课件31张PPT。第二章2.4
正态分布2 突破常考题型题型一1 理解教材新知题型二3 跨越高分障碍4 应用落实体验随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二题型三正态曲线及正态分布 [导入新知] μ σ正态曲线的特点及3σ原则 上方 不相交x＝μ x＝μ 1x轴 越小越大0.682 6 0.954 4 0.997 4 正态曲线的图象和性质 答案：A正态分布中的概率计算 正态分布的实际应用 答案：D答案：B第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．设随机变量X～N(1，22)，则D＝( )
A．4 B．2 C. D．1
解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4.
所以D＝D(X)＝1.
答案：D
2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”， σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2.
答案：A
3．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%.
答案：B
4．若随机变量X的密度函数为f(x)＝·e－，X在区间(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1，p2则p1，p2的关系为( )
A．p1＞p2 B．p1＜p2
C．p1＝p2 D．不确定
解析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.
答案：C
5．已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )
A．0.997 3 B．0.682 6
C．0.841 3 D．0.815 9
解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218，
由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，答案应选B.
答案：B
二、填空题
6．设X～N，则P(－1＜X＜1)的值为________．
解析：由题意可知，μ＝0，σ＝，故P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(－1＜X＜1)＝0.954 4.
答案：0.954 4
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.
答案：1
8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有________个．
解析：因为P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数可能为1 000×(1－0.997 4)＝2.6≈3(个)．
答案：3
三、解答题
9．设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(3＜X≤5)．
解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，
所以P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，试求：
(1)ξ在(0，2]内取值的概率；
(2)ξ在(2，＋∞)内取值的概率；
(3)ξ在(0，＋∞)内取值的概率．
解：(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，正态分布图象的对称轴为x＝1，因为ξ在(0，1]内取值的概率为0.4，所以随机变量ξ在(1，2]内取值的概率等于ξ在(0，1]内取值的概率，也为0.4，即随机变量ξ在(0，2]内取值的概率为0.8.
(2)又因正态分布图象的对称轴为x＝1，得ξ在(1，＋∞)内取值的概率为0.5，结合随机变量ξ在(1，2]内取值的概率为0.4，可求得ξ在(2，＋∞)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.
(3) ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.4＋0.5＝0.9.
B级 能力提升
1．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于( )
A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)
C．Φ D．2Φ(μ＋σ)
解析：设η＝，则P(|ξ－μ|＜σ)＝P(|η|＜1)＝P(－1＜η＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)．
答案：B
2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
解析：依题意，P(60－20＜X≤60＋20)＝0.954 4，P(X＞80)＝(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
答案：229
3．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110，202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．
解：因为X～N(110，202)，
所以μ＝110，σ＝20.
P(110－20＜X≤110＋20)＝0.682 6.
所以X＞130的概率为×(1－0.682 6)＝0.158 7.
所以X≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.
所以及格的人数为54×0.841 3≈45 (人)，
130分以上的人数为54×0.158 7＝9 (人)．
§2．4正态分布
教学目标：
知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。
过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。
情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 。
教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。
教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．
二、讲解新课：
1、一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足
,
则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～.
经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．
2．正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布
通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响
3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质
4．正态曲线的性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交
（2）曲线关于直线x=μ对称
（3）当x=μ时，曲线位于最高点
（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近
（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定
σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；
σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学
5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）
其相应的曲线称为标准正态曲线
标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题
三、讲解范例：
例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）
（２）
（３）
答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5
例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．
解：利用等式有
==0.9772＋0.8413－1=0.8151．
四、课后作业： 习题2. 4 A组 1 , 2 B组1 , 2
五、教学反思：
1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D＝( )
A．1 B．2
C. D．4
【解析】 ∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.
∴D＝D(ξ)＝×2＝.
