高中数学(人教版A版选修2-3)配套课件(2份)、教案、学案、同步练习题,补习复习资料:1.2.2 第一课时 组合与组合数公式

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名称 高中数学(人教版A版选修2-3)配套课件(2份)、教案、学案、同步练习题,补习复习资料:1.2.2 第一课时 组合与组合数公式
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2019-08-13 15:48:05

文档简介

课件34张PPT。第一章1.2
1.2.2
第一课时
组合与组合数公式2 突破常考题型题型一题型二题型三3 跨越高分障碍4 应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二1 理解教材新知[提出问题]组合与组合数   提示:不相同.
  问题2:它们是排列吗?
  提示:从1,3,5,7中任取两个数相除是排列,而相乘不是排列.[导入新知]不同 n个不同元素中取出m个元素 合成一组所有不同组合的个数  [化解疑难]
  1.取出的m个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组合的本质.
  2.只要两组合中的元素完全相同,则无论元素的顺序如何,都是相同的组合.[提出问题]组合数公式 [导入新知]1 组合的有关概念 与组合数有关的计算 简单的组合问题 [易错防范]答案:D 答案:A第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.2 组合
第1课时 组合与组合数公式
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线,则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为(  )
A.3     B.4     C.12     D.24
解析:C=C=4.
答案:B
2.集合A={x|x=C,n是非负整数},集合B={1,2,3,4},则下列结论正确的是(  )
A.A∪B={0,1,2,3,4} B.B A
C.A∩B={1,4} D.A?B
解析:依题意,C中,n可取的值为1,2,3,4,所以A={1,4,6},所以A∩B={1,4}.
答案:C
3.下列各式中与组合数C(n≠m)相等的是(  )
A.C B.C
C.C D.
解析:因为C=·=,所以选项B正确.
答案:B
4.C+C+C+…+C=(  )
A.C B.C C.C D.C
解析:原式=C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=…=C+C=C.
答案:C
5.5个代表分4张同样的参观券,每人最多分一张,且全部分完,那么分法一共有(  )
A.A种 B.45种 C.54种 D. C种
解析:由于4张同样的参观券分给5个代表,每人最多分一张,从5个代表中选4个即可满足,故有C种.
答案:D
二、填空题
6.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有________种(用数字作答).
解析:第一步安排周六有C种方法,第二步安排周日有C种方法,所以不同的安排方案共有CC=140(种).
答案:140
7.按ABO血型系统学说,每个人的血型为A、B、O、AB四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时,子女一定不是O型,若某人的血型为O型,则父母血型所有可能情况有________种.
解析:父母应为A、B或O,CC=9(种).
答案:9
8.从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A,从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B,若=,则这组学生共有________人.
解析:设有学生n人,则=,解之得n=15.
答案:15
三、解答题
9.解不等式:2C<3C.
解:因为2C<3C,
所以2C<3C.
所以<3×.
所以<,解得x<.
因为,所以x≥2.
所以2≤x<.又x∈N*,所以x的值为2,3,4,5.
所以不等式的解集为{2,3,4,5}.
10.平面内有10个点,其中任何3个点不共线.
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条?
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条?
(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个?
解:(1)所求线段的条数,即为从10个元素中任取2个元素的组合,共有C==45(条),即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条.
(2)所求有向线段的条数,即为从10个元素中任取2个元素的排列,共有A=10×9=90(条),即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条.
(3)所求三角形的个数,即从10个元素中任选3个元素的组合数,共有C==120(个).
B级 能力提升
1.某研究性学习小组有4名男生和4名女生,一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加,其中至少一名女生,则不同的选法种数为(  )
A.120 B.84 C.52 D.48
解析:用间接法可求得选法共有C-C=52(种).
答案:C
2.A,B两地街道如图所示,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有________种(用数字作答).
解析:根据题意,要求从A地到B地路程最短,必须只向上或向右行走即可,分析可得,需要向上走2次,向右走3次,共5次,从5次中选3次向右,剩下2次向上即可,则不同的走法有C=10(种).
答案:10
3.现有5名男司机,4名女司机,需选派5人运货到某市.
(1)如果派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法?
(2)至少有两名男司机,共有多少种不同的选派方法?
解:(1)从5名男司机中选派3名,有C种方法,
从4名男司机中选派2名,有C种方法,
根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为
CC=CC=×=60(种).
(2)分四类:
第一类,选派2名男司机,3名女司机的方法有CC=
40(种);
第二类,选派3名男司机,2名女司机的方法有CC=
60(种);
第三类,选派4名男司机,1名女司机的方法有CC=
20(种);
第四类,选派5名男司机,不派女司机的方法有CC=
1(种).
所以选派方法共有40+60+20+1=121(种).
§1.2.2组合
教学目标:
知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数与组合数 之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。
教学重点:组合的概念和组合数公式
教学难点:组合的概念和组合数公式
授课类型:新授课
课时安排:2课时
内容分析:
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题,与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系.
指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学的真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通. 能列举出某种方法时,让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别. 学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题. ?排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察,有些同学之所以学习中感到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高.
教学过程:
一、复习引入:
1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法,……,在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法
2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法,那么完成这件事有 种不同的方法
3.排列的概念:从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
4.排列数的定义:从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示
5.排列数公式:()
6阶乘:表示正整数1到的连乘积,叫做的阶乘规定.
7.排列数的另一个计算公式:=
8.提出问题:
示例1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
示例2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?
引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的引出课题:组合.
二、讲解新课:
1组合的概念:一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
例1.判断下列问题是组合还是排列
(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?
(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?
(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?
(4)10个人互相通信一次,共写了多少封信?
(5)10个人互通电话一次,共多少个电话?
问题:(1)1、2、3和3、1、2是相同的组合吗?
(2)什么样的两个组合就叫相同的组合
2.组合数的概念:从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.
3.组合数公式的推导:
(1)从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢?
启发:由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得,故我们可以考察一下和的关系,如下:
组 合 排列

