课件50张PPT。第二章2.1
离散型随机变量及其分布列2 突破常考题型题型一1 理解教材新知题型二题型三3 跨越高分障碍4 应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二知识点三题型四随机变量 [提出问题]
问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[导入新知] 试验 随机变量X，Y，ξ，η，… 一一列出离散型随机变量的分布列 p1 p2 pi pn 分布列 1 两个特殊分布1－pp超几何分布 离散型随机变量 离散型随机变量分布列的性质 离散型随机变量的分布列 超几何分布的应用 [解题流程]求X的分布列就是求P(X＝k)的值 由球的编号知X的取值，再根据古典概型计算概率的公式求解P(X＝k )[名师批注]答案：C 答案：B第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.2 离散型随机变量的分布列
第1课时 离散型随机变量的分布列
A级 基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )
A．25 B．10 C．9 D．5
解析：第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．
答案：C
2．已知10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
解析：对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量， B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．
答案：C
3．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
X
1
2
3
4
P
p
则p等于( )
A. B. C. D.
解析：由＋＋＋p＝1，解得p＝＝.
答案：D
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m，k＝1，2，3，则m的值为( )
A. B. C. D.
解析：P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.
答案：B
5．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝( )
A. B. C. D.
解析：依题意有P(X＝3)＝＝.
答案：D
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a、b、c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________．
解析：由a＋b＋c＝1及2b＝a＋c，得b＝，所以P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝.
答案：
7．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ＞8)＝________．
解析：依题意有P(ξ＞8)＝×8＝.
答案：
8．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
解析：由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
答案：0 0.55
三、解答题
9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X.求随机变量X的分布列．
解： X可取3，4，5，6，7.其中X＝3表示取出分别标有1，2的2张卡片，P(X＝3)＝＝；
X＝4表示取出分别标有1，3的2张卡片，P(X＝4)＝＝；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的2张卡片，P(X＝5)＝＝；
X＝6表示取出分别标有2，4的2张卡片，P(X＝6)＝＝；
X＝7表示取出分别标有3，4的2张卡片，P(X＝7)＝＝.
所以变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
7
P
10.某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：
A小区
低碳族
非低碳族
比例
B小区
低碳族
非低碳族
比例
C小区
低碳族
非低碳族
比例
(1)从A，B，C三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；
(2)在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列．
解：(1)记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A，P(A)＝××＋××＋××＝.
(2)在B小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
B级 能力提升
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝ ( )
A. B. C. D.
解析：由＜ξ＜知ξ＝1，2，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
答案：D
2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．
解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3时，有P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10.
答案：10
3．(2015·安徽卷)已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
所以，X的分布列为：
X
200
300
400
P
§2．1．1离散型随机变量
教学目标：
知识目标：1.理解随机变量的意义；
2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；
3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.
能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.
情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.
教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义
教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义
授课类型：新授课
课时安排：1课时
内容分析：
本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题
教学过程：
一、复习引入：
展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲
某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；
某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示
在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?
观察，概括出它们的共同特点
二、讲解新课：
思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .
在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．
定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y，，，… 表示．
思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．
例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .
利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？
定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….
思考3：电灯的寿命X是离散型随机变量吗？
电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量．
在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：
与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．
连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上
（2）若是随机变量，是常数，则也是随机变量
三、讲解范例：
例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η
解：(1) ξ可取3，4，5
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，…
η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点
例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?
解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2
(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．
所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
四、课堂练习：
1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数；②长江上某水文站观察到一天中的水位；③某超市一天中的顾客量 其中的是连续型随机变量的是（ ）
A．①； B．②； C．③； D．①②③
２.随机变量的所有等可能取值为，若，则（ ）
A．； B．； C．； D．不能确定
3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）
A．； B．； C．； D．
4.如果是一个离散型随机变量，则假命题是( )
A. 取每一个可能值的概率都是非负数；B. 取所有可能值的概率之和为1；
C. 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D. 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
答案：1.B 2.C 3.B 4.D
五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a、b是常数)也是随机变量
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、教学反思：
1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题，实现学生实质意义的参与.
2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差
【解析】 两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．
【答案】 A
2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
【解析】 由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.
【答案】 B
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
【解析】 ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．
【答案】 D
4．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( )
A．0≤X≤5，X∈N
B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N
D．－5≤X≤5，X∈Z
【解析】 两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5,5](X∈Z)．
【答案】 D
5．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为( )
A．X＝4 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤4
【解析】 第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
【答案】 C
二、填空题
6．(2018·广州高二检测)下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．
①某宾馆每天入住的旅客数量是X；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数是X.
