课件22张PPT。坐标系第一讲1.4 柱坐标系与球坐标系简介2.1 曲线的参数方程2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程建立空间直角坐标系Oxyz，设P(x，y，z)是空间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)表示．把建立上述对应关系的坐标系叫做____________．有序数组(ρ，θ，z)叫点P的____________，其中ρ≥0, 0≤θ<2π， z∈R.要点一 柱坐标系柱坐标系 柱坐标 建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记| OP |＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，P在Oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，点P的位置可以用有序数组(r，φ，θ)表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π.要点二 球坐标系要点三 空间直角坐标系与柱坐标系的转化要点四 空间直角坐标系与球坐标系的转化rsin φcos θ
rsin φsin θ
rcos φ考点一 点的柱坐标与直角坐标的互化
【例题1】 设点M的直角坐标为(2,2,2)，求它在柱坐标系中的坐标．
思维导引：已知直角坐标系中点M的直角坐标，联想空间直角坐标系与柱坐标系的转化公式，代入求解．考点二 点的球坐标与直角坐标的互化
考点三 空间坐标系中两点间的距离
思维导引：把柱坐标与球坐标都化为直角坐标，利用空间两点间的距离公式来解决．考点四 空间坐标系的综合应用
(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．
(2)解决空间坐标系中的问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征．【例题4】 给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标．
思维导引：建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题．
解析：以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x轴y轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系．
下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1,0)其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π.
上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2,2)其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π.
侧面上的点的柱坐标满足(2，θ3，z)其中0≤θ3＜2π，0≤z≤2.四 柱坐标系与球坐标系简介
课题：球坐标系与柱坐标系
教学目的：[来源:Zxxk.Com]
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点：利用它们进行简单的数学应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法[来源:学_科_网]
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
二、讲解新课： [来源:学科网]
1、球坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)
有序数组叫做点P的球坐标，其中≥0，0≤≤，0≤＜2。
空间点P的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：
2、柱坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在
平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：
3、数学应用
例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.
变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
[来源:Zxxk.Com]
例2.将点M的球坐标化为直角坐标.
变式训练
1.将点M的直角坐标化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点＞0)的球坐标是什么?
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练
标满足方程=2的点所构成的图形是什么?
例4.已知点M的柱坐标为点N的球坐标为求线段MN的长度.
[来源:Z,xx,k.Com]
思考:
在球坐标系中,集合表示的图形的体积为多少?
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．球坐标系的作用与规则；
2．柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16
六、课后反思：本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。但以后少用，可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。
第一讲 坐标系
四、柱坐标系与球坐标系简介
A级 基础巩固
一、选择题
1．点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：ρ＝＝2，tan θ＝＝，θ＝，所以点M的柱坐标为.
答案：C
2．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
因为点M的球坐标为，
所以x＝1·sin cos ＝，
y＝1·sin sin ＝，
z＝1·cos ＝.
所以M的直角坐标为.
答案：B
3．已知点P的柱坐标为，点Q的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A．点P(5，1，1)，点Q
B．点P(1，1，5)，点Q
C．点P，点Q(1，1，5)
D．点P(1，1，5)，点Q
答案：B
4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：因为M点的柱坐标为M，设点M的直角坐标为(x，y，z)．
所以x＝3cos ＝，y＝3sin ＝，z＝3，
所以M点的直角坐标为.
设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．
γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．
所以r＝ ＝3，容易知道φ＝，同时结合点M的直角坐标为，
可知cos θ＝＝＝，
所以θ＝，
所以M点的球坐标为.
答案：B
5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为( )
A. B.[来源:Zxxk.Com]
C. D.
解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)，[来源:学科网]
则ρ＝＝2，tan θ＝＝＝1，
因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，
所以θ＝，
所以所求柱坐标为.
答案：C
二、填空题
6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．
答案：(－2，2，2)
7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
所以|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝.
答案：3
8．若点P的柱坐标为，则点P的球坐标为___________．
解析：点P的柱坐标为，
则点P的直角坐标为，
故r＝ ＝3.
由3＝3cos φ，cos φ＝，得φ＝，
又tan θ＝＝，又θ的终边过点，
故θ为，
故点P的球坐标为.
答案：
三、解答题
9．设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标．
解：由坐标变换公式，可得ρ＝＝，
tan θ＝＝1，
θ＝(点1，1)在平面xOy的第一象限．
r＝＝＝2.
由rcos φ＝z＝(0≤φ≤π)，得cos φ＝＝，φ＝.
所以点M的柱坐标为，球坐标为.
10．在球坐标系中，求两点P、Q的距离．
解：将P，Q两点的球坐标转化为直角坐标：
P：x＝3sin cos ＝，
y＝3sin sin ＝，
z＝3cos ＝，
所以点P的直角坐标为.
Q：x＝3sin cos ＝－，
y＝3sin sin ＝，
z＝3cos ＝，
所以点Q的直角坐标为.[来源:学科网]
所以|PQ|＝＝，故P、Q两点间的距离为.
B级 能力提升
1．已知点P1的球坐标为，P2的柱坐标为，则|P1P2|＝( )
A. B.
C. D．4
解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，
则得
故P1(2，－2，0)，
设点P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)，
故得
故P2(，1，1)．
则|P1P2|＝ ＝.
