课件41张PPT。第一章1.1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理2 突破常考题型题型一题型二题型三3 跨越高分障碍4 应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二1 理解教材新知[提出问题]分类加法计数原理 问题2：这几类方案中各有几种方法？
提示：第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．
问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？
提示：共有7＋6＝13种不同的方法．[导入新知]m＋n m1＋m2＋…＋mn [化解疑难]
1．分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．
3．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类．[提出问题]分步乘法计数原理 问题2：完成每一步各有几种方法？
提示：第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．
问题3：该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？
提示：共有7×6＝42种不同的方法．[导入新知]m×n m1×m2×…×mn [化解疑难]
1．分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件．
2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．
3．分步时，首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也会不同．分类加法计数原理 分步乘法计数原理 两个计数原理的综合应用 [易错防范]答案：B答案：B第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知集合A {1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：满足题意的集合A分两类：第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1，2}，{3，2}共4个；第二类有两个奇数有{1，3}，所以共有4＋1＝5(个)．
答案：D
2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有( )
A．7种 B．12种 C．64种 D．81种
解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故不同取法共有4×3＝12(种)．
答案：B
3．如图所示，一条电路从A处到B处接通时，可构成的通路有( )
A．8条 B．6条 C．5条 D．3条
解析：依题意，可构成的通路有2×3＝6(条)．
答案：B
4．已知集合，M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A．18 B．17 C．16 D．10
解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有3×3＝9(个)；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有4×2＝8(个)．由分类加法计数原理，在第一、第二象限内的点共有9＋8＝17(个)．
答案：B
5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B．42个 C．36个 D．35个
解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)．
答案：C
二、填空题
6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．
解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．
答案：120
7．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有________种．
解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．
答案：8
8．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．
解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)．
若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)．
答案：7 12
三、解答题
9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
解：按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；
……
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，有序自然数对共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
10．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？
操
场
窗舍区
餐厅
教学区
解：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理知，着色方案共有6×5×4×4＝480(种)．
B级 能力提升
1．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )
A．27种 B．36种
C．54种 D．81种
解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．
答案：C
2．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．
解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)，所以共有20＋20＋25＝65(种)．
答案：65
3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种．
解：按出场位置顺序逐一安排：
第一位置有3种安排方法；
第二位置有7种安排方法；
第三位置有2种安排方法；
第四位置有6种安排方法；
第五位置有1种安排方法．
由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．
§1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学目标：
知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
过程与方法：培养学生的归纳概括能力；
情感、态度与价值观：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式
教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)
教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解
授课类型：新授课
课时安排：2课时
第一课时
引入课题
先看下面的问题：
①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？
②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.
1 分类加法计数原理
（1）提出问题
问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
（2）发现新知
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有
种不同的方法.
（3）知识应用
例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有
5+4=9（种）.
变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：
完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.
理解分类加法计数原理：
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条
第三类, m3 = 1×2 = 2 条
所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条
练习
1．填空：
( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ;
( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．
第二课时
2 分步乘法计数原理
（1）提出问题
问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以,,…，,,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
用列举法可以列出所有可能的号码：
我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．
探究：你能说说这个问题的特征吗？
（2）发现新知
分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有
种不同的方法.
（3）知识应用
例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．
解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；
第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．
根据分步乘法计数原理，共有
30×24 =720
种不同的选法．
探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：
完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.
理解分步乘法计数原理：
分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.
3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点
①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题
②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.
例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种,
第四步, m4 = 1 种,
所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6
变式
1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？
练习
2．现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名． ( 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
第三课时
3 综合应用
例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【分析】
①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.
②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.
③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这
件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.
解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是
=4+3+2=9;
( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是
=4×3×2=24 .
（3）。
例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
N=3×2=6 .
6 种挂法可以表示如下：
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
分析：按照新规定，牌照可以分为 2类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤．
解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：
第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；
第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法；
第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法；
第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法；
第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；
第6步，从剩下的 8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法．
根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有
26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个） .
同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个．
所以，共能给
11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） .
