2019学年人教版高中数学选修2-3 1.1《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》（知识讲解+例题演练）
文档属性
| 名称 | 2019学年人教版高中数学选修2-3 1.1《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》（知识讲解+例题演练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 211.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-16 10:01:36 | ||
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文档简介
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
【学习目标】
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别．
3．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)
1．分类加法计数原理：
完成一件事,有类办法.在第1类办法中有种不同方法,在第2类办法中有种不同的方法,……,在第类办法中有种不同方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
2．加法原理的特点是：
① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；
② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；
③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
要点诠释：
使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。
3．图示分类加法计数原理：
由A到B算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。
从图中可以看出，完成由A到B这件事，共有方法m+n种。
要点诠释：
用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。
要点二、分步乘法计数原理
1.分步乘法计数原理
“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．
2．乘法原理的特点：
① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
② 完成每一步有若干种方法；
③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
要点诠释：
使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。
3.图示分步乘法计数原理：
由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。
要点诠释：
从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。用分步乘法计数原理解题，按着这个模式施行就可以了，可简单地理解为：A→B，有m种方法；B→C，有n种方法；A→C，有mn种方法。
要点三、分类计数原理和分步计数原理的区别：
1．分类计数原理和分步计数原理的区别：
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.
完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；
若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．
2. 应用两个原理的分别要注意：
若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数；
若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．
要点四、分类计数原理和分步计数原理的应用
1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：
（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？
（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型
①分类或分步。
②先分类，再在每一类里再分步。
③先分步，再在每一步里再分类，等等。
（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？
2.利用两个基本原理解决具体问题时的注意事项：
（1）应用分类计数原理，应注意：
①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；
②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；
③两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；
④完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).
（2）应用分步计数原理，应注意：
①任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；
②各步计数相互独立；
③只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同.
3.利用两个基本原理解决具体问题时的方法技巧：
利用两个基本原理解决具体问题，关键环节是分类或者分步。类与步的关系式辩证的。有些问题需要先分类，再在每一类里再分步；有些问题需要先分步，再在每一步里再分类，等等。到底采用何种顺序分类与分步，要看类的趋势和步的趋势谁大谁小。下面用用流程图直观描述。
（1）类中有步情形
从A到B算作一件事的完成。完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数见箭线下面的mi，i=1，2，3，4，5。
完成A→B这件事，共有方法数为m1m2m3+m4m5。
（2）步中有类情形
从A到D算作完成一件事，简单地记为A→D。完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D。其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类。箭线下面的mi（i=1，2，3，4，5）表示相应步的方法数。
完成A→D这件事，共有方法数为m1(m2+m3+m4)m5。
要点诠释：
① 对“类”与“步”的理解，要再上一个层次，可进一步地理解为：“类”用“+”号连结，“步”用“×”号连结，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可。
② 使用计数原理解题，大部分离不开分类。分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类。
【典型例题】
类型一、分类加法计数原理
例1.已知集合A={1,2,3,4}，B={5,6,7,}，C={8,9}.现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（ ）
A.24个 B.36个 C.26个 D.27个
举一反三：
【变式1】用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字允许重复)
【变式2】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【变式3】从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？
类型二、分步乘法计数原理
例2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）
A．12 种 B．7种 C．24种 D．49种
举一反三：
【变式1】从甲地到乙地，一天中有火车2班，从乙地到丙地，一天中有汽车3班，那么从甲地经乙地到丙地共有 种不同的走法。
【变式2】由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
A.60个 B.48个 C.36个 D.24个
【变式3】 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
【变式4】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ? )
A．6种??????B．12种??????C．24种???????D．30种
类型三、两个原理的对比应用
例3. 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
举一反三：
【变式】现有一分硬币3枚，两角纸币6张，十元纸币4张，则它们共可以组成多少种非零的币值?
类型四、两个原理的综合应用
例4.用数字0，1，2，3，4组成数字允许重复的三位数，其中有 几个偶数？
举一反三：
【变式1】 用0，1,2，3,4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？
【变式2】一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
（1）从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？
（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
【变式3】用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，每个区域涂一种
颜色. 若要求相邻(有公共边)的区域涂不同颜色，那么共有多少种不同的
涂色方法?
1 2
3 4
类型五、 枚举法
例5.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情形有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
举一反三：
【变式】 在大小不等的两个正方体玩具的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有几种？
参考答案
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
【典型例题】
类型一、分类加法计数原理
例1.【答案】C
举一反三：
【变式1】【答案】共有个。
【变式2】【答案】符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）．
【变式3】【答案】共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个.
类型二、分步乘法计数原理
例2【答案】D．
举一反三：
【变式1】【答案】6；
【变式2】【答案】故选B。
【变式3】【答案】故选B
【变式4】【答案】C
类型三、两个原理的对比应用
例3. 【答案】（1）不同的取法有N=5+4=9（种）．（2）不同的取法有N=5×4=20（种）．
举一反三：
【变式】【答案】共可组成非零币值总数为13+54+72=139种.
类型四、两个原理的综合应用
例4.【答案】不同的偶数的个数是：4×5+4×5+4×5=60（种）。
举一反三：
【变式1】【答案】
（1）由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.
（2）由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个
（3）由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.
