评测练习
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④ B．①②③
C．①③④ D．②③
2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 ( )
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
4.已知,且.试证:中至少有一个小于2.
5. 如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行于直线b。
一、教材内容分析:
本课是人教B版数学选修2—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第三课时的内容，是反证法部分。
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。
证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。
二、学生学习情况分析：
本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。
所教学生是理科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。但由于学生对数的了解不多，研究不够，所以例1有困难。例2是一个关于等差数列知识的证明，由于学生对数列知识也有遗忘，所以解决这个问题还是困难重重。
三、设计思想
本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式。
个性化设计
四、教学目标
知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
情感、态度、价值观：（1）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。
（2）通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
五、教学重点与难点
重点：1、理解反证法的概念，
2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，
3、用反证法证明简单的命题。
难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。
六、学法指导
通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.
七【教学过程】
学前准备
课前活动设计
1、复习直接证明的两种基本方法综合法和分析法，无理数相关知识，命题的否定等。为本节课反证法的引入，反证法定义及例题一的解决做准备。
2、在练习本上通过练习常见直接词语的否定和互为逆否命题的等价关系进一步为新课打好基础。。
课堂活动准备
（一）情境导入：问题导学
引例一：设a1,a2,a3,…,a7是由数字1,2，…，7任意排列的一个数列，求证：乘积P=（a1-1）（a2-2）…（a7-7）为偶数。
引例二 道旁苦李：王戎七岁，常与诸小儿游。看道边李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动。
人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李。”取之信然。
【设计意图】：通过这个问题引出直接证明的弊端。引起学生尝试用其它方法的兴趣。
请将故事改写成证明题：
已知：
求证：
证明（其他小朋友）： 证明（王戎）：
引例三
设 p为正整数，若p2为偶数，证明p为偶数。填空：
证明：假设 ，则可令p=
则p2= ，显然为
这与 矛盾
所以 。
（二）探究新知：
1.整体感知
上面用到的证明方法与我们以前学过的证明方法不同，它不是由已知条件出发直接证明命题的结论，而是先提出与命题结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法.
课本定义：
思考：反证法的实质是什么？
2.合作交流
Ⅰ、根据引例二填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤．（教师板书步骤）
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
（1） ；
（2） ；
（3） .
Ⅱ、用反证法证明引例一
证明：（学生板演或投影）
【设计意图】：通过对这两个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。
【设计意图】学生总结交流反证法的定义和解题步骤后，教师总结，纠正，对比初中定义，让学生在合作中有所收获，在比较中锻炼能力。因思考（左边）存在争议，所以课上没有交给学生。
【设计意图】引例一的疑问这里被得到了解决，前后呼应，让学生亲自感受反证法得不可替代，同时也起到了本节课的点睛作用
Ⅲ、思考：若∠ C为直角，证明∠ B一定是锐角有几种解法？
反证法适用题型:
（三）学以致用，体验成功
Ⅰ．小组合作学习（课本例1）：
求证： 不是有理数。
（1）你首选的是哪一种证明方法？
（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
自主整理证明过程.
Ⅱ。方法熟用
例2证明：1，，2不能为同一等差数列的三项．
本题常见错误是什么
本题推出的是什么盾？
用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
【设计意图】通过学生自己探究思考的不同解法，感受，总结反证法适用题型。真正把课堂交给了学生
【设计意图】：本例是一个典型的使用反证法证明的问题，结论中含否定词语，故考虑采用反证法。本例的难点是学生对无理数的了解很少，有理数的性质也接触得很少，许多学生对有理数的表示也不太熟悉，因此用反证法得出矛盾的方向也很不明确，教学中要逐步引导到位
【设计意图】：侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识自主探究新知识根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见矛盾.和应用反证法的关键。
（四）随堂练习
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 ( )
①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④ B．①②③
C．①③④ D．②③
2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 ( )
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
4.已知,且.试证:中至少有一个小于2.
（五）课堂小结：
通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？
由学生总结本节课的收获
（六）作业布置：
1、习题2.2.2 A组1、2、题
2、反思：补充完善自己的数学成长记录，感受自己的点滴进步
（七）教学反思
1、本课就新课程理念定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在反证法的思想上，努力挖掘教学中蕴涵的思维价值，培养学生的逆向思维能力。改变了传统的解决问题模式
2、“用教材教，而不是教教材”，针对学生特尽量满足不同思维层次学生的要求。
【设计意图】通过简单测试检验学生学习结果，可在课下进行。也可作为课堂效果的评价依据
【设计意图】：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。
课件16张PPT。2.2.2 反证法普通高中课程标准试验教科书数学
高二年级
（一）情境导入：问题导学 引例一 设a1,a2,a3,…,a7是由数1,2，…，7任意排列的一个数列，求证：乘积P=（a1-1）（a2-2）…（a7-7）为偶数。 已知：道边李树
多子折枝
求证：李树必苦李 。引例二法一：因为尝一下李子是苦的 法二：假设李子树是甜的，
所以李子树是苦的 则因李子数在道旁早被摘没了
这与李树多子产生矛盾
所以假设李子树是甜的不成立
所以李子树是苦的
设p为正整数，如果 P2是偶数，则p也是偶数
证明：证明：假设________，
则可令P=_______________
则p2= ，显然为_____
这与_____________矛盾
所以____________________。注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。引例三 1.整体感知 上面用到的证明方法与我们以前学过的证明方法不同，它不是由已知条件出发直接证明命题的结论，而是先提出与命题结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法. 课本定义： 一般的，由证明p q 转向证明 ： t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾。从而判断 为假，推出q为真的方法，叫做反证法 思考：反证法的实质是什么？ （二）探讨新知应用示例2.合作交流
Ⅰ、根据引例二填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤．
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
(1)____________________________；
(2)____________________________；
(3)____________________________。
Ⅱ、用反证法完成引例一
Ⅲ、思考：若∠ C为直角，证明∠ B一定是锐角有几种解法？
反证法适用题型:
反证法适用题型：
否定性问题;
需分成很多类进行讨论问题．
结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；
结论为 “唯一”类命题；
（三）.学以致用，体验成功
Ⅰ．小组合作学习（课本例1）：
求证： 不是有理数
（1）你首选的是哪一种证明方法？
（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
自主整理证明过程.Ⅱ。方法熟用
例2证明：1、 、2 不能为同一等差数列的三项 本题常见错误是什么？
本题推出的是什么矛盾？
用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
从上述例子看出，反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性，这是一种常见的间接证明方法所谓矛盾主要是指：
（1）与已知条件或假设矛盾；
（2）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；
（3）与公认的简单事实矛盾（四）随堂检测
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 ( )
①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④ B．①②③
C．①③④ D．②③
[答案] C
[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C.2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 ( )
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
[答案] C
[解析] “最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
[答案] C
[解析] 假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.（五）课堂小结：
通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？
（六）作业布置：
1、习题2.2.2 A组1、2题，B组1题
2、反思：补充完善自己的数学成长记录，感受自己的点滴进步将相和 和衷共济 文武双全 一片爱国魂师生携 携手并进 教学相长 两颗进取心
