课件38张PPT。第一章1.2
1.2.1
第一课时
排列与排列数公式2 突破常考题型题型一题型二题型三3 跨越高分障碍4 应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二1 理解教材新知[提出问题]排列的定义 问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？
提示：不是．
问题2：有几种排法？
提示：2种，男—师—女，女—师—男．
2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题1：让你安排这项活动需分几步？它们是什么？
提示：分两步：第1步，确定上午的同学；第2步，确定下午的同学．
问题2：有几种排法？
提示：上午有3种，下午有2种，
因此共有3×2＝6种排法．
问题3：甲乙和乙甲是相同的排法吗？
提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午．[导入新知]顺序 [化解疑难]
排列定义的理解
(1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列．
(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同.[提出问题]排列数及排列数公式 问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
提示：4×3×2＝24个无重复数字的三位数．
问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？
提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法．[导入新知]排列的个数 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n！ 1 排列的有关概念 用列举法解决排列问题 答案：B排列数公式的应用 [易错防范]答案：C第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第1课时 排列的简单应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动；
③从a，b，c，d 4个字母中取出2个字母；
④从1，2，3，4 4个数字中取出2个数字组成1个两位数．
其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一列．
答案：B
2．计算＝( )
A．12 B．24 C．30 D．36
解析：A＝7×6A，A＝6A，所以＝＝36.
答案：D
3．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有( )
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：
由此可知共有9种送法．
答案：B
4．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数字共有( )
A．238个 B．232个
C．174个 D．168个
解析：由0，1，2，3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A＝18(个)，故共有192－18＝174(个)
答案：C
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A个，另一类是4作个位数，也有A个．因此符合条件的偶数共有A＋A＝24(个)．
答案：A
二、填空题
6．若A＝10×9×…×5，则m＝_________________________.
解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6.
答案：6
7．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．
解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A＝8×7×6×5＝1 680(种)．
答案：1 680
8．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．
解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有，，，，，，共6个．
答案：12 6
三、解答题
9．求下列各式中n的值：
(1)90A＝A；
(2)AA＝42A.
解：(1)因为90A＝A，
所以90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)．
所以n2－5n＋6＝90.
所以(n－12)(n＋7)＝0.
解得n＝－7(舍去)或n＝12.
所以满足90A＝A的n的值为12.
(2)由AA＝42A，得·(n－4)！＝42(n－2)！.
所以n(n－1)＝42.
所以n2－n－42＝0.解得n＝－6(舍去)或n＝7.
10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)能被5整除的四位数有多少个？
(2)这些四位数中偶数有多少个？
解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有A种排法，其他位上有A种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A·A＝360(个)．
B级 能力提升
1．满足不等式＞12的n的最小值为( )
A．12 B．10 C．9 D．8
解析：由排列数公式得＞12，即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9.又n∈N*，所以n的最小值为10.
答案：B
2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种．
所以符合条件的直线有A＝30(条)．
答案：30
3．用1，2，3，4四个数字排成三位数(允许数字重复使用)，并把这些三位数从小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)求这个数列共有多少项．
解：(1)这个数列的前11项为：
111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成三位数的个数，每一数位都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．
§1．2．1排列
教学目标：
知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题
情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.
教学重点：排列、排列数的概念
教学难点：排列数公式的推导
授课类型：新授课
课时安排：2课时
内容分析：
分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础
分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.
教学过程：
一、复习引入：
1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法
2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事
应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制
二、讲解新课：
1、问题：
问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素
解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．
图 1.2一1
把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,
共有 3×2=6 种．
问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法
由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法
显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：
第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；
第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；
第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有
4×3×2=24
种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．
由此可写出所有的三位数：
123，124, 132, 134, 142, 143，
213，214, 231, 234, 241, 243，
312，314, 321, 324, 341, 342，
412，413, 421, 423, 431, 432 。
同样，问题 2 可以归结为：
从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同排列是
abc, abd, acb, acd, adb, adc,
bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,
cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,
dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
共有4×3×2=24种.
