必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计
一．教材分析
本课是《普通高中新课程标准实验教科书﹒数学（5）》（人教B版）第一章第一节《正弦定理》。根据我所任教的学生情况，我将《正弦定理》划分为两个课时，这是第一课时。正弦定理的主要内容是用正弦定理解三角形，是典型的用代数方法解决几何问题的类型，在生活、测绘中有广泛的应用。提出一个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。。在教学过程中，引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：
（1）已知两角和一边，解三角形；
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二．学情分析
正弦定理是学生在必修（4）已经系统学习了三角函数，明确了三角函数基本概念，而且已经知道直角三角形的边角关系基础上进行的。高二学生对生产生活问题比较感兴趣，本节课由实际问题出发探究三角形边角之间的关系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，得出正弦定理。
三．设计思想
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。在本节课的教学中，我努力做到以下两点：
（1）在课堂中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
四．教学目标
（1）知识与技能 ： 通过对任意三角形边角关系的探究，引导学生通过观察，猜想，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理， 掌握正弦定理的内容，能用其解三角形；同时能用其解决一些和测量有关的实际问题
（2）过程与方法 ：经历猜想、证明、发现正弦定理的过程，培养学生的创新意识和合作交流意能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，学会由特殊到一般和分类讨论的思想方法。
（3）情感态度与价值观：通过学生之间、师生之间的探究、合作、交流，培养学生勇于探索，善于发现，不畏艰辛的创新品质，增强学生的成功心里，激发学生学习数学的兴趣。
五．教学重点与难点
教学重点：正弦定理的证明及应用
教学难点：理解及掌握证明方法，感受在证明过程 中蕴含的数学思想。
六．教法、学法分析
教学方法：教学过程中以学生为主体，创设和谐、愉悦的教学环境。根据本节课内容和学生认知水平，我采用探究式课堂教学模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
学法指导：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习、观察、类比、思考、探究、动手尝试相结合，增强学生由特殊到一般的数学思维能力和锲而不舍的求学精神。
教学手段：利用多媒体展示图片，极大的吸引学生的注意力，活跃课堂气氛，调动学生参与解决问题的积极性。利用探究学案，让学生小组合作探究，培养探索精神和构建民主平等和谐的课堂文化。
七．教学过程
1.创设情境，引入新知
济南园博园占地5176亩，主要有齐鲁园，国内园，国际园三个展区，为节省游园时间，可坐船往返于三个展区，游船以3m/s匀速行驶，从齐鲁园码头至国内园码头需沿着东偏北60o方向行驶，用时5分钟，从国内园码头至国际园码头需沿着东偏南45o方向行驶，需用时几分钟？
设计意图：从生活中的问题出发，有助于激起学生的兴趣，激发学生学习新知的兴趣和欲望；同时，让学生感受数学存在于生活中，渗透简单的数学建模思想。
问题1：在直角三角形中，锐角的正弦是如何定义的
在学生原有认知水平基础上让学生自己找到在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系？
引导思考：那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？
得到的这个等式，说明了在Rt△ABC中，各边、角之间存在什么关系？
（各边和它所对角的正弦的比相等）
设计意图：以旧引新, 打破学生原有认知结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展. 从直角三角形边角关系切入, 符合从特殊到一般的思维过程。
在学生得到关系式的前提下，教师提出问题：
问题2此关系式能不能推广到任意三角形？让学生发挥想象自己得到猜想。
猜想：在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即：
设计意图：鼓励学生大胆拓广, 主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.为将来合理提出新思想、新概念奠定基础。这样做符合学生的最近发展区，为学生进一步完善正弦定理的推导奠定了基础。同时也体现了从特殊到一般的研究方法。
2 深入认知，推理证明
问题3：在锐角△ABC中，如何构造并表示a与sinA,b与sinB的关系呢?
为了充分发挥学生的主动性，让学生以小组为单位，合作交流，探究问题的证明。根据预设学生的困难点是添加辅助线作高，为此我设计以下问题引导学生完成证明。
问题4：能否构造直角三角形将问题化归为直角三角形问题解决呢？我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们能否得到这个边，角关系准确量化的表示呢？
当△ABC是锐角三角形时，证明相对复杂，所以教师把证明拆分成多个小问题，依次逐步向学生提问，在问题中解决证明。
①需要证明几个等式，可以怎么组合？ （不妨先证明）
②前边学习了直角三角形中边角关系，这里有没有直角三角形？
怎么产生直角三角形？
③需要找那些量的关系？这些量在哪些三角形里出现了？
④△BCD、△ACD有什么关系？能不能建立这些量的关系？怎么建立？
【学情预设：在教师引导下，发现以CD为中间量，找到等式a﹒sinB=b﹒sinA ，进而变形即得】
【学情预设：学生发现只需再证明或即可，同时经历了以上证明，学生能够观察出只需要再做一高AE，同理可证】
当△ABC为锐角三角形时，证完。
师：把C角变成钝角，等式还成立吗？
师：能不能类似锐角三角形的情况证明？
教师组织学生分组讨论，根据情况选择一组推荐一人上台演示。
学情预设：类似锐角三角形的情况，学生由三角函数基本知识，能够逐步找出问题的答案，发现即b·sin∠ACB=c·sinB，变形即得
设计意图：学生先独立思考，寻求解决问题的途径，有了想法后再小组讨论，观察学生的动态，找一个数学基础一般但又能解决此问题的学生板演示范，让学生享受跳一跳能摘到桃子的成就感。学生类比上述过程完成钝角三角形中等式的证明，从而突破了教学难点。进而培养学生的逻辑思维能力、推理论证能力。学生的思维活跃，会想到其他证法，鼓励学生大胆创新，积极进取。教师通过微课程向学生呈现，微课是传统课堂教学的重要补充和拓展，是学生个性化阅读和课外延伸的最好载体。
综上所诉，在任意三角形中， 成立，指出这即是三角形正弦定理。
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；即
设计意图：感受正弦定理的形成过程，通过问答方式把复杂的证明过程简单化，有利于学生理清思路，同时，能在轻松愉悦的环境中学习
教师带领学生分析定理，总结：（1）正弦定理反映的是边和对角的关系 （2）边和对角的比值相等，分子是边，分母就是对角，结构对称。（3）任取一等式有四个量，两组边和对角，知道三个任意可求。感受数学的美。
3.理解定理，合理应用
为了巩固所学知识，培养应用意识，进入典例剖析这一环节。求：其他边和角的大小（保留根号）。
变式练习1：本题中如果把c=10改为b=10,其它条件不变，你能求出其它量吗？
设计意图：例1较简单，预测学生能独立解答。老师先对各个小组学习成果作出即时性评价，再用多媒体展示完整的解题过程，正弦定理得到了及时应用，突出了本节课的教学重点。
例2：在三角形ABC中求A
变式练习2：本题中若把B=450改为A=300,其它条件不变,求B.
