12.3 角的平分线的性质(要点讲解+当堂检测+答案) 第1课时 学案
文档属性
| 名称 | 12.3 角的平分线的性质(要点讲解+当堂检测+答案) 第1课时 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-13 20:26:50 | ||
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文档简介
人教版数学八年级上册同步学案
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
要 点 讲 解
要点一 角平分线的作法
1. 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法，尺规作图一定要保留作图痕迹，并且要有结论.
2. 角平分线的画法是以“三边分别相等的两个三角形全等”和“全等三角形的对应角相等”的性质为理论根据的.作已知角的平分线的方法有多种，除了常用的尺规作图法外，还可以用三角板、角尺等作图.
经典例题1 分别画出已知钝角和平角的平分线.
解：钝角∠AOB的平分线的作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3)画射线OC.射线OC即为所求，如图①所示.
图① 图②
用同样的作法作平角的平分线如图②所示.
要点二 角的平分线的性质
1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2. 书写格式：如图所示，∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，∴CE＝CF.
3. 这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长.
4. 该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形.
5. 使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直.
6. 运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论.
经典例题2 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，求△DBC的面积.
解析：作DE⊥BC于点E，由BD是∠ABC的平分线，知DE＝AD＝3，再由三角形的面积公式可求出△BCD的面积.
解：如图，作DE⊥BC于点E，又BD是∠ABC的平分线，
∠A＝90°，∴DE＝AD＝3，
又BC＝10，∴△DBC的面积＝×3×10＝15.
当 堂 检 测
1. 利用尺规作∠AOB的平分线的方法如下：如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P，作射线OP.此作法的依据是( )
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
第1题 第2题
2. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A. PA＝PB B. PO平分∠APB
C. OA＝OB D. ∠OAB＝∠AOB
第3题 第4题
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论中正确的有( )
①AD上任意一点到点C，点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，并且BD，CE相交于点O，过O点作OP⊥BC于点P，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，则OP，OM，ON的大小关系是 .
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 .
7. 如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3cm，则AB＝ .
8. 已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等.
9. 如图，BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
当堂检测参考答案
1. D 2. A 3. D 4. D
5. OP＝OM＝ON
6. 4
7. 6cm
8. 解：如图，分别作∠A，∠B的平分线交于点P，则点P到△ABC三边的距离相等.
9. 证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB.∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
要 点 讲 解
要点一 角平分线的作法
1. 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法，尺规作图一定要保留作图痕迹，并且要有结论.
2. 角平分线的画法是以“三边分别相等的两个三角形全等”和“全等三角形的对应角相等”的性质为理论根据的.作已知角的平分线的方法有多种，除了常用的尺规作图法外，还可以用三角板、角尺等作图.
经典例题1 分别画出已知钝角和平角的平分线.
解：钝角∠AOB的平分线的作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3)画射线OC.射线OC即为所求，如图①所示.
图① 图②
用同样的作法作平角的平分线如图②所示.
要点二 角的平分线的性质
1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2. 书写格式：如图所示，∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，∴CE＝CF.
3. 这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长.
4. 该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形.
5. 使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直.
6. 运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论.
经典例题2 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，求△DBC的面积.
解析：作DE⊥BC于点E，由BD是∠ABC的平分线，知DE＝AD＝3，再由三角形的面积公式可求出△BCD的面积.
解：如图，作DE⊥BC于点E，又BD是∠ABC的平分线，
∠A＝90°，∴DE＝AD＝3，
又BC＝10，∴△DBC的面积＝×3×10＝15.
当 堂 检 测
1. 利用尺规作∠AOB的平分线的方法如下：如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P，作射线OP.此作法的依据是( )
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
第1题 第2题
2. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A. PA＝PB B. PO平分∠APB
C. OA＝OB D. ∠OAB＝∠AOB
第3题 第4题
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论中正确的有( )
①AD上任意一点到点C，点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，并且BD，CE相交于点O，过O点作OP⊥BC于点P，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，则OP，OM，ON的大小关系是 .
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 .
7. 如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3cm，则AB＝ .
8. 已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等.
9. 如图，BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
当堂检测参考答案
1. D 2. A 3. D 4. D
5. OP＝OM＝ON
6. 4
7. 6cm
8. 解：如图，分别作∠A，∠B的平分线交于点P，则点P到△ABC三边的距离相等.
9. 证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB.∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.