树形图如下
a b ｃ ｄ
ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ
2．排列的概念：
从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
3．排列数的定义：
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列
4．排列数公式及其推导：
由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴=
由此，求可以按依次填3个空位来考虑，∴=，
求以按依次填个空位来考虑，
排列数公式：
（）
说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数；
（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列
全排列数：（叫做n的阶乘）
另外，我们规定 0! =1 .
例1．用计算器计算： (1）； (2）; (3）.
解：用计算器可得：
由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，．那么，这个结果有没有一般性呢？即
.
排列数的另一个计算公式：
=.
即 =
例2．解方程：3．
解：由排列数公式得：，
∵，∴ ，即，
解得 或，∵，且，∴原方程的解为．
例3．解不等式：．
解：原不等式即，
也就是，化简得：，
解得或，又∵，且，
所以，原不等式的解集为．
例4．求证：（1）；（2）．
证明：（1），∴原式成立
（2）
右边
∴原式成立
说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中，且这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
（2）公式常用来求值，特别是均为已知时，公式=，常用来证明或化简
例5．化简：⑴；⑵
⑴解：原式
⑵提示：由，得，
原式
说明：．
例6．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是=14×13=182.
例7．(课本例3)．(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？
(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是
=5×4×3=60.
(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是
5×5×5=125.
例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．
例8．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题
解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是O，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9 这九个数字中任选 1 个，有种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有种选法（图1.2一 5) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有
=9×9×8=648（个） .
解法 2 ：如图1.2 一6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有
=648个．
解法 3 ：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中 O 在百位上的排列数是，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是
-=10×9×8-9×8=648.
对于例9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法 1 根据百位数字不能是。的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出 m (m≤n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．
1.1节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？
四、课堂练习：
1．若，则 （ ）
2．与不等的是 （ ）
3．若，则的值为 （ ）
4．计算： ； ．
5．若，则的解集是 ．
6．（1）已知，那么 ；
（2）已知，那么= ；
（3）已知，那么 ；
（4）已知，那么 ．
7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？
8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5.
6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24
巩固练习：书本20页１，２，３,4,5,6
课外作业：第27页 习题1.2 A组1 , 2 , 3,4,5
教学反思：
排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
补充例题
例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：，所以，共有60种不同的送法
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：，所以，共有125种不同的送法
说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算
例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有种；
第二类用2面旗表示的信号有种；
第三类用3面旗表示的信号有种，
由分类计数原理，所求的信号种数是：，
答：一共可以表示15种不同的信号
例3．将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从个不同元素中取出个元素排成一列，有种方法；
第二步：把位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有种方法，
利用分步计数原理即得分配方案的种数
解：由分步计数原理，分配方案共有（种） 答：共有576种不同的分配方案
例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法1：用分步计数原理：
所求的三位数的个数是：
解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有个，个位数字是0的三位数有个，十位数字是0的三位数有个，
由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：．
解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中以0为排头的排列数为，因此符合条件的三位数的个数是-．
说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏
例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列＝5040．
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720．
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；
第二步 余下的5名同学进行全排列有种，所以，共有=240种排列方法
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有＝2400种排列方法
解法2：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种．
说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑
例6.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
解法一：（从特殊位置考虑）；
解法二：（从特殊元素考虑）若选：；若不选：，
则共有种；
解法三：（间接法）
例7． 7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
解：方法同上，一共有＝720种
（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960种方法
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，
所以，丙不能站在排头和排尾的排法有种方法
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有＝960种方法．
（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起
解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：（种）
说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例8．7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法）；
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法．
（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝1440种．
说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
例9．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列
解：（1）先将男生排好，有种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有种排法
故本题的排法有（种）；
（2）方法1：；
方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法
故本题的结论为（种）
2007年高考题
1．（2007年天津卷）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 390 种（用数字作答）．
2．（2007年江苏卷）某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）
3．（2007年北京卷）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ Ｂ ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种
4．（2007年广东卷）图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为
（Ａ）１５ （Ｂ）１６ （Ｃ）１７ （Ｄ）１８
答案：B；
5．（2007年全国卷I）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
6．（2007年全国卷Ⅱ）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
7. （2007年陕西卷）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
8．（2007年四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
解析：选B．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有个；故共有个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．
9．（2007年重庆卷）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有____25_____种.（以数字作答）
10．（2007年宁夏卷）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 240 种．（用数字作答）
11．（2007年辽宁卷）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
解析：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；（2）再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作logab中的底数与真数．
A．①④ B．①②
C．④ D．①③④
【解析】 根据排列的概念知①④是排列问题．
【答案】 A
2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )
A．6个 B．10个
C．12个 D．16个
【解析】 符合题意的商有A＝4×3＝12.