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有种方法.由分步计数原理得:=,所以,.
(2)推广:一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步:
① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数;
② 求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:=.
(3)组合数的公式:

规定: .
三、讲解范例:
例2.用计算器计算.
解:由计算器可得

例3.计算:(1); (2);
(1)解: =35;
(2)解法1:=120.
解法2:=120.
例4.求证:.
证明:∵



例5.设 求的值
解:由题意可得: ,解得,
∵, ∴或或,
当时原式值为7;当时原式值为7;当时原式值为11.
∴所求值为4或7或11.
例6. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
分析:对于(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题.
解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C }手= 12 376 (种) .
(2)教练员可以分两步完成这件事情:
第1步,从17名学员中选出 n 人组成上场小组,共有种选法;
第2步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有种选法.
所以教练员做这件事情的方法数有
=136136(种).
例7.(1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条?
(2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?
解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即线段共有
(条).
(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段共有
(条).
例8.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1)有多少种不同的抽法?
(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?
解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有
= 161700 (种).
(2)从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有
=9506(种).
(3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,包括有1件次品和有 2 件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有种,因此根据分类加法计数原理,抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有
+=9 604 (种) .
解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数,即
=161 700-152 096 = 9 604 (种).
说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。
变式:按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?
(1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选;
(3)甲必须当选,乙、丙不能当选; (4)甲、乙、丙三人只有一人当选;
(5)甲、乙、丙三人至多2人当选; (6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
例9.(1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法?
解:.
(2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1名女生参加,有多少种选法?
解:问题可以分成2类:
第一类 2名男生和2名女生参加,有中选法;
第二类 3名男生和1名女生参加,有中选法
依据分类计数原理,共有100种选法
错解:种选法引导学生用直接法检验,可知重复的很多
例10.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?
解法一:(直接法)小组构成有三种情形:3男,2男1女,1男2女,分别有,,,
所以,一共有++=100种方法.
解法二:(间接法)
四、组合数的两个性质
组合数的性质1:.
一般地,从n个不同元素中取出个元素后,剩下个元素.因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的n ( m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n ( m个元素的组合数,即:.在这里,主要体现:“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明:∵
又 ,∴
说明:①规定:;
②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标;
③此性质作用:当时,计算可变为计算,能够使运算简化.
例如===2002;
④或.
2.组合数的性质2:=+.
一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类:一类含有元素,一类不含有.含有的组合是从这n个元素中取出m (1个元素与组成的,共有个;不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想.
证明:

∴=+.
说明:①公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数;
②此性质的作用:恒等变形,简化运算
例11.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球,
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
解:(1),或,;(2);(3).
例12.(1)计算:;
(2)求证:=++.
解:(1)原式;
证明:(2)右边左边
例13.解方程:(1);(2)解方程:.
解:(1)由原方程得或,∴或,
又由得且,∴原方程的解为或
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.
(2)原方程可化为,即,∴,
∴,
∴,解得或,
经检验:是原方程的解
例14.证明:。
证明:原式左端可看成一个班有个同学,从中选出个同学组成兴趣小组,在选出的个同学中,个同学参加数学兴趣小组,余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组,在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。
例15.证明:…(其中)。
证明:设某班有个男同学、个女同学,从中选出个同学组成兴趣小组,可分为类:男同学0个,1个,…,个,则女同学分别为个,个,…,0个,共有选法数为…。又由组合定义知选法数为,故等式成立。
例16.证明:…。
证明:左边=…=…,
其中可表示先在个元素里选个,再从个元素里选一个的组合数。设某班有个同学,选出若干人(至少1人)组成兴趣小组,并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数分类(…),则选法总数即为原式左边。现换一种选法,先选组长,有种选法,再决定剩下的人是否参加,每人都有两种可能,所以组员的选法有种,所以选法总数为种。显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。
例17.证明:…。
证明:由于可表示先在个元素里选个,再从个元素里选两个(可重复)的组合数,所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上,再指定一人为副组长(可兼职)的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人,则有种选法;若组长和副组长不是同一个人,则有种选法。∴共有+种选法。显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。
例18.第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加,他们先分成8个小组循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级16强),这支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠亚军,此外还要决出第三、四名,问这次世界杯总共将进行多少场比赛?
答案是:,这题如果作为习题课应如何分析
解:可分为如下几类比赛:
⑴小组循环赛:每组有6场,8个小组共有48场;
⑵八分之一淘汰赛:8个小组的第一、二名组成16强,根据抽签规则,每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;
⑶四分之一淘汰赛:根据抽签规则,8强中每两个队比赛一场,可以决出4强,共有4场;
⑷半决赛:根据抽签规则,4强中每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;
⑸决赛:2强比赛1场确定冠亚军,4强中的另两队比赛1场决出第三、四名 共有2场.
综上,共有场
五、课堂练习:
1.判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题:
(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?
(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
2.名同学进行乒乓球擂台赛,决出新的擂主,则共需进行的比赛场数为( )
. . . .
3.如果把两条异面直线看作“一对”,则在五棱锥的棱所在的直线中,异面直线有( )
.对 .对 .对 .对
4.设全集,集合、是的子集,若有个元素,有个元素,且,求集合、,则本题的解的个数为 ( )
. . . .
5.从位候选人中选出人分别担任班长和团支部书记,有 种不同的选法
6.从位同学中选出人去参加座谈会,有 种不同的选法
7.圆上有10个点:
(1)过每2个点画一条弦,一共可画 条弦;
(2)过每3个点画一个圆内接三角形,一共可画 个圆内接三角形
8.(1)凸五边形有 条对角线;(2)凸五边形有 条对角线
9.计算:(1);(2).
10.个足球队进行单循环比赛,(1)共需比赛多少场?(2)若各队的得分互不相同,则冠、亚军的可能情况共有多少种?
11.空间有10个点,其中任何4点不共面,(1)过每3个点作一个平面,一共可作多少个平面?(2)以每4个点为顶点作一个四面体,一共可作多少个四面体?
12.壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张,一共可以组成多少种币值?
13.写出从这个元素中每次取出个的所有不同的组合
答案:1. (1)组合, (2)排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15
7. (1)45 (2) 120 8. (1)5(2)
9. ⑴455; ⑵ 10. ⑴10; ⑵20
11. ⑴; ⑵
12.
13. ; ; ; ;
六、小结 :组合的意义与组合数公式;解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理
学生探究过程:(完成如下表格)
名称内容
分类原理
分步原理
定 义
?
相同点
?
不同点
?
名 称
排 列
组 合
定义
?
种数
?
符号
?
?
计算
公式
?
关系
?
性质
?

