人教版必修二第三单元直线的方程复习课课件（45张）

课件45张PPT。3.2　直线的方程
教学目标：
1.理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式特点和适用范围；
2.明确直线方程一般式的形式特征；
3.能正确利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式公式求直线方程；
4.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系；
5.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
6.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.(一)直线方程点斜式
如图:直线l过定点P0(x0，y0)且斜率为k，那么l上任一点P(x，y)的坐标满足什么关系？通过这一关系进一步说明了什么？提示:由斜率公式得k= 即y-y0=k(x-x0).并且过
点P0(x0，y0)斜率为k的直线l上每一点的坐标都满足
该关系;坐标满足该关系的每一点都在过点P0(x0，y0)， 斜率为k的直线l上.结论:直线的点斜式方程方程___ _________由直线上一定点(x0，y0)及其斜率
k确定，我们把这个方程叫直线的点斜式方程，简称点斜式.y-y0=k(x-x0)例1.(1)经过点(4，-1)且平行于x轴的直线方程为__________.?
(2)已知在△ABC中，A(1，-4)，B(2，6)，C(-2，0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程.【解析】(1)因为所求直线平行于x轴，故斜率k=0，所以直线的方程为
y-(-1)=0(x-4)，即y=-1.答案:y=-1(2)由题意知，kBC= .因为AD⊥BC，所以直线AD的斜率存在，且
kAD=- .故直线AD的方程为y+4=- (x-1).
变式训练1.已知在△ABC中，A(1，-1)，B(2，2)，C(3，0)，则AB边上的高线所在直线方程为__________.?
【解析】kAB= =3，
所以AB边上的高线的斜率k=- ，
所以AB边上的高线的点斜式方程为y=- (x-3)，
即x+3y-3=0.
答案:x+3y-3=0变式训练2.已知直线l经过点( ，-2)，其倾斜角是60°.
(1)求直线l的方程.
(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积.【解析】(1)因为k=tan 60°= ，
所以直线l的方程为y+2= (x- )，化为 x-y-5=0，
即为所求的直线l的方程.(2)令x=0，解得y=-5;令y=0，解得x= .
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积
课后作业：1.写出满足下列条件的直线的点斜式方程:(1)经过点A(-3，-1)，斜率为 .(2)经过点B( ，1)，倾斜角是120°.(3)经过点C(0，5)且与x轴平行.【解析】(1)y+1= (x+3).(2)倾斜角为120°，则斜率为- ，所以该直线方程为y-1=- (x- ).(3)因为直线与x轴平行，故斜率为0，因此点斜式方程为y-5=0(x-0).2.过点P(2 ，3)且倾斜角为30°的直线方程为(　　)
A.y-4 =3x B.y=x-
C.3y-3= x D.y- = x【解析】选C.因为直线的倾斜角为30°，所以其斜率
为tan 30°= ，
因为直线过点(2 ，3)，所以直线方程为y-3= (x-2 )，
即y= x+1， x-3y+3=0.(二)直线方程的斜截式
1.斜率为k，与y轴的交点为(0，b)的直线的点斜式方程是什么？
提示:由点斜式方程的特点知，斜率为k，过点(0，b)的直线点斜式方程为y-b=k(x-0).2.若把直线l与y轴交点的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距，那么直线l的方程能否用该直线的斜率k与该直线在y轴上的截距b表示？
提示:可以，因为直线l过点(0，b)且斜率为k，故直线l的方程为y-b=k(x-0)，化简得y=kx+b，因此直线l的方程可以用k，b表示.结论:截距与斜截式方程
直线l与y轴交点的纵坐标叫做直线l在y轴上的截距;由斜率和它在y轴上的截距确定的方程叫直线的斜截式方程.形式:y=kx+b.例1.倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是 (　　)
A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1【解析】选D.因为倾斜角为135°，所以k=tan 135°=-1.
所以直线方程为y=-x-1.变式训练1.已知直线l1:y=-ax-2(a∈R).若直线l1的倾斜角为120°，则实数a的值为_______;若直线l1在x轴上的截距为2，则实数a的值为_______.【解析】由题意可得tan 120°= -a，解得a= ;
令y=0，可得x= ，
即直线l1在x轴上的截距为 =2，解得a=-1.
答案: 　-1例2.若直线l的倾斜角为45°，且在y轴上的截距为1，则直线l的斜截式方程为____________.?
【解析】因为k=tan 45°=1，直线l在y轴上截距为1，故直线l的方程为y=x+1.
答案:y=x+1【解析】因为直线的方程为y=- x+1，所以k=- ，倾斜角为120°，
由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为 .
因为所求直线在y轴上的截距为-5，
所以由斜截式知所求直线方程为y= x-5.变式训练2.求倾斜角是直线y=- x+1的倾斜角的 ，且满足在y轴上的截距是-5的直线方程.