【答案】 C
3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( )
A．8 B．12
C．16 D．24
【解析】 设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，
∴n＝12.
【答案】 B
4．(2018·日照高二检测)下列各式中与排列数A相等的是( )
A.
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.
D．AA
【解析】 A＝，
而AA＝n×＝，
∴AA＝A.
【答案】 D
5．不等式A－n<7的解集为( )
A．{n|－1C．{3,4} D．{4}
【解析】 由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1【答案】 C
二、填空题
6．集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．
【解析】 因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素．
【答案】 3
7．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)
①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；
②甲乙丙，乙丙甲；
③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；
④甲乙，甲丙，乙丙．
【解析】 这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．
【答案】 ③
8．如果A＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.
【解析】 15×14×13×12×11×10＝A，故n＝15，m＝6.
【答案】 15 6
三、解答题
9．下列问题中哪些是排列问题？
(1)5名学生中抽2名学生开会；
(2)5名学生中选2名做正、副组长；
(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；
(5)6位同学互通一次电话；
(6)6位同学互通一封信；
(7)以圆上的10个点为端点作弦；
(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．
【解】 (2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．
10．证明：A＋kA＝A.
【解】 左边＝＋k
＝
＝＝，
右边＝A＝，
所以A＋kA＝A.
[能力提升]
1．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．8 B．5 C．3 D．0
【解析】 因为当n≥5时，A的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又A＋A＋A＋A＝33.
【答案】 C
2．若a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )
A．A B．A C．A D．A
【解析】 A＝(27－a)(28－a)…(34－a)．
【答案】 D
3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种.
【解析】 司机、售票员各有A种安排方法，由分步乘法计数原理知共有AA种不同的安排方法．
【答案】 576
4．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？
【解】 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备30种不同的火车票．
教学目标
1.正确理解排列、组合的意义．
2.掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论方法的理解．
3.发展学生的抽象能力和逻辑思维能力．
教学重点与难点
重点：正确理解两个原理（加法原理、乘法原理）以及排列、组合的概念．
难点：区别排列与组合．
教学过程设计
师：上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习：
（用投影仪出示）
1.书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．
（1）从中任取1本，有多少种取法?
（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法?
2.某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的上
地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区?
（全体同学参加笔试练习．）
4分钟后，找一同学谈解答和怎样思考的?
生：第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，
可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40＝90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学
书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50×40＝2 000．第2题说，共有A，B，C三种优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5＝15个实验小区．
师：学习了两个基本原理之后，继续学习排列和组合，什么是排列?什么是组合?这两个问题
有什么区别和联系?这是我们讨论的重点．先从实例入手：
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票?
希望同学们设计好方案，踊跃发言．
生甲：首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若
起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京
或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2＝6种飞机票．
师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题．能不能用乘法原理来设计方案呢?
生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、
广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点
站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站
在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2＝6种．
师：根据生乙的分析写出所有种飞机票．
生丙：（板演）
在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如
有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以
表示出多少种不同的信号?