（4）比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个
（5）所求自然数共120＋48＋6＋1＝175
【变式2】【答案】（1）共有5×4=20（种）．（2）共有49种不同的投法．
【变式3】【答案】分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260种不同的涂法．
类型五、 枚举法
例5.【答案】选A．
举一反三：
【变式】【答案】符合题意的情形有2+3+3=8（种）．
D
B
C
A
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【学习目标】
1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别．
3．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)
1．分类加法计数原理：
完成一件事,有类办法.在第1类办法中有种不同方法,在第2类办法中有种不同的方法,……,在第类办法中有种不同方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
2．加法原理的特点是：
① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；
② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；
③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
要点诠释：
使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。
3．图示分类加法计数原理：
由A到B算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。
从图中可以看出，完成由A到B这件事，共有方法m+n种。
要点诠释：
用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。
要点二、分步乘法计数原理
1.分步乘法计数原理
“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．
2．乘法原理的特点：
① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
② 完成每一步有若干种方法；
③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
要点诠释：
使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。
3.图示分步乘法计数原理：
由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。
要点诠释：
从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。用分步乘法计数原理解题，按着这个模式施行就可以了，可简单地理解为：A→B，有m种方法；B→C，有n种方法；A→C，有mn种方法。
要点三、分类计数原理和分步计数原理的区别：
1．分类计数原理和分步计数原理的区别：
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.
完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；
若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．
2. 应用两个原理的分别要注意：
若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数；
若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．
要点四、分类计数原理和分步计数原理的应用
1.利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：
（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？
（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型
①分类或分步。
②先分类，再在每一类里再分步。
③先分步，再在每一步里再分类，等等。
（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？
2.利用两个基本原理解决具体问题时的注意事项：
（1）应用分类计数原理，应注意：
①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；
②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；
③两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；
④完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).
（2）应用分步计数原理，应注意：
①任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；
②各步计数相互独立；
③只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同.
3.利用两个基本原理解决具体问题时的方法技巧：
利用两个基本原理解决具体问题，关键环节是分类或者分步。类与步的关系式辩证的。有些问题需要先分类，再在每一类里再分步；有些问题需要先分步，再在每一步里再分类，等等。到底采用何种顺序分类与分步，要看类的趋势和步的趋势谁大谁小。下面用用流程图直观描述。
（1）类中有步情形
从A到B算作一件事的完成。完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数见箭线下面的mi，i=1，2，3，4，5。
完成A→B这件事，共有方法数为m1m2m3+m4m5。
（2）步中有类情形
从A到D算作完成一件事，简单地记为A→D。完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D。其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类。箭线下面的mi（i=1，2，3，4，5）表示相应步的方法数。
完成A→D这件事，共有方法数为m1(m2+m3+m4)m5。
要点诠释：
① 对“类”与“步”的理解，要再上一个层次，可进一步地理解为：“类”用“+”号连结，“步”用“×”号连结，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可。
② 使用计数原理解题，大部分离不开分类。分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类。
【典型例题】
类型一、分类加法计数原理
例1.已知集合A={1,2,3,4}，B={5,6,7,}，C={8,9}.现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（ ）
A.24个 B.36个 C.26个 D.27个
举一反三：
【变式1】用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字允许重复)
【变式2】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【变式3】从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？
类型二、分步乘法计数原理
例2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）
A．12 种 B．7种 C．24种 D．49种
举一反三：
【变式1】从甲地到乙地，一天中有火车2班，从乙地到丙地，一天中有汽车3班，那么从甲地经乙地到丙地共有 种不同的走法。
【变式2】由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
A.60个 B.48个 C.36个 D.24个
【变式3】 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
【变式4】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ? )
A．6种??????B．12种??????C．24种???????D．30种
类型三、两个原理的对比应用
例3. 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
举一反三：
【变式】现有一分硬币3枚，两角纸币6张，十元纸币4张，则它们共可以组成多少种非零的币值?
类型四、两个原理的综合应用
例4.用数字0，1，2，3，4组成数字允许重复的三位数，其中有 几个偶数？
举一反三：
【变式1】 用0，1,2，3,4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？
【变式2】一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
（1）从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？
（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
【变式3】用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，每个区域涂一种
颜色. 若要求相邻(有公共边)的区域涂不同颜色，那么共有多少种不同的
涂色方法?
1 2
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类型五、 枚举法
例5.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情形有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
举一反三：
【变式】 在大小不等的两个正方体玩具的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有几种？
参考答案
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
【典型例题】
类型一、分类加法计数原理
例1.【答案】C
举一反三：
【变式1】【答案】共有个。
【变式2】【答案】符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）．
【变式3】【答案】共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个.
类型二、分步乘法计数原理
例2【答案】D．
举一反三：
【变式1】【答案】6；
【变式2】【答案】故选B。
【变式3】【答案】故选B
【变式4】【答案】C
类型三、两个原理的对比应用
例3. 【答案】（1）不同的取法有N=5+4=9（种）．（2）不同的取法有N=5×4=20（种）．
举一反三：
【变式】【答案】共可组成非零币值总数为13+54+72=139种.
类型四、两个原理的综合应用
例4.【答案】不同的偶数的个数是：4×5+4×5+4×5=60（种）。
举一反三：
【变式1】【答案】
（1）由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.
（2）由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个
（3）由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.
（4）比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个
（5）所求自然数共120＋48＋6＋1＝175
【变式2】【答案】（1）共有5×4=20（种）．（2）共有49种不同的投法．
【变式3】【答案】分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260种不同的涂法．
类型五、 枚举法
例5.【答案】选A．
举一反三：
【变式】【答案】符合题意的情形有2+3+3=8（种）．
D
B
C
A
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