七、课后作业:
八、板书设计(略)
九、教学反思:
排列组合问题联系实际生动有趣,题型多样新颖且贴近生活,解法灵活独到但不易掌握,许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施,尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时,可考虑换位思考将其等价转化,使问题变得简单、明朗。
教科书在研究组合数的两个性质①,②时,给出了组合数定义的解释证明,即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法,由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧,把枯燥的公式还原为有趣的实例,能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。
教学反思:
1注意区别“恰好”与“至少”
从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种
2特殊元素(或位置)优先安排
将5列车停在5条不同的轨道上,其中a列车不停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有种
3“相邻”用“捆绑”,“不邻”就“插空”
七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲、乙都不与丙相邻,则不同的排法有多少种
4、混合问题,先“组”后“排”
对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能?
5、分清排列、组合、等分的算法区别
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?
(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?
6、分类组合,隔板处理
从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
学业分层测评
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.以下四个命题,属于组合问题的是(  )
A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
【解析】 从100位幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题.
【答案】 C
2.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为(  )
A.4    B.8   
C.28    D.64
【解析】 由于“村村通”公路的修建,是组合问题.故共需要建C=28条公路.
【答案】 C
3.组合数C(n>r≥1,n,r∈N)恒等于(  )
A.C B.(n+1)(r+1)C
C.nrC D.C
【解析】 C=·==C.
【答案】 D
4.满足方程Cx2-x16=C的x值为(  )
A.1,3,5,-7 B.1,3
C.1,3,5 D.3,5
【解析】 依题意,有x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16,解得x=1或x=5;x=-7或x=3,经检验知,只有x=1或x=3符合题意.
【答案】 B
5.异面直线a,b上分别有4个点和5个点,由这9个点可以确定的平面个数是(  )
A.20 B.9
C.C D.CC+CC
【解析】 分两类:第1类,在直线a上任取一点,与直线b可确定C个平面;第2类,在直线b上任取一点,与直线a可确定C个平面.故可确定C+C=9个不同的平面.
【答案】 B
二、填空题
6.C+C+C+…+C的值等于________.
【解析】 原式=C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C=C=C=7 315.
【答案】 7 315
7.设集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A中含有3个元素的子集共有________个.
【解析】 从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集,则共有C=10个子集.
【答案】 10
8.10个人分成甲、乙两组,甲组4人,乙组6人,则不同的分组种数为________.(用数字作答)
【解析】 从10人中任选出4人作为甲组,则剩下的人即为乙组,这是组合问题,共有C=210种分法.
【答案】 210
三、解答题
9.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数,则可以得到多少个不同的这样的最小三位数?
【解】 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数,相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合,故所有不同的最小三位数共有C==20个.
10.(1)求式子-=中的x;
(2)解不等式C>3C.
【解】 (1)原式可化为:-=,∵0≤x≤5,∴x2-23x+42=0,
∴x=21(舍去)或x=2,即x=2为原方程的解.
(2)由>,
得>,∴m>27-3m,
∴m>=7-.
又∵0≤m-1≤8,且0≤m≤8,m∈N,
即7≤m≤8,∴m=7或8.
[能力提升]
1.已知圆上有9个点,每两点连一线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有(  )
A.36个    B.72个   C.63个    D.126个
【解析】 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点为C=126个.
【答案】 D
2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型和乙型电视机各1台,则不同的取法共有(  )
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
【解析】 可分两类:第一类,甲型1台、乙型2台,有C·C=4×10=40(种)取法,第二类,甲型2台、乙型1台,有C·C=6×5=30(种)取法,共有70种不同的取法.
【答案】 C
3.对所有满足1≤m【解析】 ∵1≤m【答案】 6
4.证明:C=C.
【证明】 C=·
==C.
《排列与组合》教学设计
教学内容背景材料:
义务教育课程标准实验教科书(人教版)二年级上册第八单元的排列与组合
教学目标:[来源:www.shulihua.net]
1、通过观察、猜测、操作等活动,找出最简单的事物的排列数和组合数。
2、经历探索简单事物排列与组合规律的过程。
3、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。
4、感受数学与生活的紧密联系,激发学生学好数学的信心。
教学重点:经历探索简单事物排列与组合规律的过程
教学难点:初步理解简单事物排列与组合的不同
教具准备:教学课件
学具准备:每生准备3张数字卡片,学具袋
教学过程:
步骤
师生活动
修改意见
设计意图