请同学们谈谈自己的想法．
生丁：事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的
同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、红这三面旗子的所有不同顺序的排法总
数．
首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；
其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中
去取，有2种方法．
乘下那面旗子，放在最低位置． [来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]
根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：
3×2×1＝6（种）．
师：根据生丁同学的分析，写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情
况）
生戊：（板演）
师：第三个实例，请全体同学都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．
由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?写出这些所有的三位数．
（教师在教室巡视，过3分钟找一个同学板演）
根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有
4×3×2＝24（个）．
师：请板演同学谈谈怎样想的?
生：第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．
第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数
字去取，有3种方法．
第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下
的两个数字中去取，有2种方法．
根据乘法原理，所以共有4×3×2＝24种．
师：以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方?
生：都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．
师：取出的这些研究对象又做些什么?
生：实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．
师：请大家看书，第×页、第×行．我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站
、旗子、数字都是元素．
上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．第三个问题呢?
生：从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．
师：请看课本，第×页，第×行，一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列?什么是不同的排列?
生：从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两上排列的元素必须完全相同，而且排
列的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不
同的排列．
如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两上排列，第三个问题中，213与423也是两个排列．
再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问
题中231和213虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列．
师：还需要搞清楚一个问题，“一个排列”是不是一个数?
生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一
个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列．如果问飞机票有多少种?能表示出多少种
信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上
也是这样的．
师：下面我们进一步讨论：
1.在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价与准备多少种
不同的飞机票，有什么区别?
2.某班某小组五名同学在暑假互相都通信一次，打电话一次，通信的封数与打电话的次数是
否一致?
3.有四个质数2，3，5，7两两分别作加法、减法、乘法、除法，所得到的和、差、积、商是
否相同?
生A：我回答第1个问题．前边已经讨论过有要准备6种飞机票，但票价只有三种，北京—上海与上海—北京，北京—广州与广州—北京，上海—广州与广州—上海票价是一样的，共有3种票价．
生B：我回答第2个问题．举个例子，张玉同学给李刚同学写信，李刚同学给张玉同学写信，
这样两封信才算彼此通一次信．而两人通一次电话，无论是张玉打给李刚的，还是李刚打给
张玉的，两个人都同时参与了，彼此通了一次电话．
师：那么通了多少封信?打了多少次电话?
生C：五个人都要给其他四位同学写信，5×4＝20封．关于打电话次数，我现在数一数：设
五名同学的代号是a，b，c，d，e．则a—b，a—c，a—d，a—e，b—e，b—d，b—e，c—d
，c—e，d—e．共十次．
生D：我回答第3个问题．减法与除法所得的差和商个数是同一个数，因为被减数与减数，被除数与除数交换位置所得的差与商是不同的．加法与乘法所得的和与积个数是同一个数，根据加法、乘法交换律，被加数与加数，被乘数与乘数交换位置，和与积不受影响．
师：有多少个差与商?有多少个和与积?
生E：2，3，5，7都可以做被减数和被除数，对于每一个被减数（或被除数）都对应着有3个数作减数（或除数），共有4×3＝12个差或商．把交换位置的情况除去，就是和或积的数字，即12÷2＝6．
师：以上三个问题六件事，有什么共同点?再按类分，类与类之间有什么区别?区别在哪里?
生：都是从一些元素中，任取某些元素的问题．
可以分两类．一类属于前边学过的排列问题，即取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”
，只要交换位置，就是不同的排列．前边三个问题中的飞机票、通信封数、减法与除法运算
的结果都属于这一类．另一类是取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的
情况，如飞机票价，打电话次数、加法与乘法运算的结果都属于这一类．
师：分析得很好，我们说后一类问题是从n个元素中任取m（m≤n）个元素，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少种不同的组．如以上三个问题中飞机票价题是3组，打电话次数题是10组，和与积的个数题都是6组．
请同学们看课本，第×页第×行开始到第×页第×行结束．
（用5分钟时间学生读课本，教师巡视，回答学生提出的问题）
师：组合这一节讲的主要内容是什么?