【解析】 ①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．
【答案】 ②
7．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．
【解析】 可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，
－300分．
【答案】 300,100，－100，－300
8．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．
【解析】 后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．
【答案】 24
三、解答题
9．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.
(1)写出ξ的所有可能取值；
(2)写出{ξ＝1}所表示的事件．
【解】 (1)ξ可能取的值为0,1,2,3.
(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．
10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．
【解】 (1)ξ可取0,1,2,3,4,5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．
(2)η可取0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．
[能力提升]
1．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A．20 B．24 C．4 D．18
【解析】 由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24种．
【答案】 B
2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7
C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5
【解析】 由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.
【答案】 B
3．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种.
【解析】 {ξ＝6}表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C·C＝20种．
【答案】 20
4．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值，并说明这些值所表示的试验结果．
【解】 ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.
“ξ＝0”表示第1盏信号灯就停下；
“ξ＝1”表示通过了1盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；
“ξ＝2”表示通过了2盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；
“ξ＝3”表示通过了3盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；
“ξ＝4”表示通过了4盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地.
随机变量及其分布
§2.1 随机变量
概念
对于随机试验：
E
甲,乙两人同时向某目标射击一次
中靶情况
E: ，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。
定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X。
分类
离散型随机变量
非离散型随机变量
§2.2 离散型随机变量
一(离散型随机变量的分布
设离散型随机变量可能取的值为:
取这些值的概率为
P(X=i)= pi ,i=1,2,... (2.1)
称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:
X
…
…
P
…
…
上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：
离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。
根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质
（1）pi0,i=1,2,...
（2）
常见的几种分布
单点分布
例: 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）
2、0-1分布
例: 若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为
X
0
1
P
q
p
0
则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。
几何分布
例: 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0 X
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
q2p
…
qk-1p
…
或记为
()=, k=1,2, ...
则称X服从参数为p的几何分布。
4、超几何分布
例: 设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定nN-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为
,m=0,1…,k,k=min(M,n)
则称X服从超几何分布。
二项分布
在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为
P( X= k )=,k=0,1,2,(,n,称X服从参数为n，p的二项分布。记为 。
例2:P39.
例3:P40.
在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？
泊松分布
定义 若离散型随机变量X的分布为，k=0,1,2,( 其中常数(>0，则称X服从参数为(的泊松分布,记为。
泊松Poisson定理P41, 设有一列二项分布X～B(), n=1, 2, ...,如果 , 为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有
证略。
例5:P43.
例6:P44,自学。
§2.3 随机变量的分布函数
一、概念
定义2.1 设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数,令
(2.11)
则称F（）为X的分布函数。
例1:（书上例2.8） 设X服从参数为p的（0-1）分布，即：,= 0,1,其中0例: 设R.V. X的分布函数为
求X的概率分布。
二、性质
性质1 若1<2,则F(1)(F(2).即F()是的单调不减函数。
性质2 对任意的实数，均有
0( F()(1 (2.15)
且
(2.16)
(2.17)
性质3 对任意的实数0,有
(2.18)
即F()在轴上处处右连续。
证明见P-44.
性质4 若F()在X=0处连续，则P(X=0)=0
性质5 P(a例: 设R.V.X的分布为
确定A ,且求P(-1<(2)
§2.4 连续型随机变量
定义2.2
设随机变量X的分布函数为F(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数，均有
F()= (2.20)
则称X是连续型随机变量，称f()是X的概率密度或密度函数，简称密度。
二、图形
例如：正态分布
密度函数图形：
data normal;
do i=-3 to 3 by 0.01;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
分布函数图形：
data normal;
do x=-3 to 5 by 0.01;
y=PROBNORM(x);
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot y*x=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
三、性质
性质1 f()0 (2.21)
性质2 (2.22)
性质3 P(a= (2.23)
性质4 在f()的连续点处，有
= (2.24)
性质5 在f()的连续点处，当>0,且很小时，有
P(几点说明：
由5可以看出f()值的大（小）反映R.V.X在邻域概率的大（小）。
连续型随机变量X取任一点0的概率为零。即：P(X=0)=0。
连续型随机变量X的密度函数为f(),则它取值于区间（a,b）、（a,b]、[a,b）、[a,b]上的概率都相等，即
同理，。
4．连续型R.V.X的F()是连续函数。但f()不一定是连续的。
例1：（P51）设计R.V.X具有概率密度
确定常数K,并求P{X>0.1}
指数分布：
例：(第一版)设R.V.
