课件38张PPT。第一章1.3
1.3.1
二项式定理2 突破常考题型题型一题型二题型三3 跨越高分障碍4 应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点1 理解教材新知[提出问题][导入新知]二项式定理的正用、逆用 求二项展开式中的特定项 求二项式系数与项的系数 答案：D 答案：A 答案：35答案：D第一章 计数原理
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
解析：原式＝(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
答案：D
2．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
解析：Tr＋1＝Cx·x－＝C·x12－r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．
答案：C
3．若的展开式中第四项为常数项，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：由二项展开式可得Tr＋1＝C()n－r＝(－1)r2－rCx·x－，从而T4＝T3＋1＝(－1)32－3Cx，由题意可知＝0，n＝5.
答案：B
4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207
解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的系数为：C－C＝207.
答案：D
5．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝5，n＝5 B．x＝5，n＝4
C．x＝4，n＝4 D．x＝4，n＝3
解析：Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，检验得B正确．
答案：B
二、填空题
6．(2015·福建卷)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．
解析：(x＋2)5的展开式中x2项为C23x2＝80，所以x2的系数等于80.
答案：80
7. 的展开式中的第四项是________．
解析：T4＝C23＝－.
答案：－
8．如果的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________．
解析：Tr＋1＝C()n－r＝Cx，由题意知r＝2时，＝2，所以n＝8.
答案：8
三、解答题
9．在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项及项数．
解：(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)4＝24Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－k＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，
所以1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，此时x7的系数为C＋C＝156.
B级 能力提升
1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为( )
A．3 B．5
C．6 D．10
解析：展开式的通项表达式为C(3x2)n－r·＝C3n－r(－2)rx2n－5r，若C3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为5.
答案：B
2．设二项式(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
解析：A＝C(－a)2，B＝C(－a)4，由B＝4A知，C(－a)2＝C(－a)4，
解得a＝2(舍去a＝－2)．
答案：2
3．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
解：依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C·，C·，
依题意2C·＝1＋C·，即n2－9n＋8＝0，
解之得n＝8(舍去n＝1)．
故Tk＋1＝C()8－r＝Cx.
(1)证明：若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，
即3r＝16，因为r∈N*，所以3r＝16不可能成立．
故展开式中没有常数项．
(2)若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数，
因为0≤r≤8，r∈N*，所以r＝0或r＝4或r＝8.
此时展开式中的有理项共有三项，
它们是T1＝x4，T5＝x，
T9＝.
§1．3．1二项式定理
教学目标：
知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式
过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用
授课类型：新授课
课时安排：3课时
内容分析：
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．
二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．
教学过程：
一、复习引入：
⑴；
⑵
⑶的各项都是次式，
即展开式应有下面形式的各项：，，，，，
展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，
∴．
二、讲解新课：
二项式定理：
⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：
，，…，，…，，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取的情况有种，即种，的系数是；
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
有都取的情况有种，的系数是，
∴，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，⑶它有项，各项的系数叫二项式系数，
⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项．
⑸二项式定理中，设，则
三、讲解范例：
例1．展开．
解一： ．
解二：
．
例2．展开．
解：
．
例3．求的展开式中的倒数第项
解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，
．
例4．求（1），（2）的展开式中的第项．
解：（1），
（2）．
点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同
例5．（1）求的展开式常数项；
（2）求的展开式的中间两项
解：∵，
∴（1）当时展开式是常数项，即常数项为；
（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，
，
例6．（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数及二项式系数
解：的展开式的第四项是，
∴的展开式的第四项的系数是．
（2）∵的展开式的通项是，
∴，，
∴的系数，的二项式系数．
例7．求的展开式中的系数
分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开
解：（法一）
，
显然，上式中只有第四项中含的项，
∴展开式中含的项的系数是
（法二）：
∴展开式中含的项的系数是．
例8．已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值
分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解
解：展开式中含的项为
∴，即，
展开式中含的项的系数为
，
∵， ∴，
∴
，∴当时，取最小值，但，
∴ 时，即项的系数最小，最小值为，此时．
例9．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
解：由题意：，即，∴舍去）
∴
①若是常数项，则，即，
∵，这不可能，∴展开式中没有常数项；
②若是有理项，当且仅当为整数，
∴，∴ ，
即 展开式中有三项有理项，分别是：，，
例10．求的近似值，使误差小于．
解：，
展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，
∴，
一般地当较小时
四、课堂练习：
1.求的展开式的第3项.