生：组合定义；什么是相同的组合，什么是不同的组合；排列与组合的区别；怎样写出某个
组合问题的所有组合．
师：现在请同学们回答这四个问题．每位同学只说一个问题．
生F：组合定义是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
生G：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有
当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
生H：排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合．
生I：我举个例子．前边生C同学提到的a，b，c，d，e这五个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．
先把a从左到右依次与b，c，d，e组合，写出ab，ac，ad，ae．再把B依次与c，d，e组合，写出bc，bd，be．再把c依次与d，e组合，写出cd，ce．最后d与e组合，写出de．前面生C面学已经写得很好．
师：一定要认真体会排列与组合的区别在于顺序是否有关，在以后的各种实际应用题中要区
别清楚才能寻找正确解题途径．
和排列一样，还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念．一个组合不是一个
数，而是具体的一件事，刚才生I同学回答的每一种如ab，又如ac，…都叫一个组合，共10种，而10就是组合数．
怎样写出所有的排列和所有的组合是本节的技能方面要求，现在请同学们写出由1，2，3，4
中取出3个数所有组合．
（教师请生M到黑板板演）
板演：
123，124，134，234．
师：最后希望大家思考，下面的问题是排列问题，还是组合问题?怎样解?
1.今欲从1，2，3，8，9，10，12诸数中选取两数，使其和为偶数，问共有几种选法?
2.有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把
卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多
少种放法?
（两道题用投影仪示出）
同学们独立思考几分钟，然后全班进行讨论，请思考成熟的同学发言．
生n：我谈第1题．要求出用两个数码所组成的其和为偶数的数的个数，这时按两奇数的和为偶数与两偶数的和为偶数这一标准，进行分类．选出的两数不考虑顺序，因为交换位置其和不变，是组合问题．解法是：
在1，3，9中任选两段：1，3；1，9；3，9有3个组合．
在2，8，10，12中任选两数：2，8；2，10；2，12；8，10；8，12；10，12．有6个组合．
根据加法原理，3+6＝9．
所以共有9种选法．
生P：我谈第2题．这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，
就是不同的放法，是个附有条件的排列问题．解法是：
第一步是把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．
第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．
第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．
第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，我用下面图表表示：
所以，共有9种放法．
师：参加讨论的同学对于什么是排列，什么是组合?一个排列与排列种数，一个组合与组合
种数区别是什么?怎样排列，怎样组合都比较清楚了．由于排列组合问题遇到的情况不是唯
一的，经常使用分类讨论的方法．
作业
课本：P232练习，1，7；P243练习1，2，3，4，6． [来源:www.shulihua.net]
补充作业
1.空间有五个点，其中任何四点不共面，以每四个点为顶点作一个四面体，一共可作多少
个四面体?（5个）
2.用0，2，3，5可以组成多少个数字不重复且被5整除的三位数?（10个）
3.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张
贺年卡不同的分配方式有多少种?（9种）
课堂教学设计说明
1.温故才能知新，为了培养学生良好的学习习惯，学习新课前进行了复习练习．
2.为了更深刻地理解排列组合概念，设计教案时采取了两项有效措施．
（1）先给出排列、组合的感性认识，再抽象出排列、组合定义，利于学生抽象能力的培养
，并能激发学生的学习兴趣，积极参加学习过程中来．
（2）改变了教材的安排，把排列与组合的概念放在同一节课，既节约了课时又通过对比，
更深刻理解排列与组合概念本质，掌握它们的共同点与不同点．
3.教案设计中注意了学生主体参与，通过学生实践，掌握概念的形成过程和应用，从而培养
能力，并注意训练学生的自学能力．
??