(一)
创设问题情境:
师:森林学校的数学课上,猴博士出了这样一道题(课件出示)用数字1、2能写出几个两位数?问题刚说完小动物们都纷纷举手说能写成两个数:12、21。接着猴博士又加上了一个数字3,问:“用数字1、2、3能写出几个两位数呢?”小猪站起来说能写成3个,小熊说5个,小狗说7个,到底能写出几个呢?
?
用学生感兴趣的童话故事引入,易于激发起学生探究的兴趣,同时也向学生渗透助人为乐的品德教育。
(二)
1.
自主合作探索新知
试一试
师:请同学们也试着写一写,如果你觉得直接写有困难的话可以借助手中的数字卡片摆一摆。
学生活动教师巡视。(学生所写的个数可能不一样,有多有少,找几份重复的或个数少的展示。)
?
引导学生根据自己的实际情况选择不同的方法探究新知,体现了不同的孩子用不同的方式学习数学这一新的教学理念,易于吸引不同层次的学生积极主动的参与到活动中来。
2.[来源:www.shulihua.net]
发现问题
学生汇报所写个数,教师根据巡视的情况重点展示几份,引导学生发现问题:有的重复写了,有的漏写了。
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?
引导学生发现写数过程中出现的问题,并就此展开讨论、交流,遵循了学生的认知特点。学生在交流的过程中体验到解决问题方法的多样性,并根据自己的实际选择不同的方法,尊重了学生的主体地位。在此过程中学生收获的不仅是知识本身,更多的是能力、情感。
3.[来源:www.shulihua.net数理化网][来源:www.shulihua.net]
小组讨论
师:每个同学写出的个数不同,怎样才能很快写出所有的用数字1、2、3组成的两位数,并做到不重复不遗漏呢?
学生以小组为单位交流讨论。
?
4.
小组汇报
汇报时可能会出现下面几种情况:
1、无序的。
2、先写出1在十位上的有12、13;再写出2在十位上的有21、23;再写出3在十位上的有31、32。
3、用数字1、2能写出12、21;用数字2、3能写出23、32;用数字1、3能写出13、31。
引导学生及时评价每一种方法的优缺点,使其把适合自己的方法掌握起来。
?
5.
小结
教师简单小结学生所想方法引出练习内容。
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(三)
拓展应用
1、??? 数字2、3、4、5、出个两位数?写完交流。(或者也可用这样一道题:用△○□能摆成6种排法,例如:□○△
?
请你试着摆出其他几种排法。
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学习的目的是为了应用,让学生自主的选择方法进行练习,有利于培养学生的自主学习的能力。
二、
(一)
组合
故事引入
师:下课了小狗、小熊、小猪做“找朋友”的游戏,好朋友见面之后要握握手,每两只小动物握一次手,小狗、小熊、小猪一共握几次手?怎样握?
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用同一条故事主线贯穿整节课的始终,以问题串的形式展开全课,能让学生始终保持浓厚的学习兴趣,充分体验到数学与生活的联系。
(二)
探索新知
学生在充分独立思考的基础上展开小组交流,并3人一组亲身实践一下。
汇报思考的过程。
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?

比较
师:刚才我们帮森林学校的小动物们解决了用数字1、2、3能写几个两位数;3只小动物每两个握一次手共握几次手的问题,森林学校的小动物们直夸同学们聪明呢!通过解决这两个问题你发现了什么?
生可能说用3个数字能写出6个两位数,3只小动物每两人握一次手共握3次。
引导学生明确排列与顺序有关而组合与顺序无关。两只小动物握一次手个?
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通过比较明确两种问题的同与不同,便于建立起清晰的知识结构,进一步深化学生的认识。

