课件32张PPT。第一章1.3
1.3.2
“杨辉三角”与二项式系数的性质2 突破常考题型题型一题型二题型三3 跨越高分障碍4 应用落实体验随堂即时演练课时达标检测1 理解教材新知[提出问题][导入新知]等距离 二项式系数与“杨辉三角”有关的问题 求二项展开式中系数和 二项式系数的性质 答案：C第一章 计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.
答案：C
2．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于( )
A．5 B．3 C．4 D．7
解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30，解得n＝4.
答案：C
3．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )
A．第6项 B．第5项
C．第5、第6项 D．第6、第7项
解析：因为C＝C，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．
答案：A
4．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于( )
A．64 B．32 C．63 D．31
解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.
答案：B
5．设的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )
A．－150 B．150 C．300 D．－300
解析：令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240，解得n＝4.展开式中的通项为Tr＋1＝C(5x)4－r＝(－1)r54－rCx4－r，令4－r＝1得r＝2，所以当r＝2时，展开式中x的系数为(－1)2·C·52＝150.
答案：B
二、填空题
6．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．
解析：C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.
答案：120a
7．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
解析：因为8＜C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.
答案：6x
8．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
…
解析：由于每行的第1个数1，3，5，7，9，…成等差数列，由等差数列的知识可知，an＝2n－1.
答案：2n－1
三、解答题
9．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①
令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26，
解得n＝8.
所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C(2x)4＝1 120x4.
设第(k＋1)项系数最大，则有
解得5≤k≤6.
又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6.
所以系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
B级 能力提升
1．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为( )
A．奇数 B．偶数
C．3的倍数 D．被3除余1的数
解析：9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C·9n＋…＋C·92＋C＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数．
答案：A
2．(2015·山东卷)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N*时，
C＋C＋C＋…＋C＝________．
解析：具体证明过程可以是：
C＋C＋C＋…＋C＝(2C＋2C＋2C＋…＋2C)＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)]＝(C＋C＋C＋…＋C＋C＋…＋C)＝·22n－1＝4n－1.
答案：4n－1
3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
解：由得Tr＋1＝C＝Cx，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝C·＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54.
解得a＝±.
§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标：
知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教学过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1），
（2）.
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数
定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值．∵，
∴相对于的增减情况由决定，，
当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
三、讲解范例：
例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式中，令，则，
即，
∴，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知.
例2．已知，求：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）当时，，展开式右边为
∴，
当时，，∴，
（2）令， ①
令， ②
①② 得：，∴ .
（3）由展开式知：均为负，均为正，
∴由（2）中①+② 得：，
∴ ，
∴
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：
=，
∴原式中实为这分子中的，则所求系数为
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
解：∵
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为 ，
∴此展开式中x的系数为240
例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10
设第r+1项为常数项，又
令，
此所求常数项为180
例6． 设，
当时，求的值
解：令得：
，
∴，
点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例7．求证：．
证（法一）倒序相加：设 ①
又∵ ②
∵，∴，
由①+②得：，
∴，即．
（法二）：左边各组合数的通项为
，
∴ ．
例8．在的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.
解：设(*),
各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为.
②令,各项系数和为.
③奇数项的二项式系数和为,
偶数项的二项式系数和为.
④设,
令,得到…(1),
令,(或,)得…(2)
(1)+(2)得,
∴奇数项的系数和为;
(1)-(2)得,
∴偶数项的系数和为.
⑤的奇次项系数和为;
的偶次项系数和为.
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：由题意,解得.
①的展开式中第6项的二项式系数最大,
即.
②设第项的系数的绝对值最大,
则
∴,得,即
∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项
例10．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令，则展开式中各项系数和为，
又展开式中二项式系数和为，
∴，．
（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，，
（2）设展开式中第项系数最大，则，
∴，∴，
即展开式中第项系数最大，．
例11．已知，
求证：当为偶数时，能被整除
分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式
∵，
∴，∵为偶数，∴设（），
∴
（） ，
当=时，显然能被整除，
当时，（）式能被整除，
所以，当为偶数时，能被整除
三、课堂练习：
1．展开式中的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式（）的展开式中，的系数为
3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％ B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间 D.在8％以上
5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）
A.0 B. C. D.