【答案】 C
2．下列函数是正态密度函数的是( )
A．f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数
B．f(x)＝e－
C．f(x)＝e－
D．f(x)＝e
【解析】 对于A，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正确；对于C，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝，故C不正确；对于D，指数部分缺少一个负号，故D不正确．
【答案】 B
3．(2018·湖北高考)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图2-4-6所示，下列结论中正确的是( )
图2-4-6
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
【解析】 由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝，
P(Y≥μ1)＞，故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错；
因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；
对任意正数t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；
对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选 D.
【答案】 D
4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为( )
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
【解析】 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．
【答案】 C
5．(2018·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
【解析】 由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝
＝0.135 9＝13.59%，故选 B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点.
【解析】 由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.
【答案】 0.2
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
【解析】 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.
【答案】 1
8．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是
f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X
③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
【解析】 画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：
由图可得：
①图象关于x＝μ对称，故①正确；
②随着x的增加，F(x)＝P(ξ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；
④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.
【答案】 ①②④
三、解答题
9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4]内取值的概率；
(2)P(X>4)．
【解】
(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．
因为P(0(2)P(X>4)＝[1－P(010．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？
【解】 由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．
[能力提升]
1．(2018·湖南高考)
图2-4-7
在如图2-4-7所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A．2 386 B．2 718
C．3 413 D．4 772
附：若X～N(μ，σ2)，
则P(μ－σP(μ－2σ【解析】 由P(－1【答案】 C
2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
【解析】 由＝0.95，符合P(μ－2σ所以在(100,120]内．故选C.
【答案】 C
3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号)
①P(|ξ|－a)(a>0)；
②P(|ξ|0)；
③P(|ξ|0)；
④P(|ξ|a)(a>0)．
【解析】 因为P(|ξ|因为P(|ξ|－a)＝P(ξa)＝P(ξ因为P(|ξ|a)＝1，
所以P(|ξ|a)(a>0)，所以④正确．
【答案】 ②④
4．(2018·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
图2-4-8
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.
课题：正态分布(一)
〖教学目标〗(1)深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.
(2)理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.
(3)能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.
(4)会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.
(5)会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题.
〖教学重点〗正态分布的意义,正态分布的主要性质.
〖教学难点〗正态分布的意义及性质,标准正态总体,标准正态曲线的概念.
〖教学方法〗探究式教学法
〖课时安排〗1课时
〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪
〖教学过程〗
一、复习引入
1．复习提问
(1)运用多媒体画出(图1－3)频率分布直方图．
(2)当n由100增至200时，观察频率分布直方图的变化．
(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)
(4)样本容量越大，总体估计就越精确．[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
2．通过实例，说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布．如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等，都服从或近似地服从正态分布．
二、讲解新课
正态分布与正态曲线
总体密度曲线可以用一个函数的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢?换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数与它相近似?
如果随机变量的概率密度为(为常数，且)，称服从参数为的正态分布,用～表示,的表达式可简记为,它的密度曲线简称为正态曲线.
其中：π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差
下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．
(1) (2) (3)
(答案：μ＝0，σ＝1；μ＝1，σ＝2；μ＝－1，σ＝0.5)
正态曲线的性质
通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、且关于某
条直线对称.结合正态曲线，归纳其以下性质：
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．[来源:www.shulihua.net]
(2)曲线关于直线x＝μ对称．
(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．
(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．
σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；
σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．
例2 正态总体的函数表示式是,
(1)求f(x)的最大值．
(2)利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．
3.标准正态分布与标准正态分布表
(1)当μ＝0、σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是（-∞＜x＜+∞）,记作～. 其相应的曲线称为标准正态曲线．
标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．
(2)标准正态分布的分布函数.若～,则的分布函数通常用表示,且有=.对于一切,的值可在标准正态分布表中查到;对于的的值,可用=1-求出.
(3)的计算.若～,则=,即通过查标准正态分布表中时的的值,可计算概率.
三.练习[来源:www.shulihua.net]
35面练习1. 习题1.
四.小结
五.课后作业
〖教学反思〗正态分布问题解决的两个途径：
正态分布正态曲线[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
正态分布标准正态总体标准正态曲线
注意μ和σ的几何意义是解决问题的一个重要环节.
