12.3 角平分线的判定及应用(要点讲解+当堂检测+答案) 第2课时 学案
文档属性
| 名称 | 12.3 角平分线的判定及应用(要点讲解+当堂检测+答案) 第2课时 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-13 20:28:13 | ||
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文档简介
人教版数学八年级上册同步学案
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定及应用
要 点 讲 解
要点一 角平分线的判定
1. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.要注意性质与判定中的条件和结论的互逆关系.
3. 性质是证明两条线段相等的常用方法；判定是证明两个角相等的常用方法.
经典例题1 已知：如图所示，BE＝CF，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
解析：要证AD平分∠BAC，若证得DE＝DF，问题就可以解决，因此先证DE＝DF.
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC.
点拨：在有关角平分线的问题中，由角平分线的性质可得相等线段，由线段相等可得角平分线.欲证明某个点在一个角的平分线上，只需从这一点向两边作垂线段，再证明两垂线段相等即可，这样把证“点在线上”的问题转化为证“线段相等”的问题，体现了转化思想.
要点二 三角形的角平分线的应用
1. 三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三边的距离相等.
2. 三角形的角平分线是线段，都在三角形的内部，如图所示，点I为△ABC的三条内角平分线的交点，ID⊥BC于点D，IE⊥AB于点E，IF⊥AC于点F，ID＝IE＝IF，若连接IA，IB，IC，则它们分别平分∠BAC，∠ABC，∠BCA.
经典例题2 如图所示，在ABC中，∠C＝90°，点O为ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别等于( )
A. 2，2，2 B. 3，3，3 C. 4，4，4 D. 2，3，5
解析：∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE＝OF.如图，连接OC，∵△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，∴×6×8＝×10·OF＋×8·OD＋×6·OE，∴OE＝OD＝OF＝2.故选A.
答案：A
易错易混警示 不能正确理解角平分线的性质及其判定
在运用角平分线的性质及其判定时，常常忽略“到角的两边的距离”这一要求而导致出错.
经典例题3 如图所示，BF，CF分别是△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线，且相交于点F，FM⊥AD于点M，FN⊥AE于点N.
求证：点F在∠BAC的平分线上.
证明：过点F作FH⊥BC于点H.
∵BF，CF分别是∠CBD，∠BCE的平分线，且FM⊥AD，FH⊥BC，FN⊥AE，∴FM＝FH，FH＝FN.∴FM＝FN.
∴点F在∠BAC的平分线上.
点拨：本题易出现错误的主要原因是只考虑了与角的两边垂直，而忽略了到角的两边距离相等的条件FM＝FN，在条件不充分的情况下，匆忙下结论.
当 堂 检 测
1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点
2. 如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACD＝40°，则∠DCE为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第2题 第3题
3. 如图，在△ABC中，与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是( )
A. AF平分BC B. AF平分∠BAC
C. AF⊥BC D. 以上结论都正确
4. 如图，已知∠CDA＝∠CBA＝90°，且CD＝CB，则点C一定在 的角平分线上，点A在 的角平分线上.
第4题 第5题
5. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ .
6. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D，E，F分别是垂足.求证：点O在∠BAC的平分线上.
7. 如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.
求证：AD是∠BAC的平分线.
8. 如图，已知BF与CE相交于点D，BD＝CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E.
求证：点D在∠BAC的平分线上.
当堂检测参考答案
1. D 2. B 3. B
4. ∠DAB ∠DCB
5. 4∶5∶6
6. 证明：∵点O在∠ABC的平分线上，OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD＝OE.同理：OE＝OF.∴OD＝OF.∴点O在∠BAC的平分线上.
7. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠DFC＝90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC.∴DE＝DF.∴AD是∠BAC的平分线.
8. 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE＝DF.又∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴点D在∠BAC的平分线上.
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定及应用
要 点 讲 解
要点一 角平分线的判定
1. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.要注意性质与判定中的条件和结论的互逆关系.
3. 性质是证明两条线段相等的常用方法；判定是证明两个角相等的常用方法.
经典例题1 已知：如图所示，BE＝CF，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
解析：要证AD平分∠BAC，若证得DE＝DF，问题就可以解决，因此先证DE＝DF.
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC.
点拨：在有关角平分线的问题中，由角平分线的性质可得相等线段，由线段相等可得角平分线.欲证明某个点在一个角的平分线上，只需从这一点向两边作垂线段，再证明两垂线段相等即可，这样把证“点在线上”的问题转化为证“线段相等”的问题，体现了转化思想.
要点二 三角形的角平分线的应用
1. 三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三边的距离相等.
2. 三角形的角平分线是线段，都在三角形的内部，如图所示，点I为△ABC的三条内角平分线的交点，ID⊥BC于点D，IE⊥AB于点E，IF⊥AC于点F，ID＝IE＝IF，若连接IA，IB，IC，则它们分别平分∠BAC，∠ABC，∠BCA.
经典例题2 如图所示，在ABC中，∠C＝90°，点O为ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别等于( )
A. 2，2，2 B. 3，3，3 C. 4，4，4 D. 2，3，5
解析：∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE＝OF.如图，连接OC，∵△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，∴×6×8＝×10·OF＋×8·OD＋×6·OE，∴OE＝OD＝OF＝2.故选A.
答案：A
易错易混警示 不能正确理解角平分线的性质及其判定
在运用角平分线的性质及其判定时，常常忽略“到角的两边的距离”这一要求而导致出错.
经典例题3 如图所示，BF，CF分别是△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线，且相交于点F，FM⊥AD于点M，FN⊥AE于点N.
求证：点F在∠BAC的平分线上.
证明：过点F作FH⊥BC于点H.
∵BF，CF分别是∠CBD，∠BCE的平分线，且FM⊥AD，FH⊥BC，FN⊥AE，∴FM＝FH，FH＝FN.∴FM＝FN.
∴点F在∠BAC的平分线上.
点拨：本题易出现错误的主要原因是只考虑了与角的两边垂直，而忽略了到角的两边距离相等的条件FM＝FN，在条件不充分的情况下，匆忙下结论.
当 堂 检 测
1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点
2. 如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACD＝40°，则∠DCE为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第2题 第3题
3. 如图，在△ABC中，与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是( )
A. AF平分BC B. AF平分∠BAC
C. AF⊥BC D. 以上结论都正确
4. 如图，已知∠CDA＝∠CBA＝90°，且CD＝CB，则点C一定在 的角平分线上，点A在 的角平分线上.
第4题 第5题
5. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ .
6. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D，E，F分别是垂足.求证：点O在∠BAC的平分线上.
7. 如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.
求证：AD是∠BAC的平分线.
8. 如图，已知BF与CE相交于点D，BD＝CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E.
求证：点D在∠BAC的平分线上.
当堂检测参考答案
1. D 2. B 3. B
4. ∠DAB ∠DCB
5. 4∶5∶6
6. 证明：∵点O在∠ABC的平分线上，OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD＝OE.同理：OE＝OF.∴OD＝OF.∴点O在∠BAC的平分线上.
7. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠DFC＝90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC.∴DE＝DF.∴AD是∠BAC的平分线.
8. 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE＝DF.又∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴点D在∠BAC的平分线上.