课件21张PPT。参数方程第二讲教材单元导学2.1 曲线的参数方程2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程要点一 参数方程的概念1．如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向要点二 圆的参数方程rcos θ
rsin θ2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2a＋rcos θ
b＋rsin θ考点一 参数方程的概念
判断点是否在曲线上的方法
已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，若方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．考点二 圆的参数方程及其应用
(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．
(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正余弦函数的有界性．【例题2】 圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．
思维导引：建立平面直角坐标系，将P点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值．【变式2】 已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．考点三 参数方程的实际应用【例题3】 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝2 000 m，水平飞行速度为v1＝100 m/s，如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度；
(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10 m/s2)思维导引：建立直角坐标系，设出炸弹对应的点的坐标的参数方程，然后利用运动学知识求解．
(2)令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20(s)，
由于炸弹水平运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系．水平方向s相对＝v相对t，
所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1 600(m)．【变式3】 动点P做匀速直线运动，它在x轴和y轴上的分速度分别为2 m/s和3 m/s，直角坐标系的单位长度为1 m，点P的起始位置为P0(3,2)．
(1)求点P的轨迹的参数方程；
(2)求运动10 s时点P的坐标．第二章 参数方程
【课标要求】
1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念
一、教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。[来源:学#科#网]
三、教学方法：启发诱导，探究归纳
四、教学过程
（一）．参数方程的概念
1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为，与地面成角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]
2．分析探究理解：
（1）、斜抛运动：
（2）、抽象概括：参数方程的概念。说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：
（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹[来源:Zxxk.Com]
的参数方程消去参数t后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：
例1、已知曲线C的参数方程是 (t为参数)（1）判断点(0,1), (5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点(6,a)在曲线C上，求a的值。
分析：只要把参数方程中的t消去化成关于x,y的方程问题易于解决。学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y的方程问题求解。
例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为
rad/s,试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
解析：如图，运动开始时质点位于A点处，此时t=0，设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知，得参数方程为。[来源:学科网ZXXK]
反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。
（三）、课堂练习：
（四）、小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。
（五）、作业：
补充：设飞机以匀速v=150m/s作水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。简解：（1）。（2）1643m。
五、教学反思：
第二讲 参数方程
一、曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
A级 基础巩固
一、选择题
1．方程(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )
A．(1，1) B.
C. D.
解析：当θ＝时，x＝，y＝，所以点在方程(θ为参数)所表示的曲线上．
答案：C[来源:学,科,网]
2．下列方程可以作为x轴的参数方程的是( )
A. B.
C. D.
解析：选项A表示x轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B表示的是y轴；选项C表示x轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D可以作为x轴的参数方程．
答案：D
3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.所以(t为参数)
答案：A
4．参数方程(θ为参数)化为普通方程是( )[来源:学科网ZXXK]
A．2x－y＋4＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]
D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]
解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.
故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．
答案：D
5．参数方程(0≤θ<2π)表示的是( )
A．双曲线的一支，这支过点
B．抛物线的一部分，这部分过点
C．双曲线的一支，这支过点
D．抛物线的一部分，这部分过点
解析：因为x＝，故x∈[0，]，
又y＝(1＋sin θ)，故y∈[0，1]．
因为x2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x2－1，
代入y＝(1＋sin θ)中得y＝x2，
即x2＝2y，(0≤x≤，0≤y≤1)表示抛物线的一部分，
又2×＝1，故过点.
答案：B
二、填空题
6．若x＝cos θ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．
解析：把x＝cos θ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，
得cos2θ＋(y＋1)2＝1，
于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sin θ.
由于参数θ的任意性，
可取y＝－1＋sin θ，
因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为[来源:学+科+网Z+X+X+K]
(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
7．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________________．
解析：因为x＝2＋t，所以t＝x－2，代入y＝1＋t，
得y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
8．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)．点M(5，4)在该曲线上，则常数a＝________．
解析：因为点M(5，4)在曲线C上，
所以解得所以a的值为1.
答案：1
三、解答题
9．指出下列参数方程表示什么曲线：
(1)(θ为参数，0<θ<)；
(2)(t为参数，π≤t≤2π)；
(3)(θ为参数，0≤θ<2π)．
解：(1)由(θ为参数)得x2＋y2＝9.
又由0<θ<，得0所以所求方程为x2＋y2＝9(0这是一段圆弧(圆x2＋y2＝9位于第一象限的部分)．
(2)由(t为参数)得x2＋y2＝4.
由π≤t≤2π，得－2≤x≤2，－2≤y≤0.
所求圆方程为x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0)．
这是一段半圆弧(圆x2＋y2＝4位于y轴下方的部分，包括端点)．
(3)由参数方程(θ为参数)得(x－3)2＋(y－2)2＝152，由0≤θ<2π知这是一个整圆．
10．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
解：(1)把点M1的坐标(0，1)代入参数方程得
解得t＝0，所以点M1在曲线C上．
把点M2的坐标(5，4)代入参数方程得
即无解，所以点M2不在曲线C上．
(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以
解得t＝2，a＝9.所以a＝9.
B级 能力提升
1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )
A．(2，3) B．(1，5)
C. D．(2，0)
解析：先将P(2cos θ，3sin θ)化为方程为＋＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．
答案：D
2．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是__________________．
解析：曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2－2x－4y＝0，把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，
即ρ＝2cos θ＋4sin θ.
答案：ρ＝2cos θ＋4sin θ
3．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．
解：(1)将消去参数t，
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，[来源:学科网]
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
(2)由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
课件55张PPT。第二讲 参数方程课时跟踪检测(七) 参数方程的概念
一、选择题
1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(θ为参数) D.(t为参数)
解析：选D x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
2．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ<2π)，若点Μ(14，a)在曲线C上，则a等于( )
A．－3－5 B．－3＋5
C．－3＋ D．－3－
解析：选A ∵(14，a)在曲线C上，
∴
由①，得cos θ＝.又π≤θ＜2π，
∴sin θ＝－＝－，
∴tan θ＝－.
∴a＝5·(－)－3＝－3－5.
3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A．(2，－7) B. C. D．(1,0)
解析：选C 将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
∴
二、填空题
5．已知曲线(θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点：A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．
解析：将点A坐标代入方程，得θ＝0或π，
将点B，C坐标代入方程，方程无解，
故点A在曲线上．
答案：A(1,3)
6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的是________(填序号)．
①②③
④
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确．
答案：④
7．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为________________________．
解析：设M(x，y)，
则在x轴上的位移为x＝1＋9t，
在y轴上的位移为y＝1＋12t.
∴参数方程为(t为参数)．
答案：(t为参数)
三、解答题
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b∈R＋，且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0，得
(x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ.
∴(θ为参数)．
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ，
y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.
所以P点轨迹的参数方程为
θ∈.
10．试确定过M(0,1)作椭圆x2＋＝1的弦的中点的轨迹方程．
解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，
其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)．
设中点P(x，y)，则有：x＝，y＝.
由
得(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0.
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝.
∴(k为参数)．
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．
