC＝B′C′；④AB＝A′B′，∠A＝∠A′.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析：由条件①，根据ASA可判定两个直角三角形全等；由条件②，根据HL可判定两个直角三角形全等；由条件③，根据SAS可判定两个直角三角形全等；由条件④，根据AAS可判定两个直角三角形全等.
答案：D
点拨：当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明.
易错易混警示 错用“HL”定理
“HL”定理是指斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并不是证明所有直角三角形全等都用“HL”定理.
经典例题2 如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，∠B＝∠C.
求证：DE＝DF.
证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△DEB和△DFC中，
∴△DEB≌△DFC.∴DE＝DF.
点拨：Rt△DEB和Rt△DFC全等是应用“AAS”定理，不要错误地应用“HL”定理.不要出现如下错误：在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
当 堂 检 测
1. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是( )
A. HL B. ASA C. AAS D. SAS
第1题 第2题
2. 如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是( )
A. AE＝DF B. ∠A＝∠D
C. ∠B＝∠C D. AB＝DC
3. 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )
A. AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B. AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C. AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D. AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
第3题 第4题
4. 如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝8cm，DE＝6cm，则AC等于( )
A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm
5. 如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 或 .
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BE＝BC，如果AC＝6，那么AD＋DE＝ .
7. 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ .
8. 如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.
求证：∠ABC＝∠ACB.
9. 如图，∠ACB＝∠CFE＝90°，AB＝DE，BC＝EF.
求证：AD＝CF.
当堂检测参考答案
1. A 2. D 3. B 4. C
5. AC＝AD BC＝BD
6. 6
7. 7
8. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEB＝∠BDC＝90°.在Rt△CBE与Rt△BCD中，∴Rt△CBE≌Rt△BCD(HL)，∴∠ABC＝∠ACB.
9. 证明：∵∠ACB＝∠CFE＝90°，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中，∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL).∴AC＝DF.∴AC－AF＝DF－AF，即AD＝CF.
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时 判定方法—斜边、直角边(HL)
要 点 讲 解
要点一 用“斜边、直角边”判定三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
1. “HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立.
2. “HL”是识别两个直角三角形全等特有的方法，应用此方法时要注意：(1)要保证两个三角形是直角三角形；(2)斜边相等；(3)任意一条直角边对应相等.
要点二 直角三角形全等的综合判定
1. 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SAS，ASA，AAS和HL五种方法去判定两个直角三角形全等.在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法.
2. 判定两个三角形全等常用的思路方法：
三角形的形状
已知条件
可选择的
判定方法
需寻找的条件
锐角三角形或钝角三角形
两边对应相等(SS)
SSS或SAS
可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等
一边及其邻角对应相等(SA)
SAS或ASA
可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等
一边及该边的对角对应相等(SA)
AAS
可证另一角对应相等
两角对应相等(AA)
ASA或AAS
可证两角的夹边对应相等或证相等一角的对边对应相等
一锐角对应相等(AA)
ASA或AAS
可证直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等
直角三角形
斜边对应相等(H)
HL或AAS
可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等
一直角边对应相等(L)
HL或ASA或AAS
可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等
经典例题1 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的个数有( )
①AC＝A′C′，∠A＝∠A′；②AC＝A′C′，AB＝A′B′；③AC＝A′C′，BC＝B′C′；④AB＝A′B′，∠A＝∠A′.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析：由条件①，根据ASA可判定两个直角三角形全等；由条件②，根据HL可判定两个直角三角形全等；由条件③，根据SAS可判定两个直角三角形全等；由条件④，根据AAS可判定两个直角三角形全等.
答案：D
点拨：当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明.
易错易混警示 错用“HL”定理
“HL”定理是指斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，并不是证明所有直角三角形全等都用“HL”定理.
经典例题2 如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，∠B＝∠C.
求证：DE＝DF.
证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△DEB和△DFC中，
∴△DEB≌△DFC.∴DE＝DF.
点拨：Rt△DEB和Rt△DFC全等是应用“AAS”定理，不要错误地应用“HL”定理.不要出现如下错误：在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
当 堂 检 测
1. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是( )
A. HL B. ASA C. AAS D. SAS
第1题 第2题
2. 如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是( )
A. AE＝DF B. ∠A＝∠D
C. ∠B＝∠C D. AB＝DC
3. 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )
A. AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B. AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C. AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D. AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
第3题 第4题
4. 如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝8cm，DE＝6cm，则AC等于( )
A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm
5. 如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 或 .
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BE＝BC，如果AC＝6，那么AD＋DE＝ .
7. 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ .
8. 如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.
求证：∠ABC＝∠ACB.
9. 如图，∠ACB＝∠CFE＝90°，AB＝DE，BC＝EF.
求证：AD＝CF.
当堂检测参考答案
1. A 2. D 3. B 4. C
5. AC＝AD BC＝BD
6. 6
7. 7
8. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEB＝∠BDC＝90°.在Rt△CBE与Rt△BCD中，∴Rt△CBE≌Rt△BCD(HL)，∴∠ABC＝∠ACB.
9. 证明：∵∠ACB＝∠CFE＝90°，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中，∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL).∴AC＝DF.∴AC－AF＝DF－AF，即AD＝CF.