北师大版数学九年级上2.3 用公式法求解一元二次方程教学设计
课题
2.3 用公式法求解一元二次方程
单元
第二章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：掌握一元二次方程求根公式，并能运用根的判别式，判别方程根的情况；
过程与方法：通过探究公式法及根的判别式，体会分类的数学思想和数学的简洁美；
情感态度与价值观：通过师生的共同活动及学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力．
重点
一元二次方程的求根公式及根的判别式的理解与应用．
难点
理解求根公式的条件：b2-4ac≥0
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
上节课，我们学习了用配方法解一元二次方程，下面请回答：
问题1、什么叫配方法？
答案：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
问题2、利用配方法解一元二次方程的一般步骤？
答案：(1)将方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一般形式．
(2)化二次项系数为1；
(3)配方；
(4)移项，将原方程变成(x＋m)2＝n的形式．
(5)若n≥0，可以直接开平方求解；若n＜0，原方程无解．
学生积极回答老师的问题.
通过回答问题，为学习用公式法解一元二次方程做好铺垫.
新知讲解
我们一起来看下面的方程：
试一试：你能用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)吗？
解：因为二次项系数a≠0，所以方程两边同除以a，得：
x2+bax+ca=0．
配方，得：x2+bax+(b2a)2-(b2a)2+ca=0，
(x+b2a)2-b2?4ac4a2=0,
移项，得：(x+b2a)2=b2?4ac4a2，
因为a≠0，所以4a2>0．
当b2-4ac≥0时，两边开平方，得：x+b2a=±b2?4ac4a2，
所以x=?b±b2?4ac2a．
指出1：一元二次方程的求根公式
这就是说，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
当b2-4ac≥0时，它的根是：x=?b±b2?4ac2a
指出2：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
例：用公式法解方程：
（1）x2-7x-18=0；（2）4x2+1=4x.
解：（1）这里a=1，b=-7，c=-18．
∵b2-4ac=(-7)2–4×1×（-18）=121＞0，
∴x=7±1212×1=7±112
∴x1=9,x2=-2.
（2）将原方程化为一般形式，得
4x2-4x+1=0
这里a=4，b=-4，c=1.
∵b2-4ac=(-4)2–4×4×1=0，
∴x=?（?4）±02×4=12
即x1=x2=12.
追问：你能说一说，利用公式法求解一元二次方程的步骤吗？
归纳：利用公式法求解一元二次方程的步骤
（1）将二元一次方程写成标准形式.
（2）找出对应的a、b、c值，并判断b2-4ac的正负.
（3）利用公式法求解.
练习1：用公式法解方程：2x2-9x+8=0；
解：这里a=2，b=-9，c=8．
∵b2-4ac=(-9)2–4×2×8=17＞0，
∴x=9±172×2=9±174
即x1=9+174,x2=9?174.
议一议：你能用公式法求解一元二次方程x2-2x+3=0吗？
解：不能，原因如下：
这里a=1，b=-2，c=3.
∵b2-4ac=(-2)2–4×1×3=-8＜0，
公式法中x=?b±b2?4ac2a，b2?4ac无意义，所以一元二次方程没有实根.
思考：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？
答案：当b2-4ac<0时，方程没有实根
议一议：对比下面三个方程的根，你发现了什么？
（1）x2-7x-18=0；（2）4x2+1=4x；（3）x2-2x+3=0
归纳：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
强调：由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可由b2-4ac来判定．
指出：我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．
练习2：不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2+5=7x；
（2）4x（x-1）+3=0；
（3）4（y2+0.09）=2.4y.
解：（1）∵Δ=b2-4ac＝9>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ=b2-4ac＝-32＜0，
∴方程没有实数根；
（3）∵Δ=b2-4ac=0,
∴方程有两个相等的实数根.
学生利用配方法解一元二次方程.然后分析交流，再老师的引导下归纳一元二次方程的求根公式.
学生尝试应用分式法解一元二次方程，完成后，班内交流，并认真听老师的讲评.
师生共同归纳.
学生独立分析，小组讨论然后班内交流，然后认真听老师的讲评.
学生独立判断后班内交流.
探索一元二次方程的求根公式.
体会公式法在解一元二次方程中的应用.
理解公式法解一元二次方程的一般步骤.
体会求根公式存在的条件，及求根公式的应用
.
