北师大版数学九年级上2.4用因式分解法求解一元二次方程教学设计
课题
2.4用因式分解法求解一元二次方程
单元
第二章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：掌握用因式分解法解一元二次方程，并能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法；
过程与方法：通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“降次”化归的思想；
情感态度与价值观：培养学生主动探究的精神与积极参与的意识．
重点
运用因式分解法解一些能分解的一元二次方程.
难点
发现与理解因式分解的方法.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
上节课，我们学习了用公式法解一元二次方程，下面请回答：
问题1、说一说一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式？
答案：当b2-4ac≥0时，它的根是：x=
???±
??
2
?4????
2??
．
问题2、如何利用根的判别式判断一元二次方程根的情况？
答案：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ=b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
学生积极回答老师的问题.
通过回答问题，为学习用因式分解法解一元二次方程做好铺垫.
新知讲解
探究：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
解：小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．但他们的解法各不相同．
/
/
/
追问：他们做得对吗？为什么？你是怎么做的？
答案：
（1）小颖的解法采取的是用公式法求解，解法是正确的.
（2）小明的解法是错误的，他忽略了”x=0”的情况.
（3）小亮的解法是将一元二次方程的一边变形为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式，再进行求解．小亮的解法正确
强调：如果a·b＝0，那么a=0或b=0.
归纳：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．
例:解下列方程：
（1）5x2=4x；（2）x（x-2）=x-2
解：(1)原方程可变形为
5x2-4x=0，
x（5x-4）=0．
x=0，或5x-4=0．
∴x1=0，x2=
4
5
．
(2)原方程可变形为
x（x-2）-（x-2）=0，
（x-2）（x-1）=0．
x-2=0，或x-1=0．
∴x1=2，x2=1
强调：通过因式分解，将原来的一元二次方程转化成了两
个一元一次方程．从而达到“降次”的目的.
归纳：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的
练习：你能用因式分解法解下面的方程吗？
（1）x2-4=0，（2）（x+1）2-25=0
解：（1）原方程可变形为
（x+2）（x-2）=0．
x+2=0，或x-2=0．
∴x1=-2，x2=2
（2）原方程可变形为
（x+1+5）（x+1-5）=0．
x+1+5=0，或x+1-5=0．
∴x1=-6，x2=4
注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想
学生先思考问题.然后分析这三位同学的解题过程，并班内交流，再老师的引导下探究因式分解法解一元二次方程.
学生在老师的引导下归纳因式分解法.
学生独立完成后班内交流，并认真听老师的讲评.
师生共同归纳利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤.
学生独立完成后，小组讨论然后班内交流，然后认真听老师的讲评.
探索利用因式分解法解一元二次方程.
明确因式分解法解一元二次方程的概念.
提高学生的应用因式分解法解一元二次方程的能力.
理解因式分解法解一元二次方程的一般步骤.
进一步提高学生解一元二次方程的能力.
课堂练习
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
答案：A
2．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上．
①2(x－1)2＝6； ②(x－2)2＋x2＝4；
③(x－2)(x－3)＝3; ④x2－2x－1＝0；
⑤x2－
2
x＋
1
4
＝0; ⑥x2－2x－98＝0.
(1)直接开平方法：________；(2)配方法：________；
(3)公式法：________；(4)因式分解法：________
答案：（1）①；（2）④⑥；（3）③⑤；（4）②
3.用因式分解法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0；（2）4x(2x+1)=3(2x+1)．
解：(1)(x+2)(x-4)=0
x+2=0或x-4=0，
x1=-2，x2=4；
(2)原方程可变形为
4x(2x+1)-3(2x+1)=0．
(4x-3)(2x+1)=0．
4x-3=0或2x+1=0，
x1=
3
4
，x2=-
1
2
.
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
用适当的方法解方程：2（x-3）2=5（3-x）
解：2（x-3）2+5（x-3）=0，
（x-3）（2x-6+5）=0，
x-3=0或2x-1=0，
归纳：在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019?内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根，则此三角形的周长是（）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
解：方程变形得：（x-3）（x-5）=0，
解得：x=3或x=5，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.
故选：A.
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、什么是因式分解法？
答案：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．
问题2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？
答案：(1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
教材第47页习题2.7第1、2题
能力作业
教材第48页习题2.7第3题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
课件20张PPT。用因式分解法求解一元二次方程数学北师大版 九年级上新知导入? 1. 说一说一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式？对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），
当 Δ=b2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
2. 如何利用根的判别式判断一元二次方程根的情况？新知讲解 探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 他们做得对吗？为什么？你是怎么做的？小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．新知讲解 探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．小颖的解法采取的是用公式法求解，解法是正确的.新知讲解 探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．小明的解法是错误的，他忽略了”x=0”的情况.新知讲解 探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．小亮的解法是将一元二次方程的一边变形为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积的形式，再进行求解．如果a·b＝0，那么a=0或b=0.解法正确新知讲解当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
于是x=0，或x-3=0新知讲解例 : 解下列方程：
（1）5 x2 = 4 x； （2） x （x - 2） = x - 2?原来的一元二
次方程转化成了两
个一元一次方程．(2)原方程可变形为
x （x - 2） - （x - 2）= 0，
（x - 2）（x - 1）= 0．
x - 2 = 0，或 x - 1 = 0．
∴ x1 = 2， x2 = 1降次新知讲解说一说：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．新知讲解练习：你能用因式分解法解下面的方程吗？
（1）x2 - 4 = 0， （2）（x + 1）2 - 25 = 0解：（1）原方程可变形为
（x + 2）（x - 2）= 0．
x + 2 = 0，或 x - 2 = 0．
∴ x1 = -2， x2 = 2（2）原方程可变形为
（x +1+5）（x +1-5）=0．
x +1+5 = 0，或 x +1-5 = 0．
∴ x1 = -6， x2 = 4注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想课堂练习1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0A课堂练习?①④⑥③⑤②课堂练习3. 用因式分解法解下列方程：
（1）x2-2x-8= 0； （2）4x(2x+1)=3(2x+1)．
解： (1)(x+2)(x-4)=0
x+2=0 或 x-4=0，
x1=-2，x2=4；?拓展提高用适当的方法解方程：2（x-3）2=5（3-x）解：2（x-3）2+5（x-3）=0，
（x-3）（2x-6+5）=0，
x-3=0或2x-1=0，? 在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法.中考链接（2019?内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16解：方程变形得：（x-3）（x-5）=0，解得：x=3或x=5，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.A课堂总结 当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．1、什么是因式分解法？2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？ (1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．板书设计
课题：2.4 用因式分解法求解一元二次方程
教师板演区
学生展示区（1）因式分解法
（2）用因式分解法求解一元二次方程的一般步骤.基础作业
教材第47页习题2.7第1、2题
能力作业
教材第48页习题2.7第3题作业布置