辆汽车上牌照．
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 ― 需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整” ― 完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
练习
1．乘积展开后共有多少项？
2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
3．从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？
4．某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
第四课时
例1.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．
解：先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有
7 + 6 = 13
种选法．
再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有
13×9×9 = = 1053
个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名．
例2. 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．
总共有 4 种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示．在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？
分析：用图1. 1一2 来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A , C , G , U 中任选一个来占据．
解：100个碱基组成的长链共有 100个位置，如图1 . 1一2所示．从左到右依次在每一个位置中，从 A , C , G , U 中任选一个填人，每个位置有 4 种填充方法．根据分步乘法计数原理，长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有
（个）
例3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成．问：
(1）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？
(2）计算机汉字国标码（GB 码）包含了6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
分析：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有 0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题．
解：(1）用图1.1一3 来表示一个字节．
图 1 . 1 一 3
一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择．根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2= 28 =256 个不同的字符；
( 2）由（ 1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用2 个字节能够表示多少个字符．前一个字节有 256 种不同的表示方法，后一个字节也有 256 种表示方法．根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示 256×256 = 65536
个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763．所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2 个字节表示．
例4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图1.1一4，它是一个具有许多执行路径的程序模块．问：这个程序模块有多少条执行路径？
另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
图1.1一4
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第 1 步是从开始执行到 A 点；第 2 步是从 A 点执行到结束．而第 1 步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成；第 2 步可由子模块 4 或子模块 5 来完成．因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理．
解：由分类加法计数原理，子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子路径共有
18 + 45 + 28 = 91 （条） ;
子模块 4 或子模块 5 中的子路径共有
38 + 43 = 81 （条） .
又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有
91×81 = 7 371（条）.
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块．这样，他可以先分别单独测试 5 个模块，以考察每个子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为
18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172.
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1 步中的各个子模块和第 2 步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为
3×2=6 .
如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常．这样，测试整个模块的次数就变为
172 + 6=178（次）.
显然，178 与7371 的差距是非常大的．
你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？
巩固练习：
1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()
A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
若变为图二,图三呢?
5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
6．（2007年重庆卷）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ C ）
A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
课外作业：第10页 习题 1. 1 6 , 7 , 8
教学反思：
课堂小结
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.
2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.
3．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：
分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即"不重不漏". 分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成.
分配问题
把一些元素分给另一些元素来接受．这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题．因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位．而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了．
事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：
①.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是，这里.其中是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要.个数为的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为.这里的“多”只要“少”.
②.被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”,并且不限制一对一的分配问题，方法是分组问题的计算公式乘以.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1-1-1所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有( )
图1-1-1
A．6条 B．5条 C．9条 D．4条
【解析】 从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条．由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3＋2＝5条．
【答案】 B
2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )
A．96种 B．24种 C．120种 D．12种
【解析】 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．
【答案】 A
3．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )
A．53种 B．35种
C．8种 D．15种
【解析】 每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．
【答案】 B
4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )
A．15 B．12
C．5 D．4
【解析】 利用分类加法计数原理．
当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5个；当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4个．据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．
【答案】 A
5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有( )
A．18条 B．20条
C．25条 D．10条
【解析】 第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．
【答案】 A
二、填空题
6．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．
【解析】 因为焦点在y轴上，所以0【答案】 20
7．某班2018年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为______．
【解析】 将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．
【答案】 42
8．如图1-1-2，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________．
图1-1-2
【解析】 依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
【答案】 19
三、解答题
9．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
【解】 (1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种)．
(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种)．
10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
【解】 从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．
有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
[能力提升]
1.一植物园参观路径如图1-1-3所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )
图1-1-3
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
【解析】 由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．
【答案】 D
2．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
【解析】 分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．
【答案】 D
3．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．
【解析】 若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．
【答案】 22
4．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，
(1)P可以表示平面上的多少个不同点？
(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？
(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？
【解】 (1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点．
(2)根据条件需满足a<0，b>0.