2.求的展开式的第3项.
3.写出的展开式的第r+1项.
4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开：
（1）；（2）.
6.化简：（1）；（2）
7．展开式中的第项为，求．
8．求展开式的中间项
答案：1.
2.
3.
4.展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数
5. （1）；
（2）.
6. （1）；
（2）
7. 展开式中的第项为
8. 展开式的中间项为
五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点
六、课后作业： P36 习题1.3A组1. 2. 3.4
七、板书设计（略）
八、教学反思：
(a+b) ｎ =
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中（r=0,1,2,……,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二项式定理是指
这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn－1，同时=e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y=与积分公式=dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)2+…(x－x0)n+(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个分支中.
怎样使二项式定理的教学生动有趣
正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？
怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.
而MM教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用”［1］只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.
MM教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”［2］在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．(x－1)3 B．(x－2)3
C．x3 D．(x＋1)3
【解析】 S＝[(x－1)＋1]3＝x3.
【答案】 C
2．已知7 的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A. B．－
C．7 D．－7
【解析】 T4＝Cx43＝5，则x＝－.
【答案】 B
3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【解析】 x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.
【答案】 B
4．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．
【答案】 B
5．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
【解析】 二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝
C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.
当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；
当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．(2018·安徽淮南模拟)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
【解析】 由题意知，C＝C，∴n＝8.
∴Tk＋1＝C·x8－k·k＝C·x8－2k，当8－2k＝－2时，k＝5，∴的系数为C＝56.
【答案】 56
7．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
【解析】 对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax－)r＝C(－a)r·x6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，
∴a＝2.
【答案】 2
8．9192被100除所得的余数为________．
【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.
法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C.
前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
【答案】 81
三、解答题
9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N*)．
【解】 将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.
∴S＝(－1)n＝
10．(2018·淄博高二检测)在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
【解】 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
[能力提升]
1．(2018·吉林长春期末)若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
【解析】 Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．
【答案】 C
2．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为( )
A．－19 B．19 C．20 D．－20
【解析】 n的通项公式为Tr＋1＝C()n－r·r＝Cx－，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.
【答案】 C
3．对于二项式n(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．
【解析】 二项式n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N*)和n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
【答案】 ①与④
4．求5的展开式的常数项.
【解】 法一：由二项式定理得5＝5＝C·5＋C·4·＋C·3·()2＋C·2·()3＋C··()4＋C·()5.
其中为常数项的有：
C4·中的第3项：CC·2·；
C·2·()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项C·()5.
综上可知，常数项为CC·2·＋CC··()3＋C·()5＝.
法二：原式＝5
＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.
二项式定理（1）
教学目的：
