华师大版数学九年级上22.2.5一元二次方程根与系数的关系教学设计
课题
一元二次方程的判别式
单元
22
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，
过程与方法目标
通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神
情感态度与价值观目标
通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心
重点
一元二次方程根与系数的关系
难点
让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提问：
1.一元二次方程的求根公式是什么？
生：x=
???±
??
2
?4????
2??
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
生：对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
师：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
这节课我们一起来学习一下
学生回答问题，一起回顾一元二次方程的求根公式以及判别式
通过复习，引出新问题，提高学生学习的积极性.
讲授新课
课件展示：
算一算 解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
/
师：我们来考察方程
??
2
+????+??=0(
??
2
?4??≥0)
由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
??
1
=
???±
??
2
?4??
2
，
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2
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2
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2
所以
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1
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2
=
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2
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2
+
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2
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2
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(???)
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师：你发现了什么？
生：如果关于x的方程
??
2
+????+??=0的两根是
??
1
,
??
2
,则:
??
1
+
??
2
=???
??
1
???
2
=??
课件展示：
例8、不解方程，求出方程的两根之和与两根之积
(1)
??
2
+3???5=0 (2)
2??
2
?3???5=0
课件展示
试探索一元二次方程
????
2
+????+??=0(??≠0，
??
2
?4????≥0)的根与系数的关系.
生：方程两边同除以a，得
??
2
+
??
??
??+
??
??
=0
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
?
??
2
=
??
??
师：一起来总结一下吧
生：如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
??
1
+
??
2
=?
??
??
??
1
?
??
2
=
??
??
师：这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理。
课件展示：
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
师：总结常见的求值:
1.
1
??
1
+
1
??
2
=
??
1
+
??
2
??
1
??
2
2.
??
1
2
+
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2
2
=
(
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1
+
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2
)
2
?2
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1
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2
3.
??
1
??
2
+
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2
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1
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1
2
+
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2
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1
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(
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2
)
2
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2
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1
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2
4.
??
1
+1
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2
+1
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1
??
2
+
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1
+
??
2
+1
5.
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1
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2
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(
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1
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)
2
=
(
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1
+
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2
)
2
?4
??
1
??
2
师：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
学生计算并填表，通过探索方程的两根之和以及两根之积，总结出与系数的关系.
学生解答，老师订正
学生自主探究，总结出一元二次方程根与系数的关系.
学生自主解答，老师订正
师生共同总结一些常见的求值问题.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
巩固所学知识，
培养学生分析归纳的能力.
培养学生发散思维，自己解决问题的能力
会运用根与系数的关系解题.
课堂练习
1、若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )
A．－10 B．10 C．－16 D．16
答案：A
2、已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是( )
A．－3 B．－2 C．3 D．6
答案：A
3.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____ .
答案：
3
2
,-3
4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
答案：1，-2
5.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
答案：
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：1 × x1 =
??
??
=
16
3
∴x1 =
16
3
拓展提高
当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
答案：
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
由根与系数的关系，得
??
1
+
??
2
=
??
2
，
??
1
?
??
2
=
1
2
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
∴
(
??
2
)
2
?4×
1
2
=1
∴
(
??
2
)
2
=3
∴??=±2
3
中考链接
1.(烟台中考)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( ) A．－1或2 B．1或－2
C．－2 D．1
答案：D
2.(达州中考)设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ ．
答案：2016
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
可以照顾不层次的学生，调动学生学习积极性
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
/
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
??
1
+
??
2
=?
??
??
??
1
?
??
2
=
??
??
/
22.2.5一元二次方程根与系数的关系导学案
课题
一元二次方程根与系数的关系
单元
22
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
2.学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
重点难点
重点：熟练掌握一元二次方程的根与系数关系
难点：灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题
教学过程
知识链接
( 1 ) 一元二次方程的一般式： 。
（2）一元二次方程的解法： 。
（3）一元二次方程的求根公式： 。
合作探究
一、教材33页试一试
算一算 解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
/
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
。
二、教材34页概括：
②x2+px+q=0的两根,用式子表示你发现的规律。
。
三、教材35页例题
试探索一元二次方程
????
2
+????+??=0(??≠0，
??
2
?4????≥0)的根与系数的关系.
总结：如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
??
1
+
??
2
= ，
??
1
?
??
2
= 。
自主尝试
1、已知一元二次方程/的两根为/、/，则/______．
2、关于/的一元二次方程/的两个实数根分别为1和2，则/______，/______．
【方法宝典】
利用
??
1
+
??
2
=?
??
??
??
1
?
??
2
=
??
??
解题即可.
当堂检测
1、关于/的方程/有两个不相等的实根/、/，且有/，则/的值是（ ）
A．1 B．－1 C．1或－1 D． 2
2、 方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（ ）
（A）2 （B）3 （C）－1，2 （D）－1，3
3、已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为（ ）
A．－１ B．0 C．1 D．2
4、已知方程/的两个根为/、/，求//的值.
5、已知关于/的方程/的一个根是另一个根的2倍，求/的值.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
一元二次方程根与系数的关系
参考答案：
当堂检测：
1．B
2．D
3.A
4．解：由一元二次方程根与系数的关系可得：/，
∴/.
5．设方程/的两根为/、/，且不妨设/.
则由一元二次方程根与系数的关系可得：/，
代入/,得/,∴/,/.
5. k=2或k=10 ；当k=2时，x1=x2=,当k=10时，x1=x2=.
/
课件20张PPT。22.2.5一元二次方程根与系数的关系华师大版 九年级上1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.复习导入 算一算 解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.-4123-1x1+x2=-3x1 · x2=-4x1+x2=5x1 · x2=6??新知讲解探索新知讲解????根与系数关系 ??新知讲解?例8、不解方程，求出方程的两根之和与两根之积例题解析???例题解析?一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）?满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.新知讲解已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. ?例题解析总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.新知讲解1、若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )
A．－10 B．10 C．－16 D．16
2、已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是( )
A．－3 B．－2 C．3 D．6
AA课堂练习41，，3.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____ .4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .1-2-3 5.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.?拓展提高当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1????1.(烟台中考)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( )
A．－1或2 B．1或－2
C．－2 D．1
2.(达州中考)设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ ．中考链接D2016根与系数的关系
（韦达定理）内 容?应 用课堂总结板书设计一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）?作业布置?谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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