完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．
高中数学《排列组合的复习》教学设计
教学目标 1．知识目标 （1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题； （2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能； （3）熟练应用排列组合问题常见解题方法； （4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。 2．能力目标 认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。 3．德育目标 （1）用联系的观点看问题； （2）认识事物在一定条件下的相互转化； （3）解决问题能抓住问题的本质。 教学重点：排列数与组合数公式的应用 教学难点：解题思路的分析 教学策略：以学生自主探究为主，教师在必要时给予指导和提示，学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。 媒体选用：学生在计算机网络教室通过专题学习网站，利用网络资源（如在线测度等）进行自主探索和研究。 教学过程 一、知识要点精析 （一）基本原理 1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，……，在第 类办法中有 种不同的办法，那么完成这件事共有： … 种不同的方法。 2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，……，做第 步有 种不同的办法，那么完成这件事共有： ?… 种不同的方法。 3．两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关即“联斥性”： （1）对于加法原理有以下三点： ①“斥”——互斥独立事件； ②模式：“做事”——“分类”——“加法” ③关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。 （2）对于乘法原理有以下三点： ①“联”——相依事件； ②模式：“做事”——“分步”——“乘法” ③关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。 （二）排列 1．排列定义：一般地说从 个不同元素中，任取? 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中，任取 个元素的一个排列。特别地当 时，叫做 个不同元素的一个全排列。 2．排列数定义：从 个不同元素中取出? 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示。 3．?排列数公式：（1） … ，特别地 （2）且规定 （三）组合 1．组合定义：一般地说从 个不同元素中，任取? 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。 2．组合数定义：从 个不同元素中取出? 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，用符号 表示。 3．?组合数公式：（1） （2） 4．组合数的两个性质：（1） 规定 （2） （四）排列与组合的应用 1．排列的应用问题 （1）无限制条件的简单排列应用问题，可直接用公式求解。 （2）有限制条件的排列问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。 2．组合的应用问题 （1）无限制条件的简单组合应用问题，可直接用公式求解。 （2）有限制条件的组合问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。 3．排列、组合的综合问题 排列组合的综合问题，主要是排列组合的混合题，解题的思路是先解决组合问题，然后再讨论排列问题。 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： （1）限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “相邻”与“不相邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”，可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法。 ②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。 ③“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。 ④元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。 （2）限制条件的组合问题常见命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。 （3）在处理排列组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重复，不遗漏按事件的发生过程分类、分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列问题的最基本，也是最重要的思想方法。 4、解题步骤： （1）认真审题：看这个问题是否与顺序有关，先归结为排列问题或组合问题或二者的综合题，还应考虑以下几点： ①在这个问题中 个不同的元素指的是什么？② 个元素指的又是什么？ ②从 个不同的元素中每次取出 个元素的排列（或组合）对应的是什么事件； （2）列式并计算； （3）作答。 二、学习过程 题型一：排列应用题 9名同学站成一排：（分别用A，B，C等作代号） （1）?如果A必站在中间，有多少种排法？（答案： ） （2）?如果A不能站在中间，有多少种排法？（答案： ） （3）?如果A必须站在排头，B必须站在排尾，有多少种排法？（答案： ） （4）?如果A不能在排头，B不能在排尾，有多少种排法？（答案： ） （5）?如果A，B必须排在两端，有多少种排法？（答案： ） （6）?如果A，B不能排在两端，有多少种排法？（答案： ） （7）?如果A，B必须在一起，有多少种排法？（答案： ） （8）?如果A，B必须不在一起，有多少种排法？（答案： ） （9）?