(1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F(); (3)P。
例：(第一版) 已知随机变量
确定A和B；（2）求；(3)求
二、均匀分布
例：设R.V.，称X在[,b]上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P(( 定义：若随机变量X的概率密度为
则称X在[]上服从均匀分布，记为X～U[a,b],相应的分布函数为
一般地，设是轴上一些不相交的区间之和，若的概率密度为
则称X在D上服从均匀分布。
如果，则对于满足的任意的,有 = (2.32)
三、指数分布
若随机变量X的概率密度为
（2.33）
其中常数，则称X服从参数为(的指数分布，相应的分布函数为
(2.34)
例：（第一版书上例2.12） 经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的(th内损坏的概率为，其中(是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略
四、正态分布
1、定义： 若随机变量X的概率密度为
, (2.35)
其中都为常数且，则称X服从参数为的正态分布，记为，有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为
（2.36）
验证
作出的图形
，得驻点，
得，
作图SAS程序：
data normal;
do i=-3 to 3 by 0.01;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。
data normal;
retain _seed_ 0;
do _i_ = 1 to 1000;
z = 0 + 1 * rannor(_seed_);
output;
end;
drop _seed_ ;
run;
proc gplot data=normal;
plot z*_i_=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
性质：
f(x)的图形是关于直线x=(对称的曲线
为最大值，当x远离(时，f(x)(0
当(固定而(变化时对图形的影响，(小
大，分布曲线在形成陡峭的高峰。
(大小，分布曲线在变成缓峰。
(=2, (=0.5, 1, 2
data normal;
do i=-2 to 6 by 0.01;
z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));
z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));
output;
end;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
(=2, (=0.5, 1, 2, 5, 10图形：
data normal;
do i=-5 to 9 by 0.01;
z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));
z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));
z3=exp(-(i-2)**2/(2*25))/(5*sqrt(2*(3.1415926)));
z4=exp(-(i-2)**2/(2*100))/(10*sqrt(2*(3.1415926)));
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 z3*i=1 z4*i=1 /overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
当(固定而当(变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。
如图：(=1, (=0, 2
data normal;
do i=-3 to 5 by 0.01;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1/overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
分布函数图：
data normal;
do x=-5 to 10 by 0.01;
y=PROBNORM(x);
output;
end;
run;
proc gplot data=normal;
plot y*x=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;
3、标准正态分布与有关概率的计算
若,则称X服从标准正态分布，其概率密度、分布函数分别记为
(x)= (2.37)
Φ(x)= (2.38)
注意：Φ(0)=0.5
Φ(-x)=1-Φ(x)
一般，若，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。
引理(P55):若，则
证：
作变换,…….
学会查附表2：标准正态分布表。注意表中公式的正确形式为：
注：如果用SAS算出附表2，需要时间不到1秒钟。
data normal;
do z=0 to 4 by 0.01;
Prob=PROBNORM(z);
output;
end;
proc print noobs;
run;
这样还可以算出其它任意条件的概率。如利用
即
(2.43)
对任意的实数1,2 (1<2)，利用(2.43)式可得
Φ() (2.44)
1-Φ() (2.45)
Φ()-Φ() (2.46)
比如：, (=1.5 (=2时：
全部概率值：
data normal;
do z=0 to 4 by 0.01;
Prob=PROBNORM((z-1.5)/2);
output;
end;
proc print noobs;
run;
P(X>0)=
data ;
Prob=1- PROBNORM((0-1.5)/2); Put prob=;
Run;
Prob=0.773372647
P(-1data ;
Prob= PROBNORM((2-1.5)/2)- PROBNORM((-1-1.5)/2); Put prob=;
Run;
Prob=0.493056552
例1： X服从N(1,4),求P(x(1.6) , P(04)
解：请大家通过变换后查表得出结果。并与下面的结果进行对比。
data ;
prob=probnorm((1.6-1)/2); put prob=;
prob=probnorm((1.6-1)/2)- probnorm((0-1)/2); put prob=;
prob=1-probnorm((4-1)/2)+probnorm((-4-1)/2); put prob=;
run;
P(x(1.6)=0.6179114222
P(0P(|x|>4)=0.0730168666
例3 P56 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少
解：
(1)
data ;
prob=probnorm((89-90)/0.5); put prob=;
run;
P(X<89)=0.0227501319
(2)要求0.99(P{X>80}
即 P{X<80}(0.01
P{(X-d)/0.5<(80-d)/0.5}(0.01
(80-d)/0.5(-2.326347874
data;
Z=probit(.010); put Z=;