课后练习1.方程y=ax- 表示的直线可能是 (　　)【解析】选C.由方程y=ax- 表示的直线，当a>0时，斜率k=a>0，在y轴上的截距为- <0，都不符合此条件.
当a<0时，斜率k=a<0，在y轴上的截距为- >0，只有C符合此条件.2.已知直线l的斜率为 ，且和两坐标轴围成的三角
形的面积为3，求直线l的方程.【解析】设l的方程为y= x+b，分别令x=0，y=0得y=b，x=-6b，
依题意有 ×|b|×|-6b|=3，所以b2=1，
解得b=±1，
所以l的方程为y= x+1或y= x-1.（三）两条直线的平行与垂直的应用
例1.已知直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2.
(1)当a为何值时，l1∥l2？(2)当a为何值时，l1⊥l2？【解析】设直线l1，l2斜率分别为k1，k2，
则k1=-1，k2=a2-2.
(1)当l1∥l2时，有 解得a=-1.
(2)当l1⊥l2时，k1k2=-1，即a2-2=1，
所以a2=3，所以a=
变式训练1.已知直线l1:x-my-6=0，l2:(m-2)x-3y-2m=0.若l1⊥l2，则m的值为__________.若l1∥l2，则m的值为__________.?【解析】由两直线垂直可得:1·(m-2)+m·3=0，解得m= ，
故当l1⊥l2时，m= ;由平行的条件可得:
由 解得m=-1或m=3;
而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，
故m=-1.
答案: ，-1例2.已知直线l1的方程为y=-2x+3.
(1)若直线l2与l1平行，且过点(-1，3)，求直线l2的方程.
(2)若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程.【解析】(1)由直线l2与l1平行，可设l2的方程为y=-2x+b，将x=-1，y=3代入，得3=(-2)×(-1)+b，即得b=1，
所以直线l2的方程为y=-2x+1.(2)由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为y= x+m，
令y=0，得x=-2m，令x=0，得y=m，
故三角形面积S= |-2m|·|m|=4，
所以m2=4，解得m=±2，所以直线l2的方程是y= x+2或y= x-2.课后练习 1.当a为何值时，
(1)两直线y=(a+1)x-2与y=(a-1)x+1互相垂直？
(2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行？【解析】(1)因为两直线y=(a+1)x-2与y=(a-1)x+1互相垂直，
所以(a+1)(a-1)=-1，即a=0.
(2)因为两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行.
所以 即a=-1.(四)直线方程的两点式
观察如图所示的直线l，思考下列问题:
1.直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)两点，那么直线l的点斜式方程是什么？ 提示:由x1≠x2，所求直线的斜率为k= ，则直线的点斜式方程为y-y1= (x-x1).2.方程y-y1= (x-x1)(x1≠x2)能否写成
提示:当y1≠y2时，可以写成上式;当y1=y2时，不能
写成该形式.结论:两点式方程的形式_________ (x1≠x2，y1≠y2)，当x1=x2时，方程
为_ ___，当y1=y2时，方程为__ __.x=x1y=y1例1.经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程都可以表示为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C.(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)
D.y-y1= 【解析】选C.当x1≠x2，y1≠y2时，由两点式可得直线方程为:
化为:(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，对于x1=x2或y1=y2时上述方程也成立，
因此直线方程为:(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1).
变式训练1：过点A(2，3)和点B(4，7)的直线方程是(　　)
A.y=-2x+7 B.y=2x+1 C.y=2x-1 D.y=2
【解析】选C.直线的两点式方程为 即y=2x-1变式训练1.在△ABC中，已知点A(5，-2)，B(7，3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标.(2)求直线MN的方程.【解析】(1)设C(x，y)得
因为M在y轴上，N在x轴上，所以 ，解得x=-5，y=-3.
所以C点坐标为(-5，-3).(2)由(1)知M ，N(1，0)，
所以直线MN的方程为 例2.已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(5，1)，C(-1，-1).
(1)求BC边的中线AD所在的直线方程.(2)求AC边的高BH所在的直线方程.【解析】(1)BC中点D的坐标为(2，0)，所以直线AD方程为: 化简得y=-3x+6.
(2)因为kAC= =2，BH⊥AC，所以kBH=- ，
所以直线BH方程为:y-1=- (x-5)，即y=- x+ .变式训练2.△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(-2，6)，C(-8，0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程.
