人教版数学八年级上册同步课时训练
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
自主预习 基础达标
要点1 角平分线的作法
1. 把一个角分成两个相等的角的 ，叫做这个角的平分线.
2. 角平分线的作法有三种： 、量角器法和 .
要点2 角的平分线的性质
1. 角平分线上的点到角两边的距离 .
2. 角是 图形，角平分线所在的 是它的对称轴.
课后集训 巩固提升
1. 作∠AOB的平分线OC，正确的顺序是( )
①分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内相交于点C；②以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；③画射线OC，射线OC就是所求作的平分线.
A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ②①③
2. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A. PC＝PD B. ∠CPO＝∠DOP
C. ∠CPO＝∠DPO D. OC＝OD
第2题 第3题
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论中正确的有( )
①AD上任意一点到点C，点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图所示，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是( )
A. PM>PN B. PM＝PN C. PM
第4题 第5题
5. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为( )
A. AD＞DE B. AD＝DE C. AD＜DE D. 不确定
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D，若AC＝5cm，则AE＋DE等于( )
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
第6题 第7题
7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为( )
A. 12cm B. 11cm C. 14cm D. 10cm
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，若CD＝m，AB＝2n，则△ABD的面积为( )
A. mn B. 5mn C. 7mn D. 6mn
第8题 第9题
9. 如图，在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，并且BD，CE相交于点O，过O点作OP⊥BC于点P，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，则OP，OM，ON的大小关系是 .
10. 如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE＝4，则两平行线间的距离为 .
11. 已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点.
求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到∠ABC两边的距离相等.(在题目的原图中完成作图)
12. 如图所示，OC平分∠AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD＝PE.
求证：∠PDO＋∠PEO＝180°.
13. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
14. 如图所示，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE.
求证：AF＝AD＋CF.
15. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请你判断FE与FD之间的数量关系.
(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 1. 射线 2. 折叠法 尺规法
要点2 1. 相等 2. 轴对称 直线
课后集训 巩固提升
1. D 2. B 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A 8. A
9. OP＝OM＝ON
10. 8
11. 解：略
12. 证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N.∵OC平分∠AOB，∴PM＝PN.∵PD＝PE，∴Rt△PMD≌Rt△PNE(HL).∴∠PEO＝∠PDM.∵∠PDO＋∠PDM＝180°，∴∠PDO＋∠PEO＝180°.
13. 解：如图，BQ就是∠ABC的平分线.证明如下：作AM⊥PQ于点M，则∠AMP＝∠AMQ＝90°.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BPD＋∠PBD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP.∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP.在△APM和△AQM中，∴△APM≌△AQM(AAS).∴AP＝AQ.
14. 证明：作EG⊥AF于点G.又∠D＝90°，∠DAE＝∠FAE，∴ED＝EG.在△ADE和△AGE中，∠DAE＝∠FAE，∠ADE＝∠AGE＝90°，ED＝EG.∴△ADE≌△AGE(AAS)，∴AG＝AD.连接EF，在Rt△EGF和Rt△ECF中，∵EG＝ED＝EC，EF＝EF.∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL).∴GF＝CF.∴AF＝AG＋GF＝AD＋CF.
15. 解：在OM，ON上分别取OA，OB，使OA＝OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD，则△OAD与△OBD全等，如图①：
(1)FE与FD之间的数量关系为FE＝FD. (2)结论EF＝FD仍然成立.
证法一：如图②，在AC上截取AG＝AE，连接FG，则△AEF≌△AGF，∴∠AFE＝∠AFG，FE＝FG.由∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3＝60°.∴∠AFE＝∠AFG＝∠CFD＝∠2＋∠3＝60°.∴∠CFG＝180°－60°－60°＝60°，∴∠CFG＝∠CFD.由∠3＝∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD.∴FG＝FD，∴FE＝FD.
证法二：如图③，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，FI⊥AC于点I.∵∠B＝60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴∠2＋∠3＝60°，∠EFA＝∠2＋∠3＝60°，∴∠GEF＝60°＋∠1.又由角平分线的性质可得FG＝FI＝FH.又∵∠HDF＝∠B＋∠1，∴∠GEF＝∠HDF.因此由∠EGF＝∠DHF，∠GEF＝∠HDF，FG＝FH可证△EGF≌△DHF，∴FE＝FD.
