华师大版数学九年级上22.2.3一元二次方程的判别式教学设计
课题
一元二次方程的判别式
单元
22
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证
过程与方法目标
经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点
情感态度与价值观目标
积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲
重点
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证
难点
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提问：
用公式法求下列方程的根:
师：用公式法解一元二次方程的一般步骤:
生：1)把方程化为一般形式确定a , b , c 的值
2)计算b2?4ac的值
3)带入求根公式x=?b±b2?4ac2a 计算方程的根
学生解方程，老师给予订正，并一起回顾公式法解方程的步骤
通过复习，引出新问题，提高学生学习的积极性.
讲授新课
课件展示：
师：我们在推导一元二次方程求根公式的配方过程中，得到(x+b2a)2=b2?4ac4a2，只有当b2?4ac≥0时，才能直接开平方，得x+b2a=±b2?4ac4a2，所以，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.
师：观察方程(x+b2a)2=b2?4ac4a2a≠0，我们发现有几种情况？
生：有三种
师：有哪三种呢？
生：当b2?4ac>0时，方程的右边是一个正数，方程有两个不相等的实数根：
x1=?b±b2?4ac2a，
x2=?b?b2?4ac2a
生：当b2-4ac=0时，方程的右边是0，方程有两个相等的实数根：
x1=x2=?b2a
生：当b2-4ac<0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，负数没有平方根，所以，方程没有实数根
师：思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况
生：b2?4ac
师：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，通常用符号“Δ”来表示.那么总结一下Δ与根的关系吧
生： (1)当 Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.
(2)当 Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根.
(3)当 Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根.
师：反过来，对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)
上面的结论能成立吗？
生：能成立的
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则Δ＝b2－4ac>0.
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，则Δ＝b2－4ac＝0.
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则Δ＝b2－4ac<0.
课件展示：
例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)3x2=5x?2 (2)4x2?2x+14=0 (3)4(y2+1)?y=0
师：总结一下一般步骤：
生：(1)化为一般式，确定 a，b，c的值.
(2) 计算Δ的值，确定Δ的符号.
(3)判别根的情况，得出结论
课件展示
试一试
已知关于x的方程2x2?3+4kx+2k2+k=0
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当k取何值时，方程没有实数根？
学生配方，推导求根公式，讨论得出求根公式的三种情况，并总结出b2?4ac决定了根的情况
师生总结Δ与根的关系
学生解答，老师订正
学生自主解答
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
巩固所学知识，
培养学生分析归纳的能力.
培养学生发散思维，自己解决问题的能力
课堂练习
1、下列方程有两个相等的实数根的是( )
A．x2＋x＋1＝0 B．4x2＋2x＋1＝0
C．x2＋12x＋36＝0 D．x2＋x－2＝0
答案：C
2、若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜5 B．k＜5且k≠1
C．k≤5且k≠1 D．k＞5
答案：B
3.已知关于x的一元二次方程x2?23x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为_______.
答案：-3
4．若关于x的方程kx2－4x－23＝0有实数根，则k的取值范围是__________.
答案： k≥-6
5．关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.
答案：
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞?54.故m的取值范围是m>-54.
(2)当m＝1时，原方程为x2＋3x＝0，即x(x＋3)＝0，解得x1＝0，∴x2＝－3.
拓展提高
已知关于x的一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0.
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.
答案：
(1)证明：Δ＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.
∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有实数根.
(2)解：解方程，得x＝m+2±m?22m，
∴x1＝2m，x2＝1.∵方程有两个不相等的正整数根，且m为整数，
∴m＝1或m＝2(不合题意，舍去)，
∴m＝1.
中考链接
1. 【江苏淮安中考】若关于x的一元二次方程x2－2x－k＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案：B
2.【辽宁锦州中考】一元二次方程2x2－x＋1＝0的根的情况是 ( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
答案：C
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
可以照顾不层次的学生，调动学生学习积极性
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，通常用符号“Δ”来表示.