run;
Z=-2.326347874
定义：设X~N(0, 1)，若满足条件
,
则称点为标准正态分布的上分位点。
书上57页图
例：
下分位数：
data;
Z1=probit(.001); put Z1=;
Z2=probit(.0025); put Z2=;
Z3=probit(.005); put Z3=;
Z4=probit(.010); put Z4=;
run;
Z1=-3.090232306 ()
Z2=-2.807033768 ()
Z3=-2.575829304 ()
Z4=-2.326347874 ()
上分位数：
data;
Z1=probit(1-.001); put Z1=;
Z2=probit(1-.0025); put Z2=;
Z3=probit(1-.005); put Z3=;
Z4=probit(1-.010); put Z4=;
run;
Z1=3.0902323062
Z2=2.8070337683
Z3=2.5758293035 [来源:数理化网]
Z4=2.326347874
本人不同意分为上下分位数，分位数就是分位数，定义为：
若满足条件
,
则称点为随机变量的分位数。
单边的, 双边的，
注意和以均值为中心，1,2,3倍标准差宽度区间的概率值的区别。
SAS的两种计算公式：
data;
p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;
p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;
p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;
run;
p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039
[来源:www.shulihua.net]
data;
p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;
p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;
p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;
run;
p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039
也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。
Data;
q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=;
run;
q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959
data;
q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;
q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;
q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;
run;
q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959
注意：为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差距离。
Data;
q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=;
q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=;
run;
q1=1.644853627
q2=1.9599639845
q3=2.326347874
q3=2.5758293035
比如，
=0.95
等的结论也是常用的。几乎都成常识了。
[来源:www.shulihua.net]
以下例1---4为第一版内容。
例1： X服从N(1,4),求P(x(1.6) , P(14)
例2： 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少
例：（书上例2.14） 某市高校高等数学统考，假定考生成绩X～。现已知80分以上者占总人数的33%,40分以下者占总人数的8%,求考生的及格率（即60分以上者占总人数的百分比）。
例3：（书上例2.15） 一桥长60cm,以桥的中心为原点，沿着桥的方向引入坐标轴如书上图2-10。一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥，假定弹着点的坐标X～N.(1)求投掷一枚炸弹，命中此桥的概率p；(2)问独立重复投掷多少枚炸弹，才能使至少有一弹命中此桥的概率大于0.9。
例4：(书上例2.16) 甲,乙,丙三个工厂生产同一种产品且产量相等。它们的产品每件某种物质的含量（单位：mg）分别为，且, , .（1）今从三个厂的产品中任取一件，求这件产品某种物质的含量大于55mg的概率。（2）今从三个厂的产品中独立地任取两件，求这两件产品某种物质地含量都不大于55mg的概率。
§2.5 随机变量函数的分布
若X是离散型随机变量
X
…
…
…
…
P
…
…
例1 P58，已知X分布列为
X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4
求Y=(X-1)2的分布列
解：Y的所有可能取的值为0，1，4.
例1 (第一版) 已知X分布列为
X -2 –1 0 1 2
P 1/6 1/4 1/6 1/4 1/6
求Y=(1/2)X2的分布列
解：Y的所有可能取的值为：0，1/2, 2
练习。。
二、X是连续型随机变量
当是单调函数
例2，P58页：
例3，P59
定理 若连续型随机变量X只在上取值，它的概率密度为，又是严格单调的可导函数，则是连续型随机变量，其概率密度为
其中是的反函数，是的值域。
[来源:数理化网]
例1 (第一版)， 第二版，P60例4， 设R.V.X~N(), 求的概率密度（是常数）
法一、用公式 ~
是单调函数，可直接用公式。
的反函数为，
~
,
可知 ~ 。
法二、直接法，见书P-57~58（第一版）。答案同上。
小结：正态分布R.V的线性函数仍是正态R.V。
例5，P61。。。
例2 （第一版） 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明： 在区间[0，1]上服从均匀分布。[来源:数理化网]
法一、公式法；法二、直接法。
当是非单调函数 （第一版）
例1：X服从N(0,1)，求Y=X2的概率密度。
例2：已知连续型随机变量X的概率密度为
求的概率密度。
本章习题：
1，3，4，5，18，19，23，25，26，27，29，30.
www.shulihua.net
w。w-w*k&s%5￥u
课件31张PPT。 第 二 章 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列
2．1.1 离散型随机变量自主学习 新知突破1．理解随机变量的意义．
2．学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子．
3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X.