研究正态曲线要注意各区间面积的求法及其意义.
高考资源网
w。w-w*k&s%5￥u
www.shulihua.net
w。w-w*k&s%5￥u[来源:www.shulihua.net]
正态分布(一)·教案
目的要求
1．掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．
2．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
3．通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．
内容分析[来源:www.shulihua.net]
1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布．在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布．但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口．正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布．
2．正态分布是可以用函数形式来表述的．其密度函数可写成：
由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的．常把它记为N(μ，σ2)．
3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x＝μ，并在x＝μ时取最大值．从x＝μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．
4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征．[来源:www.shulihua.net]
5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难．但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N(0，1)，其他的正态
从而使正态分布的研究得以简化．
6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质
教学过程
(一)引入新课
1．复习提问
(1)运用多媒体画出(图1－3)频率分布直方图．
(2)当n由100增至200时，观察频率分布直方图的变化．
(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)[来源:www.shulihua.net]
(4)样本容量越大，总体估计就越精确．
2．通过实例，说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布．如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等，都服从或近似地服从正态分布．
(二)讲授新课
1．正态分布密度函数的理解．
其中：π是圆周率；e是自然对数的底；
x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；
σ是正态分布的标准差
正态分布一般记为N(μ，σ2)．
例1 下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．
(答案：μ＝0，σ＝1；μ＝1，σ＝2；μ＝－1，σ＝0.5)
2．正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响．
3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称．正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上．讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．
4．结合正态曲线，归纳其以下性质：
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
(2)曲线关于直线x＝μ对称．
(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．
(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．
(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．[来源:www.shulihua.net]
σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；
σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．
例2 正态总体的函数表示式是
(1)求f(x)的最大值．
(2)利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．
5．当μ＝0、σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是
其相应的曲线称为标准正态曲线．
标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．
(三)小结
总体密度曲线——正态曲线——标准正态曲线
布置作业
教科书习题1．3第1题．
[来源:www.shulihua.net]
www.shulihua.net
w。w-w*k&s%5￥u
www.shulihua.net
w。w-w*k&s%5￥u
课题：正态分布(二)
〖教学目标〗(1)进一步加深理解并掌握正态分布和正态曲线对应函数式的意义和性质.
(2)理解和掌握标准正态总体的意义及性质.
(3) 掌握正态总体中，取值小于x的概率及在任一区间内取值的规律.
(4)介绍统计中常用的假设检验方法的基本思想和小概率事件，生产过程的质量控制图.
〖教学重点〗正态分布、正态曲线、标准正态总体是教学的重点内容，在此基础上引出“小概率事件”和假设检验的基本思想.
〖教学难点〗 小概率事件几乎不可能发生的原理和假设检验的基本思想是这节课的教学难点.
〖教学方法〗探究式教学法
〖课时安排〗1课时
〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪
〖教学过程〗
一、复习引入
1. 正态密度函数的解析式.其中字母的意义.
2. 正态曲线的性质.
二、讲解新课
1.标准正态分布与一般正态分布的关系
若～,则～N(0，1).
若～,则= ,[来源:数理化网]
即通过查标准正态分布表中的的值,可计算服从的正态分布的随机变量取值在与之间的概率.[来源:www.shulihua.net]
2. 假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图
假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:[来源:数理化网]
提出统计假设. 统计假设里的变量服从正态分布.
确定一次试验中的取值是否落入范围.
作出推断:
如果,接受统计假设.
如果,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.
3．例题评价
例1.公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的.如果某地成年男子的身高～(单位: ),则车门高度应设计为多少?
例2.一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布, =8, =2.质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度少于2.这时,他是让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋呢?还是让钢筋工停止生产检修钢筋切割机?