如果A，B，C顺序固定，有多少种排法？（答案： ） 题型二：组合应用题 若从这9名同学中选出3名出席一会议 （10）?若A，B两名必在其内，有多少种选法？（答案： ） （11）?若A，B两名都不在内，有多少种选法？（答案： ） （12）?若A，B两名有且只有一名在内，有多少种选法？（答案： ） （13）?若A，B两名中至少有一名在内，有多少种选法？（答案： 或 ） （14）?若A，B两名中至多有一名在内，有多少种选法？（答案： 或 ） 题型三：排列与组合综合应用题 若9名同学中男生5名，女生4名 （15）?若选3名男生，2名女生排成一排，有多少种排法？（答案： ） （16）?若选3名男生2名女生排成一排且有一男生必须在排头，有多少种排法？ （答案： ） （17）?若选3名男生2名女生排成一排且某一男生必须在排头，有多少种排法？ （答案： ） （18）?若男女生相间，有多少种排法？（答案： ） 题型四：分组问题 ????? 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ （19）?一堆一本，一堆两本，一堆三本? （答案： ） （20）?甲得一本，乙得两本，丙得三本? （答案： ） （21）?一人得一本，一人得两本，一人得三本?? （答案： ） （22）?平均分给甲、乙、丙三人??? （答案： ） （23）?平均分成三堆??? （答案： ） （24）?分成四堆，一堆三本，其余各一本? （答案： ） （25）分给三人每人至少一本。 （答案： + + ）
题型五：全能与专项 ??? 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？ 题型六：染色问题 （26）梯形的两条对角线把梯形分成四部分，用五种不同颜色给这四部分涂不同颜色，且相邻的区域不同色，问有（????? ）种不同的涂色方法？
（答案：260）
（27）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）。现在栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有???? 种。 分析：先排1、2、3排法 种排法；再排4，若4与2同色， 5有 种排法，6有1种排法；若4与2不同色，4只有1种排法； 若5与2同色，6有 种排法；若5与3同色，6有1种排法 所以共有 （ + +1）=120种
题型七：编号问题 （28）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种？???? （答案：144） （29）将数字1，2，3，4填在标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填上一个数字且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种？（答案：9） 题型八：几何问题 （30）：（Ⅰ）四面体的一个顶点为A，从其它顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一个平面上，有多少种不同的取法？ （Ⅱ）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？ 解：（1）（直接法）如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有 5个点，从中取出3点必与点A共面共有 种取法，含顶点A的 三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法。 根据分类计数原理，与顶点A共面三点的取法有 +3=33（种） （2）（间接法）如图，从10个顶点中取4个点的取法有 种，除去4点共面 的取法种数可以得到结果。从四面体同一个面上的6个点取出4点必定共面。有 =60种，四面体的每一条棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形（对棱中点连线两两相交且互相平分）故4点不共面的取法为 ????? -（60+6+3）=141 题型九：关于数的整除个数的性质： ①被2整除的：个位数为偶数； ②被3整除的：各个位数上的数字之和被3整除； ③被6整除的：3的倍数且为偶数； ④被4整除的：末两位数能被4整除； ⑤被8整除的：末三位数能被8整除； ⑥25的倍数：末两位数为25的倍数； ⑦5的倍数：个位数是0，5； ⑧9的倍数：各个位数上的数字之和为9的倍数。 （31）：用0,1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，其中5的倍数有多少个？ （答案：216） 题型十：隔板法：（适用于“同元”问题） （32）：把12本相同的笔记本全部分给7位同学，每人至少一本，有多少种分法？ 分析：把12本笔记本排成一行，在它们之间有11个空当（不含两端）插上6块板将本子分成7份，对应着7名同学，不同的插法就是不同的分法，故有 种。 三、在线测试题 1．以一个正方形的顶点为顶点的四面体共有（? D??? ）个 （A）70（B）64（C）60（D）58 2．3名医生和6名护士被分配到3所所为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（? D? ） （A）90种?? （B）180种? （C）270种? （D）540种 3．将组成篮球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，则不同的名额分配方法共有（? A? ） （A）??? （B）??? （C）???? （D） 4．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（? B ） （A）480?? （B）240? （C）120??? （D）96 5．编号为1，2，3，4，5的五个人分别去坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，至多有两个号码一致的坐法种数为（?? C? ） （A）90?? （B）105?? （C）109??? （D）100 6．如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜色，现在4种颜色可供选择， 则不同的着色方法共有（ B? ）种（用数字作答） （A）48?? （B）72??? （C）120?? （D）36 7．