(2)求边AC上的中线BD所在的直线的方程.【解析】(1)因为A(0，4)，C(-8，0)，所以直线AC的截距式方程为
化简得y= x+4，
因为B(-2，6)，A(0，4)，
所以由直线的两点式方程，得AB方程为
即y=-x+4.综上所述，边AC所在直线的方程为y= x+4，边AB所在直线的方程为y=-x+4.(2)设点D(x，y)，由线段的中点坐标公式，可得
所以AC中点D的坐标为(-4，2)，再由直线的两点式方程，得BD所在直线的方程为 化简得y=2x+10，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程.（五）直线的截距式方程
1.若直线l经过点A(a，0)与点B(0，b)，则直线l的两点式方程是什么？
提示:当a≠0且b≠0时，直线l的两点式方程为 2.问题1中的方程有何特点？
提示:直线l与x轴交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，因此问题1中的方程是由直线在两个坐标轴上的截距确定的.结论:截距式方程的形式:______________________ .例1.若直线l的方程为 =1，则直线l在x轴与y轴
上的截距分别是 (　　)
【解析】选B.直线的截距式方程中x的分母为直线在x轴上的截距，y的分母为直线在y轴上的截距.变式训练1：直线 (ab≠0)在y轴上的截距是 (　　)
A.a B.b C.-a D.-b【解析】选D.直线 (ab≠0)中，
令x=0，解得y=-b，所以直线 在y轴上的截距为-b.变式训练2.直线l过点(-3，3)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程.【解析】由题意设直线l的方程为 则a+b=12， ①
又直线l过点(-3，3)，所以 ②
联立①②解得
故所求的直线方程为 例2.在x轴、y轴上的截距分别是2，-3的直线方程为(　　)【解析】选B.在x轴，y轴上的截距分别是2，-3的直线的方程是 变式训练2：过定点(2，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有n条，则n的值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.以上答案都不对【解析】选C.①若此直线经过原点，则斜率k= ，所以要求的直线方程为3x-2y=0;②当直线不经过原点时，由题意是直线的方程为x±y=a，把(2，3)代入上述直线的方程得2±3=a，解得a=5或-1.所以直线的方程为x+y-5=0，x-y+1=0.
课后练习 1.过点P(-2，2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有 (　　)
A.3条　　　B.2条　　　C.1条　　　D.0条【解析】选C.假设存在过点P(-2，2)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为: (a<0，b>0)，则 即2a-2b=ab.
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=- ab=8，
即ab=-16，联立 解得:a=-4，b=4.
所以直线l的方程为: 即y=x+4，
即这样的直线有且只有一条.
（六）直线方程的一般式
1.平面直角坐标系中的每一条直线l都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？提示:可以，当直线l斜率k存在时，在直线l上任取一点P0(x0，y0)，其方程为y-y0=k(x-x0)，这是关于x，y的二元一次方程，当直线l斜率不存在，即直线l的倾斜角α=90°时，直线的方程为x-x0=0，这也是关于x，y的二元一次方程.2.每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都表示一条直线
吗？提示:都表示.当B≠0时，方程可变形为y=
它表示过点 (0,- ),斜率为- 的直线，当B=0时，则x=- ，它表示过
(- ,0),垂直于x轴的一条直线，故每一个关于x，y的二元一次方程都表
示一条直线.结论:直线方程的一般式
我们把关于x，y的二元一次方程______________________________ 叫做直线的一般式方程，简称一般式.Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)例1.直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线l过原点和第二、四象限，则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.C=0，A>0 B.C=0，A>0，B>0 C.AB<0，C=0 D.AB>0，C=0【解析】 选D.因为直线l过原点，所以C=0.又因为l过第二、四象限，故- <0，所以AB>0.变式训练1：方程2x-3y-1=0在x轴上的截距为____________;在y轴上的截距为____________.?【解析】令x=0，得y=- ，令y=0，得x= ，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为 ，- .
答案: 　- 例2.把直线l的方程2x-3y-6=0化成截距式，指出直线在x轴、y轴上的截距，并画出图形.
【解析】由2x-3y-6=0，得2x-3y=6，即
该直线在x轴、y轴上的截距分别为3与-2，画出图形如
图所示:
变式训练2：本例条件不变，试将直线l的方程化成斜截式并指出它的斜率与截距.
【解析】由2x-3y-6=0得3y=2x-6，
所以y= x-2，其中斜率为 ，截距为-2.
变式训练3.若把本例中的直线方程“2x-3y-6=0”换为“-4x+7y-28=0”，其结论又如何呢？【解析】由-4x+7y-28=0，得-4x+7y=28，即
其中在x轴，y轴上的截距分别为-7与4.