进一步理解求根公式的应用
课堂练习
1．下列对一元二次方程x2＋x－3＝0的根的情况的判断，正确的是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根D．没有实数根
答案：A
2.用公式法解方程：x（x-3）+5=0.
解：将原方程化为一般形式，得
x2-3x+5=0.
这里a=1，b=3，c=-5．
∵Δ＝b2-4ac=32–4×1×（-5）=29＞0，
∴x=?3±292
即x1=?3+292,x2=?3?292.
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0.
求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
证明：因为Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×4
＝4k2－12k＋9
＝(2k－3)2≥0，
所以无论k取何值，这个方程总有实数根．
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019?湘潭）已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c=（ ）
A．4 B．2 C．1 D．-4
解：∵方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=（-4）2-4×1×c=16-4c=0，
解得：c=4．
答案：A
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？
答案：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
当b2-4ac≥0时，它的根是：x=?b±b2?4ac2a
问题2、如何利用根的判别式判断一元二次方程根的情况？
答案：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ=b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第43页习题2.5第1、2题
能力作业
教材第43页习题2.5第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
课件21张PPT。用公式法求解一元二次方程数学北师大版 九年级上新知导入1. 什么叫配方法？ 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.2、利用配方法解一元二次方程的一般步骤？(1)将方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一般形式．
(2)化二次项系数为1；
(3)配方；
(4)移项，将原方程变成(x＋m)2＝n的形式．
(5) 若n≥0，可以直接开平方求解；若n＜0，原方程无解．试一试：你能用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)吗？?新知讲解新知讲解 这就是说，对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），
当 b2 - 4ac≥0 时，它的根是：?用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．一元二次方程的求根公式新知讲解例：用公式法解方程：
（1）x2 - 7x - 18 = 0；（2）4x2 + 1 = 4x.?新知讲解例：用公式法解方程：
（1）x2 - 7x - 18 = 0；（2）4x2 + 1 = 4x.? 你能说一说，利用公式法求解一元二次方程的步骤吗？新知讲解利用公式法求解一元二次方程的步骤（1）将二元一次方程写成标准形式.（2）找出对应的a、b、c值，并判断b2 - 4ac的正负.（3）利用公式法求解.新知讲解练习1：用公式法解方程：2 x2 - 9 x + 8 = 0；?新知讲解议一议：你能用公式法求解一元二次方程 x2-2x+3=0 吗？? 思考：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当 b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？当b2-4ac<0时，方程没有实根新知讲解议一议：对比下面三个方程的根，你发现了什么？
（1）x2-7x-18=0；（2）4x2+1=4x；（3）x2-2x+3=0
x1=9, x2 =-2.?无解b2-4ac>0b2-4ac＝0b2-4ac<0对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），
当 b2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．新知讲解由此可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的情况可由 b2 - 4ac来判定．
我们把 b2 - 4 ac叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 来表示．新知讲解练习2：不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2 x 2 + 5 = 7 x；
（2）4 x（x - 1）+ 3 = 0；
（3）4（y 2 + 0.09）= 2.4 y.解：∵Δ=b2 - 4ac ＝9> 0 ，∴方程有两个不相等的实数根；
解：∵Δ=b2 - 4ac＝-32＜0 ， ∴方程没有实数根；
解：∵Δ= b2 - 4ac = 0 , ∴方程有两个相等的实数根.课堂练习1．下列对一元二次方程x2＋x－3＝0的根的情况的判断，正确的是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根A课堂练习2. 用公式法解方程：x（x - 3）+ 5 = 0.?拓展提高已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4 ＝0.
求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；证明：因为Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×4
＝4k2－12k＋9
＝(2k－3)2≥0，
所以无论k取何值，这个方程总有实数根．中考链接（2019?湘潭）已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c=（ ）
A．4 B．2 C．1 D．-4
解：∵方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=（-4）2-4×1×c=16-4c=0，
解得：c=4．A课堂总结? 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），
当 Δ=b2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
2. 如何利用根的判别式判断一元二次方程根的情况？板书设计
课题：2.3 用公式法求解一元二次方程
教师板演区
学生展示区（1）求根公式
（2）根的判别式基础作业
教材第43页习题2.5第1、2题
能力作业
教材第43页习题2.5第3、4题作业布置