若把英语“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（? A? ）。 （A）19? （B）20?? （C）119? （D）60 8．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积分33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有（? D? ） （A）6 种??? （B）5种?? （C）4种??? （D）3种 四、课后练习 1．10个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于盒子的编数，问有?????????? 种不同的放法？ 2．坐在一排9个椅子上，相邻两人之间至少有2个空椅子，则不同的坐法的种数是?????????? 3．如图A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有?????????? 种。[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
4．面直角坐标系中，X轴正半轴上有5个点，Y轴正半轴有3个点，将X轴上这5个点或Y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有???????? 个。
5．某邮局现只有邮票0．6元，0．8元，1．1元的三种面值邮票，现有邮资为7．5元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最小，且邮资恰为7．5元，则至少要购买?????? 张邮票。 6．（1）从1，2，…，30这前30个自然数中，每次取出不同的三个数，使这三个 数的和是3的倍数的取法有多少种？ （2）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个能被3整除的四位数。 （3）在1，2，3，…，100这100个自然数中，每次取出三个数，使它们构成一个等差数列，问这样的等差数列共有多少个？ （4）1！+2！+3！+…+100！的个位数字是??????????? 7．5个身高均不等的学生站成一排合影，若高个子站中间，从中间到两边一个比一个矮，则这样的排法种数共有（??? ） （A）6种?? （B）8种?? （C）10种??? （D）12种 8．某产品中有4只次品，6只正品（每只产品均可区别），每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止，则第五次测试发现最后一只次品的可能情况共有多少种？
[来源:www.shulihua.net]
《排列和组合的综合应用》多媒体教学的教师小结 数学教师在传统教学环境下也许会遭遇诸如以下的困难： ——我怎样向学生提供更多的相关的学习资料？ ——我如何有效地进行课堂检测并及时反馈？ ——我怎样让每个学生都参与讨论并且使讨论的结果都呈现出来？ 这种在教学资源、教学检测、教学组织上所体现出来的局限，不仅在传统教学环境下难以改变，即使在多媒体辅助教学下也是捉襟见肘。它不仅影响了数学教学效率的提高，更是阻碍了数学教改的进程。 幸而，计算机技术的发展已经到了网络时代，基于Web的网络教学给我们的数学教学带来了革命的曙光。鉴此认真分析教材特点，学生特点开了《排列和组合的综合应用》这堂网络课，现对此进行课后总结： 《排列和组合的综合应用》这堂网络课，教学重点是几种常见命题的形式的解题思路及有关应用。首先，通过排列和组合有关知识的学习，对排列和组合有一个整体上的认识，给学生打下了很好的基础。其次，在教学中，本着以学生为本的原则，让学生自己动手参与实践，使之获取知识。在传统教学过程中，学生主要依靠老师，自主探索的能力不强，因此在本节课学习中，教师在课堂上适时抛出问题，使学生有的放矢，有针对性，知道自己下一步应该做什么，同时组织学生以小组进行讨论学习，防止出现学生纯粹浏览网页这种现象。在强大的网络环境下，让学生探讨排列和组合的区别与联系，自主发现结论，以人机交互的方式，使个性化学习成为可能，体现了学科教学与教育技术的整合。第三、针对数学学科的特点，在学生自主探索发现结论后，还需在理论上给予支持。因此，对各种常见的类型，教师在课堂上分别给予小结，目的是让学生在今后的自主学习中，若遇到同样的问题，有能力自己解决。从而让学生逐步熟悉、形成较为完整的一套自主学习的方法。 ??? 在上课的过程中，充分体现出计算机的交互和便捷的特点，学生可以根据需要，在老师的引导下，选择自己学习的进度和内容，去自主的学习和探索。通过实际操作，帮助理解和掌握本节课重点内容。在上课过程中，学生积极思考，相互协作讨论，踊跃回答问题，气氛活跃，教学效果好。在学生课后的反馈中，总体的反映都觉得各自获益匪浅，从中学到了不少的东西，切实掌握了排列和组合的有关知识。 当然，本节课还有许多需要改进的地方，如课堂上安排节奏比较快，例题，练习留给学生探索，动手的时间还可以再多一些；另外由于学生电脑的水平以及数学学科的特点，所以许多学生不能很熟练地操作电脑，许多数学符号，公式无法在讨论区中体现。 总之，网络探究的最大好处是学生能够在网络中找到课堂教学中体验过和未体验过的感性知识，提高学生求知欲，增强学习的自主性，使学生的个性在学习中得以充分张扬。而探究过程中的相互交流不仅可扩大知识的摄入量，更可培养学生形成一种在交流中学习成长的意识。因此在网络教学这领域中，今后还有很大的学习空间，做为一名教师，要适应时代的需要，改善自己平时的传统教学思维，大胆创新，努力学习，不断地探索，不断反思。树立现代教育观念，不断学习现代化技术，完善自己，提高素质，才能担负起祖国赋于我们肩上的重任。
www.shulihua.net
w。w-w*k&s%5￥u
www.shulihua.net[来源:www.shulihua.net]
w。w-w*k&s%5￥u
课件31张PPT。 第 一 章 计数原理1．1 分类加法计
数原理与分步乘法计数原理
1．1.1 分类加法计数原理
与分步乘法计数原理及其简单应用自主学习 新知突破1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．会利用两个基本原理分析和解决一些简单的实际问题．2013年3月3日政协十一届三次会议在北京举行，某政协委员3月2日要从泉城济南前往北京参加会议．他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组．假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘． [问题] 此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？