例3.利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：
(1)在N(1,4)下，求
（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；
Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；[来源:www.shulihua.net]
Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）
解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413
（２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413
Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587[来源:www.shulihua.net]
Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826
Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342
Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954
Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997
对于正态总体取值的概率：
在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分
例4.某县农民年平均收入服从=500元，=200元的正态分布 （1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（）内的概率不少于0.95，则至少有多大？
解：设表示此县农民年平均收入，则
∵，
查表知：
三．练习 35面练习2. 习题1.5的2.3
四.小结
五.课后作业
〖教学反思〗本节我们学习了一类重要的总体分部：正态分布.决定一个正态分布的两个重要的参数:平均数(期望、数学期望) 和标准差 。我们不但要明白 和 在统计上的意义，还要对应到正态曲线几何意义上，做到从概率、统计、曲线、函数这四个方面来把握和理解，其中后两个方面是作为数学工具来为前两个方面服务的。
正态分布的小概率事件是一个重要的概率，它说明正态总体中绝大部分的数据（占99.7%）落在平均值 左右各偏3的范围内。
标准正态分布集中体现了所有正态分布的特点，所有的正态分布都可以通过变量替代化归为标准正态分布，这正是“标准”一词的体现。在求总体落在某个区间里的概率时，我们往往借助于正态曲线的性质和标准正态分布表。
www.shulihua.net
w。w-w*k&s%5￥u
www.shulihua.net
w。w-w*k&s%5￥u
课件41张PPT。2.4 正态分布自主学习 新知突破1．了解正态曲线和正态分布的概念．
2．认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义．
3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率．200个产品尺寸的频率分布直方图若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为总体密度曲线． [问题] 你知道正态曲线的函数解析式吗？正态曲线随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a______________________，则称随机变量X服从正态分布．
正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作__________________，如果随机变量X服从正态分布，则记为_______________．正态分布N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)正态曲线的特点上方不相交x＝μx＝μ(4)曲线与x轴之间的面积为_____；
(5)当____一定时，曲线的位置由____确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．1σ越小越大μ对参数μ，σ的理解
(1)正态分布由参数μ，σ唯一确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．
(2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．3σ原则正态分布在三个特殊区间内取值的概率
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ答案： B
4．设随机变量X～N(0,1)，求P(X≤0)，P(－2解析： 对称轴X＝0，故P(X≤0)＝0.5，
P(－2(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)；
(3)P(X≥5)．
[思路点拨] 首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点求解． [规律方法] 求在某个区间内取值的概率的方法：
(1)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解；
(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．
①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；
②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，
P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
特别提醒： 在本节中，由于涉及到离散型随机变量的密度曲线，我们在解题时与曲线的图象巧妙结合，抓住曲线的对称特征，会给解题带来很大的方便．2．(1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于( )
A．0.158 8 B．0.158 7
C．0.158 6 D．0.158 5
(2)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξA．1 B．2
C．3 D．4
(2)∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．
又P(ξ>c＋1)＝P(ξ∴3－c＝c－1，∴c＝2.
答案： (1)B (2)B正态分布的实际应用 某工厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7，试判断该厂生产的这批零件是否合格？
[思路点拨] 解此题一定要灵活把握3σ原则，将所求问题向P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应概率．同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质．
解析： 由于X服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)之外的概率只有0.002 6，而5.7?(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，所以可以认为该批零件是不合格的． [规律方法] 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
(3)利用上述区间求出相应的概率．3．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，该年级有2 000名学生，如果规定低于60分为不及格，求成绩不及格的学生约有多少人？
解析： 设学生的得分为随机变量X，X～N(70,102)，
则μ＝70，σ＝10.
成绩在60～80间的学生的概率约为：
P(70－10＜X≤70＋10)＝0.682 6，◎随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．
【错解】 ∵P(ξ≤1)＝0.841 3，
∴P(－1<ξ≤0)＝0.158 7.
[提示] 1.求解时，不注意结合图形对称性，错解为P(－1<ξ≤0)＝1－P(ξ≤1)＝0.158 7.
2．针对μ＝0的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式：
(1)P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)；
(2)P(a1)＝1－0.841 3＝0.158 7.所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.谢谢观看！