高考资源网[来源:www.shulihua.net]
w。w-w*k&s%5￥u
www.shulihua.net
w。w-w*k&s%5￥u[来源:数理化网]
课件42张PPT。1．2 排列与组合
1．2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式自主学习 新知突破1．理解并掌握排列的概念．
2．理解并掌握排列数公式．
3．能利用排列数公式进行求值和证明．要从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
[提示] 从3名同学中选1名参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，可以看成是先选1名同学参加上午的活动，再选1名同学参加下午的活动这两个步骤完成，先选1名同学参加上午的活动，共有3种选法；再选1名同学参加下午的活动，共有2种选法，∴完成这件事共有3×2＝6种选法． 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照___________________________排成一列，叫做_______________________________________的一个排列．排列的定义一定的顺序从n个不同元素中取出m个元素排列数所有不同排列的个数 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n！ 1 对排列概念的理解
(1)我们把问题中被取的对象叫做元素．
(2)排列的定义中包含两个基本内容：一是“提取元素”；二是“按一定的顺序排列”．因此，排列要完成“一件事情”是“取出m个元素，再按顺序排列”．
(3)若干个元素按照一定顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，即当且仅当两个排列的元素和顺序都相同时才是同一个排列．
(4)研究排列问题时，要特别注意，排列是从一些不同元素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重复抽取同一元素的情况．1．我体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( )
A．6种 B．30种
C．360种 D．A种
解析： 问题为6选5的排列即A.
答案： D
3．下列问题是排列问题的是________．
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，有多少种不同的结果；
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，有多少种不同的结果．答案： (2)4．写出从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列．
解析： 画出树形图如图所示：
因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.合作探究 课堂互动有关排列的概念 下列哪些问题是排列问题：
(1)从10名学生中抽2名学生开会；
(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；
(3)以圆上的10个点为端点作弦；
(4)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？
[思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是：选出的元素在被安排时，是否与顺序有关． (1)2名同学开会没有顺序，不是排列问题；
(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题；
(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题；
(4)显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关，是排列问题；
(5)飞机票使用时，有起点和终点之分，故飞机票的使用是有顺序的，是排列问题；
(6)焦点在y轴上的椭圆，方程中的a，b必有a＞b，a，b的大小一定，不是排列问题．
[规律方法] 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一步取出的元素无重复性，第二步选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是不是排列的关键．1．判断下列问题是否为排列问题．
(1)选2个小组分别去种树和种菜；
(2)选5个小组去种花；
(3)选10人组成一个学习小组；
(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．
解析： (1)种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；
(2)，(3)不存在顺序问题，不属于排列问题；
(4)中每个人的职务不同，如甲可能当班长，还是当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．树形图法在解决简单排列问题中的应用 从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；
(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．[思路点拨] (1)组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数.
4分 画出下列树形图：
7分
由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321. 8分 [规律方法] “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．2．四人A，B，C，D坐成一排，其中A不坐在排头，写出所有的坐法．
解析： 表示所有坐法的树形图如下：
由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.有关排列数的计算◎从1,2,3,4,7,9这六个数中任取两个数分别作为一个对数的底数与真数，可组成多少个不同的对数值？
【错解】 符合条件的对数值可分为两类：
第1类，若1为真数，而2,3,4,7,9中任何一个为底数，得的对数值均为零，仅1个；
第2类，若2,3,4,7,9中任何一个为真数，而不能作底数，其底在余下的4个数中选1个，共有不同的对数值5×4＝20(个)．
综上，共有21个不同的对数值．
[提示] 审题不细，重复计算．忽略了对数值相同的情况：log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94.解决此类问题要做到：审题细致，避免重复、遗漏；对数性质loganbn＝logab(a＞0，a≠1，b＞0，n∈N*)．
【正解】 分两类：第1类，1作为真数时值为0，仅1个；
第2类，对数的底与真数是从2,3,4,7,9中任取2个的排列有A＝5×4＝20(个)，共20＋1＝21(个)．
但底数和真数都不相同而对数值相同的有log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，故共有21－4＝17个不同的对数值.谢谢观看！