[提示] 3＋4＝7.此委员这一天从济南到北京共有7种快捷途径．1．完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝___________种不同的方法．
2．如果完成一件事情有n类不同方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝ _________________ 种不同的方法．分类加法计数原理m＋nm1＋m2＋…＋mn1．完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝__________种不同的方法．
2．如果完成一件事情需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝ _________________种不同方法．分步乘法计数原理m1×m2×…×mnm×n关于分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
解析： 要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
答案： B
2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A．18个 B．17个
C．16个 D．10
解析： 分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．
答案： B
3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________．
解析： 第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．
答案： 364．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
解析： (1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法.合作探究 课堂互动分类加法计数原理 新华中学高一有优秀班干部5人，高二有优秀班干部7人，高三有优秀班干部8人，现在学校组织他们去参加旅游活动，需要推选一人为总负责人，有多少种不同的选法？ [思路点拨] 方法一(定义法)：由于要从三个年级的优秀班干部中选出一人，故可分为三类：第一类从高一的5名优秀班干部中选取一人，有5种选法；第二类从高二的7名优秀班干部中选取一人，有7种选法；第三类从高三的8名优秀班干部中选取一人，有8种选法．又根据分类加法计数原理知，共有5＋7＋8＝20种不同的选法．方法二(枚举法)：因为只取一人，这样设三个年级的优秀班干部分别为A1，A2，A3，A4，A5；B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7；C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8，从以上20种情况中选一人有20种选法．
方法三(表格法)：因为推选1人，从三个年级中选取，列表如下：
所以共有5＋7＋8＝20种选法． [规律方法] 利用分类加法计数原理解题的步骤和原则1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解析： 根据题意，将十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理知：符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．分步乘法计数原理 从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？ [思路点拨] [规律方法] 利用分步乘法计数原理的步骤：2．要安排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？
解析： 先排第一天，可排5人中任一人，有5种排法；
再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；
再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法；
同理，第四、五天各有4种排法．
由分步乘法计数原理可得值班表不同的排法共有：
N＝5×4×4×4×4＝1 280种．◎用0到6这7个数字，可以能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【错解一】 分4步进行：第1步，排个位，在0,2,4,6中选一个有4种方法；第2步，排十位，有6种方法；第3步，排百位有5种方法；第4步，排千位有4种方法，共有方法种数4×6×5×4＝480.
【错解二】 考虑到首位不能排数字0，分4步进行：第1步，排千位，在1,2,3,4,5,6中选1个，有6种方法；第2步，排个位，在0,2,4,6中选1个，有4种方法；第3步，排十位，在余下的5个数字中选1个，有5种方法；第4步，排百位，在余下的4个数字中选1个，有4种方法；共有6×4×5×4＝480种方法．
[提示] 错解一忽视数字0不能在首位的约束，按此排法有可能为“0134”这种不符合要求的情况．
错解二忽视了题目“无重复数字的四位数”的约束，按此排法有可能为“2032”，不符合条件．
若先排首位，应考虑排的是1,3,5还是2,4,6，因它直接关系到第2步排个位的选取；
若先排个位，应考虑是否排0，因为它关系到首位的选排． 【正解】 分两类：第1类，首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个)，则末位数字可取0,2,4,6中任一个，而百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位则不能取与这三个数字重复的数字，故共有3×4×5×4＝240种取法．
第2类，首位取2,4,6中某个偶数数字，如2时，则末位只能取0,4,6中任一个，百位又不能取与上述重复的数字，十位不能取与这三个数字重复的数字，故共有3×3×5×4＝180种取法．
故共有240＋180＝420个无重复数字的四位偶数.谢谢观看！