6．求和：．
7．求证：当且时，．
8．求的展开式中系数最大的项
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：
3. B 4. C 5. D 6.
7. (略) 8.
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业：P36 习题1.3A组5. 6. 7.8 B组1. 2
1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于，求的值
答案：
2．设
求：① ②．
答案：①； ②
3．求值：．
答案：
4．设，试求的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
答案：（1）；
（2）所有偶次项的系数和为；
所有奇次项的系数和为
六、板书设计（略）
七、教学反思：
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.
选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=现在的问题就是要找的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算
2007年高考题
1．（2007年江苏卷）若对于任意实数，有，则的值为（B）
A． B． C． D．
2．（2007年湖北卷）如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
A.3 B.5 C.6 D.10
【答案】：B.
【分析】：，
，（）。.
【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力.
【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与r的关系。
【高备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。
3．（2007年江西卷）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（ C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．（2007年全国卷I）的展开式中，常数项为，则（ D ）
A． B． C． D．
5．（2007年全国卷Ⅱ）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
6．（2007年天津卷）若的二项展开式中的系数为，则 2 （用数字作答）．
7．（2007年重庆卷）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
A10 B.20 C.30 D.120
8．（2007年安徽卷）若(2x3+)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 7 . 9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 32 ．
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
【解析】 第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．
【答案】 B
2．(2018·吉林一中期末)已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是( )
A．5 B．20
C．10 D．40
【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，
令10－3r＝1，解得r＝3，
所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.
【答案】 C
3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( )
A．2n B.
C．2n＋1 D.
【解析】 令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①
令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②
①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，
∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.
【答案】 D
4．(2018·信阳六高期中)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.
【答案】 A
5．在(x－)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于( )
A．23 015 B．－23 014
C．23 014 D．－23 008
【解析】 因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 014.
【答案】 B
二、填空题
6．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．
【解析】 令x＝0，得a0＝1.令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.
【答案】 －1
7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．
【解析】 7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.
【答案】 7或0
8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-3-5所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.
【解析】 根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，
使得连续三项C，C，C，有＝且＝.
化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．
【答案】 62
三、解答题
9．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
【解】 (1)令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.
10．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．
【解】 由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，得n＝8.8的展开式共有9项，其中T5＝C4(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.
[能力提升]
1．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，
故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)
＝(－1)10(＋1)10＝1.
【答案】 A
2．把通项公式为an＝2n－1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图1-3-6所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是( )
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
图1-3-6
A．91 B．101
C．106 D．103
【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，
∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.
【答案】 B
3．(2018·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
【解析】 令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
【答案】 5
4．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和.
【解】 (1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，
x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝2＋.
因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次项的系数之和为30.