设计意图：进一步熟悉正弦定理，明确用它解三角形需要什么条件，根据课前预设会有漏解情况，学生先独立思考，再小组交流，老师巡视后在屏幕上展示学生的正解和误答，裸露学生的思维过程，发现问题并解决问题，培养学生细心、严谨的科学态度。为第二课时深层次讨论解的个数问题，打下良好的基础。
根据例1、例2引导学生总结正弦定理的应用。
问题5.在解三角形中，正弦定理可以解决哪几类问题？
师生共同总结：（1）已知两角一边，求其他边和角；（2）已知两边与其中一边对角，求其他边和角。
4. 当堂检测，及时反馈
设计意图：检测本节课的掌握程度，培养同学们堂堂清，日日清的好习惯！
5.总结反思 提高认识
师：本节课你学到了什么，从知识和思想方法两个方面总结
学情分析：学生可能会说到正弦定理，解三角形；教师适时引导同学们想想关于正弦定理的证明，用正弦定理可以测出达不到的两点间的距离
设计意图：（1）再次回顾正弦定理及其应用 （2）感受这堂课所涉及的数学思想方法
6.分层作业 自主探究
1必做题：课本P5：练习1、 2；
2选做题：正弦定理 中，请研究常数与外接圆半径之间关系。
3开放式作业：将正弦定理的其它证明方法写成论文。
设计意图：针对学生的学习水平层次进行分类，目的是让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心,真正体现“人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展”。
评测练习
1、一个三角形的内角分别为和，如果角所对的边长是4，则角所对的边长为________；
2 中，sinA:sinB:sinC=5:7:8,a+b+c=100,则 ，
已知的外接圆半径是1，则 ___________；
在中，解三角。
7. 板书设计
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1、定理：
2、证明方法：
?
§1.1.1正弦定理（第1课时）
例1：
例2：
总结：
小结：
（一）知识：
（二）方法：
8.教学反思
本课采用探究发现式教学方法，以问题为教学出发点，设计问题情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注重数学方法的融入和渗透。整个教学设计中，特别注重以下几个方面：
（1）重视学生的学习体验，突出他们的主体地位，训练他们从特殊到一般，归纳总结的学习方法。
（2）注重将正弦定理的学习和生活实例结合起来，让学生感受带数学源于生活。
（3）开放课堂，注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣。
课件13张PPT。1.1.1正弦定理济南园博园占地5176亩，主要有齐鲁园，国内园，国际园三个展区，为节省游园时间，可坐船往返于三个展区，游船以3m/s匀速行驶，从齐鲁园码头至国内园码头需沿着东偏北60o方向行驶，用时5分钟，从国内园码头至国际园码头需沿着东偏南45o方向行驶，需用时几分钟？情境引入，提出猜想问题1在直角三角形中，锐角的正弦是如何定义的 成立么？结论：直角三角形中问题2上式能否推广到一般的三角形中呢？ 情境引入，提出猜想能找出这三个式子的
等量关系么问题4能否构造直角三角形将问题化归为直角三角形问题
解决呢？ 在锐角△ABC中，如何构造并表示a与sinA, b与sinB的关系呢? 问题3 深入认知，推理证明 深入认知，推理证明( 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?D如图:作AB上的高是CD,根椐
三角形的定义,得到E在钝角 中，交 的延长线于点 D ，则即即作即同理可证:因此深入认知，推理证明理解定理，合理应用正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
（已知两角和任意边，解三角形）变式练习1：
本题中如果把c=10改为b=10,其它条件不变，你能求出其它量吗？理解定理，合理应用C4待求角（已知两边和其中一边的对角,解三角形）变式练习2：
本题中若把B=450改为A=300,其它条件不变,求B.理解定理，合理应用理解定理，合理应用当堂检测，及时反馈方法层面知识层面1.正弦定理：
2.主要应用： (1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；
(2) 已知两边和其中一边的对角，可 以求出三角形的其他的边和角。(此时 可能有一解、二解、无解）
分类讨论
从特殊到一般
化归
类比总结反思 提高认识面对挑战，敢于超越！ 分层作业 自主探究1必做题：课本P5：练习1、 2；
2选做题：正弦定理 中，
请研究常数与外接圆半径之间的关系。
3开放式作业：将正弦定理的其它证明方法写成论文。