[问题] X取什么数字？
[提示] X＝0,1,2，…，10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．
[问题] 这种试验的结果能用数字表示吗？
[提示] 可以，用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．1．定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个______________都用一个______________表示，在这个对应关系下，______随着____________的变化而变化．像这种随着____________变化而变化的变量称为随机变量．
2．表示：随机变量常用字母____，____，____，____，…表示．随机变量试验结果确定的数字数字试验结果试验结果XYξη所有取值可以_____________的随机变量，称为离散型随机变量．离散型随机变量一一列出理解随机变量应注意的问题
(1)试验是在相同的条件下重复进行的，试验的所有可能结果是有限的、明确的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定会出现哪一个结果．
(2)有些随机试验结果不具有数量性质．如掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这两种结果不具备数量性质，但可以用0表示正面向上，1表示反面向上，即随机变量将随机试验结果数量化．1．下面给出的随机变量中离散型随机变量的个数是( )
①某机场候机室中一天的乘客流量ξ；
②某水文站观测到的一天中长江的水位ξ；
③连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数η；
④掷一枚骰子，正面向上的点数η.
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析： ①③④中的随机变量的取值，可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；②中的ξ取某一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变量．
答案： B2．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为( )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标 D．前5次均未击中目标
解析： 射击次数X是一随机变量，“X＝5”表示试验结果“前4次均未击中目标”．
答案： C
3．一个袋中装有5个白球和5个红球，从中任取3个．其中所含白球的个数记为ξ，则随机变量ξ的值域为________．
解析： 依题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，故ξ的值域为{0,1,2,3}．
答案： {0,1,2,3}4．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2014年5月1日的旅客数量；
(2)2012年某天收看中超联赛的人数；
(3)抛两枚骰子，出现的点数之和；
(4)表面积为24 cm2的正方体的棱长．解析： (1)旅客数量可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)在中超联赛播放的时刻，收看人数的变化是随机的，可能多、可能少，因此是随机变量．
(3)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种情况，每种情况出现是随机的，是随机变量．
(4)正方体的表面积为24 cm2.一个面的面积为4 cm2，∴棱长为2 cm为定值，不是随机变量.合作探究 课堂互动离散型随机变量的判定 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天三维设计公司信息台接到咨询电话的个数；
(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
[思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况． (1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量．
[规律方法] 1.判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．
2．随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．1．下面给出四个随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数ξ；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某网站1分钟内的访问次数ξ；④1天内的温度η.
其中是离散型随机变量的为( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④解析：
答案： C随机变量的取值及表示结果 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数ξ；
(2)袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从中随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ. [思路点拨] [规律方法] 解决这类问题的步骤：
(1)确定随机变量ξ的所有可能取值；
(2)说明随机变量ξ的取值所表示的随机试验的结果；
(3)检验．当随机变量的某个值表示的试验结果有多个时，应综合考虑，细心检查，不能遗漏某些试验结果． 2．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果．
(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是一个随机变量；
(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．
解析： (1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.
{X＝0}，表示“抽出0件次品”；
{X＝1}，表示“抽出1件次品”；
{X＝2}，表示“抽出2件次品”；
{X＝3}，表示“抽出3件次品”；
{X＝4}，表示“抽出4件次品”．
(2)随机变量ξ可能的取值为：0,1,2,3.
{ξ＝0}，表示“取出0个白球，3个黑球”；
{ξ＝1}，表示“取出1个白球，2个黑球”；
{ξ＝2}，表示“取出2个白球，1个黑球”；
{ξ＝3}，表示“取出3个白球，0个黑球”．
【错解】 ξ的可能取值为：0,1 000,3 000, 4 000,6 000，9 000，10 000.
[提示] ①对题目背景理解不准：比赛设三关，前一关不过是不允许进入下关比赛的，而错解中理解为可进入下一关；②对题目中的条件忽略：不重复设奖被忽略，最高奖不会超过6 000元．
【正解】 ξ可能取值为0,1 000,3 000,6 000.
ξ＝0表示第一关就没有通过；
ξ＝1 000表示第一关通过而第二关没有通过；
ξ＝3 000表示第一关通过，第二关通过而第三关没有通过；
ξ＝6 000表示三关都通过.谢谢观看！