二项式定理及其应用
一、求某项的系数：
【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（407）
（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．（）
二、证明组合数等式：
练习
（12345）
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例2? 计算：1.9975（精确到0.001）．
师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．
例3：（全国高考有这样一道应用题）
某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
例3? 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？
生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数．
受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用
数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了．
师：请同学们在笔记本上完成此题的解答
（教师请一名同学板演）
解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5
则? 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6
所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．
师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？
（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演）
解：7777-1=（76+1）77
由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除．
师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？
生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．
师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题
例4? 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．
师：仍然由同学先谈谈自己的想法．
生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．
注意到：
①? 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）；
②? n≥2，右式至少三项；
这样，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．
生癸：根据题设条件有n∈N，且n≥2．用数学归纳法应当可以证明．
师：由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生×同学从乘方运算这点考虑，想到二项式定理，生×同学从题设条件n∈N考虑，想到数学归纳法．大家要养成习惯，每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面．
用二项式定理证明，生×同学已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明．
（教师请一名同学板演）
证明：①当n=2时，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，显然9＞8．故不等式成立．
②假设n=k（k∈N且k≥2）时，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），则当n=k＋1时，
由于? 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k．
右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，
则? 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．
所以? 左式＞有式．故当n=k＋1时，不等式也成立．
由①，②不等式对n≥2，n∈N都成立．
师：为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题：
设n∈N且n＞1，求证：
（证明过程中可以运用公式：对n个正数a1，a2，…，an，总有
（教师在教室巡视，过2分钟找一名同学到黑板板演第（1）小题，再过3分钟找另一名同学板演第（2）小题）[来源:www.shulihua.net]
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师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？
生寅：第（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，
列前n项的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到证明．
第（2）小题左式与右式也没有直接联系．根据题目给出的公式要
师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握．
本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用．当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视．
作业
1．课本习题：P253习题三十一：6，7，10；
2．课本习题：P256复习参考题九：15（2）．
3．补充题：
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课堂教学设计说明
1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复习的学习习惯．
2．只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力．因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与．
3．学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力．
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教案 二项式定理及应用
教学目标：1.掌握二项式定理和性质以及推导过程。
2.利用二项式定理求二项展开式中的项的系数及相关问题。
3.使学生能把握数学问题中的整体与局部的关系，掌握分析与综合，特殊和一般的数学思想。
教学重点；二项展开式中项的系数的计算。
教学过程：
复习引入：
1.的展开式，项数，通项；[来源:www.shulihua.net]
2.二项式系数的四个性质。
例题
二项式定理及二项式系数性质的简单应用：
例1 （1） 除以9的余数是_____________________
(2)=_______________
A. B. C. D.
(3)已知
则____________________
（4）如果展开式中奇数项的系数和为512，则这个展开式的第8项是（ ）
A. B. C. D.
(5)若则等于（ ）
A. B. C. D.
小结1.(1)注意二项式定理的正逆运用；
(2)注意二项式系数的四个性质的运用。
二项展开式中项的系数计算：[来源:www.shulihua.net]
例2 （1）展开式中常数项等于_____________.
（2）在的展开式中x的系数为（ ）
A．160 B．240 C．360 D．800
（3）已知求：
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小结2. (1)局部问题抓通项；[来源:www.shulihua.net]
(2)整体系数赋值法。
三 课堂练习
（1）展开式中，各系数之和是（ ）
A．0 B．1 C． D．
（2）已知的展开式中的系数为，常数的值是_________
(3) 的展开式中的系数为______________-（用数字作答）
(4)若，则
A．1 B．0 C．2 D．
四 课堂小结
五 作业
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课件44张PPT。1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质自主学习 新知突破1．了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题．
2．了解二项式系数的性质并能简单应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活应用．(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
(a＋b)11 1
(a＋b)21 2 1
(a＋b)31 3 3 1
(a＋b)41 4 6 4 1
(a＋b)51 5 10 10 5 1
(a＋b)61 6 15 20 15 6 1
[问题1] 你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
[提示1] 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．
[问题2] 计算每一行的系数和，你又看出什么规律？
[提示2] 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.杨辉三角的特点相等和二项式系数的性质相等 2n 1．在(a＋b)10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项2．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析： 只有x5的系数最大，x5是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n＝10.
答案： C
3．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
解析： 依题可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，
则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.
答案： －256合作探究 课堂互动与“杨辉三角”有关的问题 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.
[思路点拨] 解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，利用组合的性质求和．
[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．1．(1)如图所示，满足①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)的第2个数是________；(2)如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．二项展开式系数和问题 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. [思路点拨] 2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.二项式系数的性质 [思路点拨] [规律方法] 1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
【正解】 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则：A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…
由已知可知：B－A＝38.
令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，谢谢观看！
