1.1 菱形的性质与判定（1）
一．备课标：
（一）内容标准：
（1）理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系
（2）探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。
（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。（4）学会独立思考，体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力。
（二）核心概念：本节课通过对菱形的性质定理的探索与证明，建立符号意识、空间观念，初步形成几何直观，发展学生的推理能力。
十大核心概念在本节课主要体现的是符号意识、几何直观、推理能力。
二、备重点、难点：（一）教材分析：
本章属于 “图形与几何” 领域，是在八年级下册第三章《图形的平移与旋转》和第六章《平行四边形》的基础上继续采用探究和证明相结合的方式研究特殊平行四边形，有助于深化学生对平行四边形的理解，是发展学生空间观念的重要载体。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。经历了七年级下册第二章《相交线与平行线》、第三章《三角形》和八年级下册第六章《平行四边形》的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
（二）重点、难点分析：本节主要是在理解概念的基础上，探索并证明菱形的性质定理，学生虽然已经具备了一定的推理能力，但是严格的推理证明还需要适时的指导，所以确定：
重点：（1）理解菱形的概念，从而理解它与平行四边形之间的关系。（2）探索并证明菱形的性质定理。
难点：证明菱形的性质定理。
三．备学情：
（一） 学习条件和起点能力分析： 1.学习条件分析：
（1）必要条件：学生已经学习了平行四边形的概念及相关性质，能够从边、角、对角线等角度说出平行四边形的性质。（2）支持性条件：学生在前面的学习中已经积累了总结概括知识的经验，能够类比已有知识框架构建新知，了解特殊图形与一般图形的关系。
2.起点能力分析学生在八年级上册学习了证明，并在此基础上在八年级下册研究过平行四边形的概念及性质，有一定的识图能力、操作能力推理能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题： 对于菱形的性质的发现，学生不存在困难，但是对于性质的证明的严密性和方法问题存在差异，针对这一问题，采取策略是：先让学生独立思考，然后小组合作，最后汇总所有的方法。
四．教学目标：
1、经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2、体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，探索“菱形四条边相等、菱形对角线互相垂直、菱形对角线互相平分”等性质，发展合情推理能力；
在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力。
五．教学过程：（一）、构建动场
活动一：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？
设计意图：
通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力。上课时让学生观察图形，从直观上把握菱形的特点，从而给出菱形的定义，让学生明确菱形不但是平行四边形，而且有其特点“一组邻边相等”。同时，要让学生体会数学来源于生活，让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩，从而提高学生学习数学的兴趣。
“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。
（二）、自主学习、合作交流
活动二：（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。
活动三：1、请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
结论：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。②菱形的四条边相等。
2、证明菱形性质通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。
已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB = CD， AD= BC （菱形的对边相等）.
又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD
设计意图：
学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生的活动过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生推理论证过程中的困难。
学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感知上升到了理性认识，充分了解了菱形的本质特征。本环节让学生进行猜想探究和证明，符合学生的认知规律。同时，操作活动得到的结论与逻辑推理相结合，是对数学知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识到理性认识的升华。
例题讲解：
例1 如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
师生共析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD ,BD=6，菱形的边长也是6。
②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，根据勾股定理就可以求出OA的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC=2OA,求出AC。
解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AB=AD(菱形的四条边都相等)
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
OB=OD= BD = ×6 =3（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABC中， ∵∠BAD=60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2
2、随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.
已知AB=5cm，AO=4cm 求 BD的长.
师生共析：从图中可以知道AC与BD互相垂直，可以构成直角△AOB，因为AB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出OB；又因为菱形的对角线互相平分，BD为OB 的两倍，这样就可以很方便的求出BD的数值了。
解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2
∴
∵ 四边形ABCD是菱形
∴BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）
所以，BD的长是6cm.
设计意图：
学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前面所学知识进行了更加深入的认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养了学生的主动探索能力，激发了学生学习的兴趣。在此活动中，教师应重点关注以下方面：（1）学生是否提出了不同的解题方法，这种方法的优点和缺点分别是什么；（2）学生的几何语言是否准确、规范、严谨；（3）给学生充分的独立思考时间和交流时间，让学生在合作交流的过程中完成题目，理解所学的知识。
（三）、综合建模
本节课我们探讨了菱形的定义、性质 ，我们来共同总结一下：
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。
设计意图：
教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获；培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力。
学生们畅所欲言自己的收获，老师对学生的回答给予充分的肯 定和鼓励，及时引导学生归纳总结本节的知识。
（四）、布置作业
必做：课本习题1.1 知识技能 1、2、3
选做： 数学理解 4
六．当堂检测：
1、菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （）
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
2、菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，AC=___,BD=____
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是____
4、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，求OH的长——
5、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，求△AEF的面积
课件21张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定(1)构建动场情景引入 如图是一个活动的平行四边形，当它的一条边平移，使得一组邻边相等，这个平行四边形会形成一个怎样的特殊平行四边形？一组邻边相等平行四边形菱形新知归纳菱形的定义 ： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。一组邻
边相等合作交流菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形
的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？1、菱形的两组对边分别平行；2、菱形的两组对边分别相等；3、菱形的两组对角分别相等；4、菱形的对角线互相平分。活动1：折一折，探究菱形特殊性质 请同学们以小组为单位，利用菱形纸片，折一折，
并回答下列问题：
1、（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，
它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴是菱形两条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。
菱形的四条边都相等。
(1)菱形的四条边相等。(2)菱形的两条对角线互相垂直
已知：如图1-1，在菱形ABCD中， AB=AD,
对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD. 活动2：证一证证明：
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD符号语言：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD（菱形的四条边都相等）（2）∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AO⊥BD
即AC⊥BD
符号语言：∵四边形ABCD是菱形对角线AC、BD相交于点O
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）性质1：菱形的四条边相等。性质2：菱形的两条对角线互相垂直
例1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.学以致用解：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD∴OB=OD= BD=3 AC⊥BD在等腰三角形ABD中∵∠BAD=60°∴ABD的等边三角形∴AB=BD=6.在Rt△AOB中OA2+OB2=AB2∴OA= = ∴AC=2OA= 变式一：在菱形ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，且AC=24,BD=10，,求菱形的周长
变式二：在菱形ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，且AC=16,菱形的周长40求BD的长ABO勾股定理: = +转化知二求一课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？学会了那些思想方法？菱形1、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.四、综合建模2、菱形的性质：
边：对边平行、四条边都相等
角：对角相等、邻角互补
对角线：对角线互相平分，互相垂直，且平分一组对角
对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形 平行四边形 ABO勾股定理: = +知二求一综合建模转化
1、菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （）
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
2、菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知
AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。
3、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，求OH的长
当堂检测 B层 A层布置作业习题1.1中
第1、2、3、4题习题1.1中
第1、2、3题结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.
条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.菱形的性质与判定（1）评测练习
一、课前诊断复习：
（1）回忆，平行四边形的性质有哪些？
项目
平行四边形的性质
边
角
对角线
对称性
二、例1 如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
变式一：在菱形ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，且AC=24,BD=10，,求菱形的周长
变式二：在菱形ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，且AC=16,菱形的周长40求BD的长
三、当堂检测：
1、菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （）
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
2、菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，AC=___,BD=____
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是____
4、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，求OH的长——
5、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，求△AEF的面积
四、课后练习：
A组：课本P4，知识技能1、2
B组：课本P4，知识技能1,2,3,4
