选修3-1 第七讲　千古谜题伽罗瓦与群论课件16张PPT

课件16张PPT。—伽罗瓦的解答人教版选修3-1 《数学史选讲》第七讲：千古谜题三次、四次方程代数方程伽罗瓦与群论三大几何问题高次方程主要内容背景铺垫 古巴比伦时代初步掌握方法，直到公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米才彻底对一元二次方程给出一般的求根公式。我们在初中就学过了怎样求解一元二次方程一 . 三次、四次方程求根公式的发现1.三次、四次方程问题Ⅲ.中国古代数学家们的努力方向主要放在求方程的数值解上.总结：在16世纪之前，数学家对三次、四次方程的求根公式的执着研究都以失败告终。Ⅰ.阿基米德的努力，用图象法解出一些特殊的三次方程.Ⅱ.阿拉伯数学家们的工作，没有把注意力放在求根公式的研究上.2.世界上最早的数学竞赛Ⅰ.意大利研究三次方程的高手塔尔塔利亚. 塔尔塔利亚（1499—1557）Ⅱ.科拉向塔尔塔利亚发起的挑战，提出两个三次方程的问题.Ⅲ.塔尔塔利亚的努力得到三次方程的一般解法.一 . 三次、四次方程求根公式的发现失落的公式命名3.张冠李戴公式的误会，塔尔塔利亚与卡尔达诺恩怨 卡尔达诺（1501—1576）《大术》三次求根公式称为“卡尔达诺公式”卡尔达诺的学生费拉里发现四次方程的公式解法一 . 三次、四次方程求根公式的发现二.高次方程可解性问题的解决的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求整数的次方根运算得到？对于形如拉格朗日的工作“预解式”，对于二次、三次、四次方程很奏效，高次方程无能为力。二.高次方程可解性问题的解决 拉格朗日（1736—1813）这个问题好像在向人类智慧提出挑战1.初步的尝试学生鲁菲尼走出意义重大的一步，1799年，证明了五次及五次以上代数方程不能用公式法求解，提出“置换”的思想。二.高次方程可解性问题的解决 阿贝尔（1802—1829）论文《一元五次方程没有代数一般解》(1824年)2.中学生数学家取得的突破思考：到底用什么标准来判断一个代数方程能不能用公式求解？继续研究攻克五次以上鲁菲尼-阿贝尔定理 阿贝尔的挑战： 一般的五次和高于五次方程的公式求解问题解决.“超越时代的才华”三.伽罗瓦与群论 伽罗瓦（1811—1832）定理：代数方程可解当且仅当它的伽罗瓦群是可解群1.伽罗瓦的传奇人生完败富二代偏科数学自学成才屡不得志超时代思维英年早逝三.伽罗瓦与群论2.伽罗瓦的群论伽罗瓦最重要的贡献提出了“群”（group）的概念，用群论彻底解决了代数方程可解性问题。伽罗瓦理论应用：深入许多其它的数学分支，在物理，化学等学科也有重要应用。1870年，法国数学家若尔当出版了《置换和代数方程专论》一书，全面介绍伽罗瓦的理论。金子发光数学主流三.伽罗瓦与群论群的定义：设 是一个集合，集合内的一个元素之间定义了一个二元运算 . 如果 满足如下的四条性质：ⅰ（封闭性）集合中任意两个元素的积仍属于该集合；
ⅱ（结合性）运算满足结合律，即 ；
ⅲ（存在单位元）集合中存在单位元 ，对集合中任意元素 满足 ；
ⅳ（存在逆元）对集合中任一元素 ，存在唯一元素 ，使的 ，
则 称连同它的运算 称为一个群，记作
2.伽罗瓦的群论群的例子整数集加通常的加法去零实数集加通常的乘法你能验证上述两个例子是群吗？2.伽罗瓦的群论三.伽罗瓦与群论四.古希腊三大几何问题的解决Ⅰ.化圆为方，即求作一个正方形与给定的圆的面积相等.
Ⅱ.三等分角，即把任意角分成三等份.
Ⅲ.倍立方，即求作一个正方形，使其体积是已知正方体体积的两倍.这些问题的难度在于，作图 只能用直尺和圆规。伽罗瓦理论历程回顾思考Ⅲ.先有数学问题才有数学，数学在解决问题中发展.Ⅱ.感受的天才数学家们为接受人类智慧的挑战而坚持不懈的努力.Ⅰ.代数方程求解的追逐本身是一部完整的历史.