1.
拓展应用
小狗要参加学校的时装表演,妈妈为它准备了4件衣服(课件出示2件上衣、2件裤子的图片),请你帮小狗设计一下共有多少种穿法。如果需要的话可以用学具摆一摆。
交流想法。
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在儿童的生活经验里积累了一些搭配衣服,购物花钱的知识经验,所以学生乐于参与。
2.
完成课本99页的第2题
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课堂总结
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课件39张PPT。1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式自主学习 新知突破1.理解组合与组合数的概念.
2.会推导组合数公式,并会应用公式求值.
3.了解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.①从全班50人中选出7人组成班委会;
②从全班50人中选出7人分别担任班委中的7个不同的职务;
③从1,2,5,11,19这五个数中取出两个数可得多少个不同的真分数;
④从1,2,5,11,19这五个数中取出两个数可得多少个不同的差.
(1)上面问题中是排列问题的是________.
(2)①③的共同特征是什么?
[提示] (1)①与顺序无关不是排列问题,②④选取元素不同且与顺序有关是排列问题.③中任取出的两个数是不等的,只能确定唯一一个真分数,与顺序无关,不是排列问题.
(2)取出的元素不同且无需排序一般地,从n个________元素中_____________________ ____________________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合不同取出m(m≤n)个元素合成一组组合概念的理解
(1)组合的定义中包含两个基本内容:一是“提取元素”;二是“合成一组”,因此,组合要完成“一件事件”是“取出m个元素后再不管顺序地并成一组”.
(2)同排列的要求一样,组合也要求n个元素是不同的,被取出的m个元素也互不相同.
(3)只要两个组合中的元素完全相同,则无论元素的顺序如何,都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合. 1.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________________,叫做从n个不同元素中取出m个元素
的组合数.用符号__________表示.组合数所有不同组合的个数1 1.下面几个问题中属于组合问题的是(  )
①由1,2,3,4构成的双元素集合;②5个队进行单循环足球比赛的分组情况;③由1,2,3构成两位数的方法;④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法.
A.①③      B.②④
C.①② D.①②④
解析: ①②取出元素与顺序无关,③④取出元素与顺序有关.
答案: C解析: 当x=3x-8时,解得x=4;当28-x=3x-8时,解得x=9.
答案: A3.按ABO血型系统学说,每个人的血型为A,B,O,AB四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时,子女一定不是O型,若某人的血型为O型,则父母血型所有可能情况有________种.
4.判断下列各事件是排列问题,还是组合问题.
(1)10个人相互各写一封信,共写多少封信?
(2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话?
(3)10支球队进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能?
(4)从10个人中选3个代表去开会,有多少种选法?
(5)从10个人里选出3个不同学科的代表,有多少种选法?解析: (1)是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的.
(2)是组合问题.因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序的区别.
(3)是排列问题.因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的,是有顺序区别的.
(4)是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别.
(5)是排列问题.因为3个人中,担任哪一科的代表是有顺序区别的.合作探究 课堂互动组合的有关概念 判断下列问题是组合问题还是排列问题:
(1)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?
(2)10名同学分成人数相同的两个学习小组,共有多少种分法?(3)从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和共有多少个?
(4)从a,b,c,d四名学生中选2名,去完成同一件工作,有多少种不同的选法?
[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题,只要确定取出的这些元素是否与顺序有关.  (1)两人之间相互握手,与顺序无关,故是组合问题;
(2)分成的两个学习小组没有顺序,是组合问题;
(3)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组合问题;
(4)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. [规律方法] 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.1.判断下列问题是组合问题还是排列问题.并用组合数或排列数表示出来.
(1)8人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件?
(2)10支球队以单循环制进行比赛,共需要进行多少场比赛?
(3)10支球队主客场制进行比赛,共需要进行多少场比赛?
(4)有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,不同的选法种数是多少?写出问题的组合 (1)已知a,b,c,d这4个元素,写出每次取出2个元素的所有组合;
(2)已知A,B,C,D,E这5个元素,写出每次取出3个元素的所有组合.
[思路点拨] 先将元素按一定顺序写出,然后按照顺序用图示的方法逐步写出各个组合即可. [规律方法] 1.此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合,可借助本例所示的“顺序后移法”(如方法一)或“树形图法”(如方法二),直观地写出组合做到不重复不遗漏.
2.由于组合与顺序无关.故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进,且写出的一个组合不可交换位置.如写出ab后,不必再交换位置为ba,因为它们是同一组合.画“树形图”时,应注意顶层及下枝的排列思路.防止重复或遗漏.2.从5个不同元素a,b,c,d,e中取出2个,共有多少种不同的组合?有关组合数的计算答案: (1)66 (2)466谢谢观看!