图形如图所示:例3：直线x-y-1=0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是 (　　)　　　　　　　　　　
A.135°，1 B.45°，-1 C.45°，1 D.135°，-1【解析】选B.根据题意，直线的方程为x-y-1=0，变形可得y=x-1，
则其斜率k=1，倾斜角为45°，在y轴上的截距为-1.变式训练4.直线2x-5y-10=0与坐标轴围成三角形的面积为(　　)
A.5 B.10 C.15 D.20
【解析】选A.直线2x-5y-10=0与坐标轴的交点坐标为(0，-2)，(5，0)，
所以直线2x-5y-10=0与坐标轴所围成的三角形面积是: ×2×5=5.课后练习 1.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是(　　)A.(-4，0)　　　B.(0，-4) C.(4，0) D.(4，0)或(-4，0)【解析】选A.设C(m，n)，由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为
代入欧拉线方程得:
整理得:m-n+4=0　①AB的中点为(1，2)，kAB= AB的中垂线方程为y-2= (x-1)，
即x-2y+3=0.
联立 所以△ABC的外心为(-1，1).则(m+1)2+(n-1)2=32+12=10，整理得:m2+n2+2m-2n=8　②联立①②得:m=-4，n=0或m=0，n=4，m=0，n=4时，B，C重合，舍去.所以顶点C的坐标是(-4，0).2.(1)如果直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0(a∈R)平行，那么a=_____.?
(2)已知直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直，则k的值是____.?【解析】(1)当a=0时，不符合题意;当a=-1时，不符合题意;
当a≠0且a≠-1时，l1可化为y= l2可化为y=
由题意知 解得a=-2或a=1.答案:-2或1
(2)由l1⊥l2，得2(k-3)2+(5-k)×(-2)=0，即k2-5k+4=0，解得k=1或k=4.
答案:1或4【总结】利用一般式直线方程判断直线位置关系的方法若直线l1:A1x+B1y+C1=0( ≠0)，l2:A2x+B2y+C2=0( ≠0)，则:
(1)当A1B2-A2B1≠0时，l1与l2相交.(2)当A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0时，l1∥l2.
(3)当A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0时，l1与l2重合.
(4)当A1A2+B1B2=0时，l1⊥l2.3.直线mx+(2m-1)y+1=0和直线3x+my+3=0垂直，则实数m的值为_________.?【解析】本题主要考查两直线垂直关系.若两直线垂直，则有3m+(2m-1)m=0，
即m2+m=0，解得m=0或-1.答案:0或-14.已知三条直线l1:2x+my+2=0(m∈R):l2:2x+y+1=0，l3:x+ny+1=0(n∈R)，若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为__________.?【解析】因为l1∥l2，所以 =-2，解得m=1.因为l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，所以 =-1，解得n=-2.
则m+n=-1.
答案:-1（七）直线方程的综合应用
例1.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值，直线l总经过第一象限.
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.【解析】(1)将直线l的方程整理为 所以l的斜率为a，且过定点
而点 在第一象限，故l必过第一象限.(2)直线OA的斜率为 因为l不经过第二象限，
所以a≥3，故a的取值范围是[3，+∞).变式训练1.已知直线l1:2x-y+1=0和直线l2:x+y-4=0相交于点A，O是坐标原点，直线l3经过点A且与OA垂直.
(1)求直线l3的方程.
(2)若点B在直线l3上，且|OB|=10，求点B的坐标.【解析】(1) ?A(1，3)，所以kOA=3，得直线l3的斜率是 ，
所以直线l3的方程:y-3= (x-1)，即x+3y-10=0.(2)设B(10-3m，m)，
由|OB|=10，得 得m=6或0，
所以B(10，0)或B(-8，6).例2.一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射，通过点B(-1，6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程.
【解析】点A关于x轴的对称点为A1(3，-2)，点B关于x轴的对称
点为B1(-1，-6).
因为A1在反射光线的延长线上，B1在入射光线的延长线上，由两点式可得直线A1B的方程为 化简得2x+y-4=0;直线AB1的方程为
化简得2x-y-4=0.
所以入射光线所在直线方程为2x-y-4=0，
反射光线所在直线方程为2x+y-4=0.
变式训练2.已知有条光线从点A(-2，1)出发射向x轴点B，经过x轴反射后射向y轴上的C点，再经过y轴反射后到达点D(-2，7).求直线BC的方程.【解析】如图所示，因为A(-2，1)，所以A点关于x轴的对称点为A′(-2，-1)，因为D(-2，7)，所以D点关于y轴的对称点D′(2，7).
由对称性可得，A′、D′所在直线方程即为BC所在
直线方程，所以直线BC的方程为
整理得2x-y+3=0.变式训练3.已知光线通过点A(2，3)，经直线x+y+1=0反射，其反射光线通过点B(1，1)，求入射光线和反射光线所在直线方程.【解析】求得点A(2，3)关于直线x+y+1=0的对称点A′(-4，-3).
则由两点式求得反射光线所在的直线A′B的方程为
由 求得直线A′B与直线x+y+1=0的交点
由两点式求得入射光线所在的直线AC的方程为
综上，入射光线所在直线方程为
反射光线所在直线方程为
谢谢！