2.判别式与根的情况
(1)当 Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.
(2)当 Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根.
(3)当 Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根.
22.2.4一元二次方程根的判别式导学案
课题
一元二次方程根的判别式
单元
22
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.理解一元二次方程根的判别式取值范围对根的情况的影响；
2.会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算
重点难点
重点：会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算
难点：理解根的判别式取值范围对根的情况的影响
教学过程
知识链接
一元二次方程的求根公式是：________________。公式成立的条件是_____________。分别写出两个根的表达式：____________________________。
合作探究
一、教材31页回忆
分我们在推导一元二次方程求根公式的配方过程中，得到(x+b2a)2=b2?4ac4a2，只有当b2?4ac≥0时，才能直接开平方，得x+b2a=±b2?4ac4a2，所以，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况
观察方程(x+b2a)2=b2?4ac4a2a≠0，我们发现有三种情况
，
，
。
二、教材32页概括：
1.的取值决定着一元二次方程根的情况，因此把作为根的判别式，用“△”来表示。
(1)当△＞0时，方程有 实数根；
(2)当△＝0时，方程有 实数根；
(3)当△＜0时，方程 实数根。
（注意：判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是否是一元二次方程时，应适当分类讨论。）
三、教材32页例题
例7、不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)3x2=5x-2 (2)4x2-2x+=0
(3)4(y2+1)-y=0
用判别式判断根的情况的一般步骤
（1） .
（2） .
(3) .
四、教材33页试一试
已知关于x的方程2x2?3+4kx+2k2+k=0
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当k取何值时，方程没有实数根？
自主尝试
1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根； D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＋1＝0 B. x2+x-1＝0 C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
【方法宝典】
计算△=b2?4ac的结果，判断根的情况.
当堂检测
1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．
2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．
3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．
5、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
一元二次方程根的判别式
参考答案：
当堂检测：
1．2
2．1
3．有两个不相等的
4．6，-4
5. k=2或k=10 ；当k=2时，x1=x2=,当k=10时，x1=x2=.
课件21张PPT。22.2.4一元二次方程根的判别式华师大版 九年级上情境导入用公式法求下列方程的根: 用公式法解一元二次方程的一般步骤:1)把方程化为一般形式确定a , b , c 的值?新知讲解回忆?所以，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.?分析新知讲解???新知讲解当b2-4ac<0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，负数没有平方根，所以，方程没有实数根思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，通常用符号“Δ”来表示.概括新知讲解(1)当 Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.
(2)当 Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根.
(3)当 Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根.?(1)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则Δ＝b2－4ac>0.
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，则Δ＝b2－4ac＝0.
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则Δ＝b2－4ac<0.新知讲解?例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：例题解析???一般步骤：例题解析归纳(1)化为一般式，确定 a，b，c的值.(2) 计算Δ的值，确定Δ的符号.(3)判别根的情况，得出结论.?(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？(3)当k取何值时，方程没有实数根？1、下列方程有两个相等的实数根的是( )
A．x2＋x＋1＝0 B．4x2＋2x＋1＝0
C．x2＋12x＋36＝0 D．x2＋x－2＝0
2、若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( )
A．k＜5 B．k＜5且k≠1
C．k≤5且k≠1 D．k＞5
CB课堂练习?-341，，k≥-6? 5．关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.(1)证明：Δ＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.
∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有实数根.拓展提高已知关于x的一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0.
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.?1. 【江苏淮安中考】若关于x的一元二次方程x2－2x－k＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2.【辽宁锦州中考】一元二次方程2x2－x＋1＝0的根的情况是 ( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断中考链接BC课堂总结概念与根的情况根的判别式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，通常用符号“Δ”来表示.(1)当 Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.
(2)当 Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根.
(3)当 Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根.板书设计1.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，通常用符号“Δ”来表示.2.判别式与根的情况(1)当 Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.
(2)当 Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根.
(3)当 Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根.作业布置?谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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