人教版数学八年级上册同步课时训练
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定及应用
自主预习 基础达标
要点1 角平分线的判定
角的内部到角两边距离 的点在角的平分线上.
要点2 三角形的角平分线的应用
1. 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离 .
2. 三角形的角平分线是 ，都在三角形的 .
课后集训 巩固提升
1. 如图，在CD上找一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )
A. 线段CD 的中点 B. CD与过点O的CD的垂线的交点
C. CD与∠AOB的平分线的交点 D. 以上都不对
第1题 第2题
2. 如图所示，点P到AE，AD，BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点.其中正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3. 如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是( )
A. ∠1>∠2 B. ∠1＝∠2 C. ∠1<∠2 D. 不能确定
第3题 第4题
4. 如图所示，点P是△ABC内一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PD＝PE，则点P在 的平分线上.
5. 如图，P在∠AOB的内部，PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，PD＝PC，若∠AOP＝(2x－10)°，∠BOP＝(x＋5)°，则∠AOB＝ .
第5题 第6题
6. 如图所示，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为12，10，6，其三条角平分线的交点为O，若OD⊥AB，且OD＝2，则△ABC的面积为 .
7. 如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠PAQ＝∠APQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，其中正确的是 .(填序号)
8. 如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.
求证：AD是∠BAC的平分线.
9. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠ABC与∠CAB的平分线的交点.你能求出点O到边AB的距离吗？是多少？
10. 如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG＝MN，△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由.
11. 如图所示，在△ABC中，AC＝BC，在△DEC中，CD＝CE，且∠DCE＝∠ACB，AD与BE相交于点P.
求证：PC平分∠BPD.
12. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P.
(1)延长BA至点E，求证：PA平分∠CAE；
(2)若∠BPC＝40°，求∠CAP的度数.
13. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D是AB上一点，AE⊥CD于点E，且AE＝CD，BD＝8cm，求点D到AC的距离.
14. 如图，已知在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.连接AM.
(1)AM是否平分∠BAD？请证明你的结论.
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 相等
要点2 1. 相等 2. 线段 内部
课后集训 巩固提升
1. C 2. A 3. B
4. ∠C
5. 30°
6. 28
7. ①②
8. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠DFC＝90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC.∴DE＝DF.∴AD是∠BAC的平分线.
9. 解：过点O作OP⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为P，D，E，连接OC.设OP＝h.∵点O是∠ABC与∠CAB的平分线的交点，∴OP＝OE＝OD＝h.∵S△ABC＝S△ABO＋S△OBC＋S△AOC，∴×5×12＝×13h＋×12h＋×5h，∴h＝2，即点O到边AB的距离为2.
10. 解：点P在∠AOB的平分线上.理由如下：作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E.∵S△PFG＝FG·PD，S△PMN＝MN·PE，S△PFG＝S△PMN，∴FG·PD＝MN·PE.又∵FG＝MN，∴PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线上.
11. 证明：过点C作CM⊥BP于点M，CN⊥PD于点N.∵∠DCE＝∠ACB，∴∠DCE＋∠ACE＝∠ACB＋∠ACE，即∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS).∴AD＝BE，S△ACD＝S△BCE，即AD·CN＝BE·CM，∴CM＝CN，又CM⊥PB，CN⊥PD，∴PC平分∠BPD.
12. (1)证明：过点P分别作BC，AC，BA的垂线，垂足分别为M，N，Q.∵CP平分∠ACD，∴PM＝PN.同理，PM＝PQ.故PN＝PQ，∴PA平分∠CAE.
(2)解：∵∠ACP＋∠BPC＝∠ABP＋∠BAC①，∠ACD＝2∠ACP＝∠ABC＋∠BAC＝2∠ABP＋∠BAC②.由①×2－②，得2∠BPC＝∠BAC，∴∠BAC＝2∠BPC＝80°，故∠CAP＝(180°－∠BAC)÷2＝50°.
13. 解：分别延长AE，CB相交于点F，过点D作DM⊥AC于点M.∵∠ABC＝90°，AE⊥CD，∴∠FAB＋∠F＝90°，∠FCE＋∠F＝90°，∴∠FAB＝∠FCE.在△ABF和△CBD中， ∴△ABF≌△CBD(ASA).∴AF＝CD.∵AE＝CD，∴AE＝AF＝EF.在△ACE和△FCE中，∴△ACE≌△FCE(SAS).∴∠ACE＝∠FCE.又∵DM⊥AC，DB⊥BC，BD＝8cm，∴DM＝DB＝8cm，即点D到AC的距离为8cm.
14. 解：(1)AM平分∠BAD.证明如下：过点M作ME⊥AD，垂足为E，如图所示.∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME＝MC.又∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴ME＝MB，又∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴点M在∠BAD的平分线上，即AM平分∠BAD.
(2)DM⊥AM.理由如下.∵∠B＝∠C＝90°，∴CD∥AB，∴∠CDA＋∠DAB＝180°.又∵∠1＝∠CDA，∠3＝∠DAB，∴2∠1＋2∠3＝180°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AMD＝90°，即DM⊥AM.