答案：A
2．在柱坐标系中，长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8，0，10)，C1，则此长方体外接球的体积为________．
答案：π
3．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球面距离．
解：设纬度圈的圆心为O′，地球球心为O，
如图所示，OA＝OB＝R，由点A，B的球坐标可知，[来源:学科网ZXXK]
∠BOO′＝45°，∠AOO′＝45°，
这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．
则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，
所以∠AO′B＝160°－70°＝90°.[来源:学科网ZXXK]
因为OB＝R，O′B＝O′A＝R，
所以AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.
所以∠AOB＝60°，＝×2πR＝πR.
即A，B两点间的球面距离为πR.
课件48张PPT。第一讲 坐标系课时跟踪检测(五) 柱坐标系
一、选择题
1．设点M的直角坐标为(1，－，2)，则它的柱坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选D ρ＝＝2，tan θ＝－，
又x>0，y<0，M在第四象限，
∴θ＝，
∴柱坐标是.
2．点P的柱坐标为，则点P与原点的距离为( )
A. B．2 C．4 D．8
解析：选B 点P的直角坐标为(4，4，2)．
∴它与原点的距离为：
＝2.
3．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)
答案：C
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选C (1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.
二、填空题
5．设点Μ的柱坐标为，则点Μ的直角坐标为________．
解析：x＝ρcos θ＝2cos＝.
y＝ρsin θ＝2sin ＝1.
∴直角坐标为(，1,7)．
答案：(，1,7)
6．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．
解析： ∵x＞0，y＝0，
∴tan θ＝0，θ＝0.
ρ＝＝1.
∴柱坐标为(1,0,5)．
答案：(1,0,5)
7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________．
答案：中心轴为z轴，底半径为2的圆柱面
三、解答题
8．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称点的柱坐标．
解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．
由变换公式得
ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝.
tan θ＝＝－1，
又x＞0，y＜0，∴θ＝.
∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为.
9．已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标．
解：M的直角坐标为
∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．
∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，
∴ρ＝.tan θ＝＝1，
又x＜0，y＜0，
∴θ＝.
∴其柱坐标为.
∴点M关于原点O对称的点的柱坐标为.
10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．
解：以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在平面BCD上建立极坐标系．过O点与平面BCD垂直的线为z轴．
过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，
则|BA′|＝×＝，|AA′|＝＝，
∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝，
则A，B(0,0,0)，C，D.
课时跟踪检测(六) 球坐标系
一、选择题
1．已知一个点的球坐标为，则它的方位角为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由球坐标的定义可知选A.
2．设点M的柱坐标为，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设点M的直角坐标为(x，y，z)，
故
设点M的球坐标为(ρ，φ，θ)．
则ρ＝＝2，
由＝2cos φ知φ＝.
又tan θ＝＝1，
故θ＝，
故点M的球坐标为.
3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(1,0,0) B．(－1，－1,0)
C．(0，－1,0) D．(－1,0,0)
解析：选D x＝rsin φcos θ＝1·sin·cos π＝－1，
y＝rsin φsin θ＝1·sin·sin π＝0，
z＝rcos φ＝1·cos＝0.
∴它的直角坐标为(－1,0,0)．
4．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由坐标变换公式，得
r＝＝2，
cos φ＝＝，∴φ＝.
∵tan θ＝＝＝1，∴θ＝.
∴M的球坐标为.
二、填空题
5．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．
解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．
答案：(－2,2,2)
6．在球坐标系中，方程r＝1表示________．
解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．
答案：球心在原点，半径为1的球面
7．在球坐标系中A和B的距离为________．
解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)，B(－1,1，－)．
∴|AB|＝＝2.
答案：2
三、解答题
8．将下列各点的球坐标化为直角坐标．
(1)；
(2).
解：(1)x＝4sincos＝2，y＝4sinsin＝－2，
z＝4cos＝0，
∴它的直角坐标为(2，－2，0)．
(2)x＝8sincos π＝－4，
y＝8sinsin π＝0，z＝8cos＝－4，
∴它的直角坐标为(－4，0，－4)．
9．如图，请你说出点M的球坐标．
解：
由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．
∴点M的球坐标为：M(R，φ，θ)．
10．如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标．(其中O是△BCD的中心)
解：∵O是△BCD的中心，
∴OC＝OD＝OB＝，AO＝.
∴C，D，
B，A.
第9节：球坐标系与柱坐标系
教学目的：
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点：利用它们进行简单的数学应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
二、讲解新课：
1、球坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=，OP与OZ轴正向所夹的角为，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)。
有序数组叫做点P的球坐标，其中≥0，0≤≤，0≤＜2。
空间点P的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：
2、柱坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)表示点在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R。
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：
3、数学应用
例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.
变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
例2.将点M的球坐标化为直角坐标.
变式训练
1.将点M的直角坐标化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点＞0)的球坐标是什么?
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练
标满足方程=2的点所构成的图形是什么?
例4.已知点M的柱坐标为点N的球坐标为求线段MN的长度.
思考:
在球坐标系中,集合表示的图形的体积为多少?
三、小 结：
本节课学习了以下内容：
1.柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；
2.柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
四、课后作业：