1、使同学理解二项式展开式与组合之间的联系，掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式。会利用二项展开式及通项公式解决有关问题。
2、在同学对二项展开式的探究过程中，培养训练同学的观察、联想、归纳等探究能力。
3、通过同学自主参与和探究二项式定理，培养同学解决数学问题的兴趣和信心；并运用“杨辉三角”这一载体，在课堂中渗透民族精神教育。
教学重点：二项式定理
教学难点：二项式展开式的探究。
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
前一阶段，我们学习了排列组合与概率，我们知道了对于多项式的展开式的项数问题可以运用乘法原理求解。如：
例1、（1）求展开后的项数。
（2）求展开后的项数。
（3）求展开后的项数。
疑问1：
（2）的项数为4，与我们已知的：项数为3不一致。为什么？
（3）的项数为3，与我们已知的：项数为6不一致。为什么？
引导同学得出结论：由于同类项的合并因此项数减少了。
其实，多项式的展开问题比我们想象的要复杂的多，它涉及展开式的项数、项、项的系数等问题，但也并不是没有规律可循，我们可以运用有关知识来解决。想不想来试试？
引出课题：二项式定理
二、新授[来源:www.shulihua.net]
我们先来研究二项式的展开式。
二项式的定义：形如的代数式叫二项式。
二项式的展开式的探究：
注：由简单的二项式着手，引导同学从的项数、各项和指数的特点、各项的系数特点等三方面进行探究。
探索规律，得出结论：
二项式的展开式项数为： ；
二项式的展开式各项和指数的特点：
（a）展开式各项和指数和为，
（b）指数从开始依次递减到0，指数从0开始依次递减到；
（3）二项式的展开式各项的系数满足：
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
、、、、、、
规律：左、右两边斜行各数都是1；奇遇各数都等于它肩上两数的和。
类似这样的表，早在7百多年前我国宋朝数学家杨辉在所著的《详解九章算术》已经出现。反映了我国古代数学的发展和我国灿烂的历史文化。我们通常把这个表称作“杨辉三角”。运用“杨辉三角”可以来求二项式的展开式。
例1．展开：①；②。
疑问2： 当比较大时怎么表示展开式各项的系数？
引导同学从展开式各项产生的角度思考：
=
的展开式中的各项系数是怎样的？
思考：在的展开式中是怎样来的？有多少个？
教师引导：即，是从上面四个括号中各选一个而来，三个自四个括号中给出，四个括号中选三个，有种可能。由于选出三个的括号的同时自然剩下一个括号选出。因此，与是同时得到的。所以在计算的数目时，只需考虑的数目就可以了，而不必考虑的数目。所以的个数是，即的系数是。
学生实践：由学生按刚才的道理分别写出， ，，的系数。
归纳结论：
提问：谁能写出、的展开式？
归纳一般结论： 对于
的系数即为每个括号都不取的情况数，有种；
的系数即为恰有个括号取其余取的情况数，有种；
……，
的系数即为恰有个括号取其余取的情况数，有种；
……，
的系数即为有个括号都取的情况数，有种。
∴对于任意正整数 n ,我们有：
指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，各项系数 (r=0,1,2,……,n)叫做二项式系数。
②式中叫做二项展开式的通项，记作：。
三、定理的应用[来源:www.shulihua.net]
例2．求的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
例3．求（1），（2）的展开式中的第3项．
解：（1），
（2）．
点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同
例4．求的展开式中，的系数。
四、小结 ：
1、本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。
2、二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；
3、二项式定理的表达式以及展开式的通项二项式定理及通项公式的特点；
4、要正确区别“项的系数”和“二项式系数”。
拓展思考题：求的展开式中项的系数是多少？
五、课后作业：（略）
教学设计思路：[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础。教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．二项式定理是其余一切结果的基础，当然应该是教学重点。
二项式展开式的探究涉及到有关组合的知识，涉及到归纳、猜想等探究能力要求，对于同学来说是难点。
二项式定理的证明需要恰当地运用组合数的性质2，需要用到不太熟悉的数学归纳法，且证明中符号比较抽象是一个教学难点。限于时间关系，从分解难点的角度考虑，留待下节课中进行证明。
教学过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。
《九章算术》、“杨辉三角”是我国古代数学成果的典型代表，是在课堂上渗透民族精神教育的很好的载体，应该充分利用。
通过对拓展思考题：求的展开式中项的系数是多少？的探讨，培养同学化归意识和知识迁移的能力。
[来源:学§科§网]
1．展开式中的常数项为 （ ）
(A)第6项 (B)第7项 (C) 第8项 (D) 第9项
2．的展开式中，的系数是 (用数字作答)．
3．化简：（1）；（2）
4．化简：（1）
5．求的展开式常数项；
6．的展开式的中间两项
7．展开式中的第项为，求．
8．求展开式的中间项
9．求值：(1)=____________
(2)=______________
课件37张PPT。1.3 二项式定理
1．3.1 二项式定理自主学习 新知突破1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．[问题1] 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
[提示1] (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. [问题2] 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？二项式定理及相关的概念
又因为0≤r≤100，r∈N，所以r＝0,6，…，96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，
由96＝0＋(n－1)×6得n＝17，
故系数为有理数的共有17项.合作探究 课堂互动二项式定理的展开式
[规律方法] 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，方法二相对方法一来说显得更加简单，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二项式定理的逆用
[思路点拨] (1)共有n＋1项，(－2)按升幂排列符合二项式定理形式．
(2)共有n＋1项，x＋1的指数最高次为n，依次递减至0，且每项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差． [规律方法] 本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x＋1换元为a，再分析结构形式，则变得简单些． 求二项展开式的特定项 [思路点拨]
[规律方法] 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数． [提示] 上面解答将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的．谢谢观看！
