课件27张PPT。参数方程第二讲2.1 曲线的参数方程2.1.2 参数方程的概念与圆的参数方程曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过__________而从参数方程得到普通方程．要点一 参数方程转化为普通方程消去参数 要点二 普通方程转化为参数方程x＝f(t)y＝g(t)取值范围考点一 参数方程化为普通方程
思维导引：把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性．(2)∵0≤t≤π，－1≤cos t≤1,0≤sin t≤1.
∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，
(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2 t＋16sin2 t＝16.
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)，
它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆．
(3)由y＝－1＋cos 2θ可得y＝－2sin2 θ，把sin2 θ＝x－2代入y＝－2sin2 θ可得y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0，
又∵2≤2＋sin2 θ≤3，即2≤x≤3，
∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一条线段．考点二 普通方程化为参数方程
普通方程化为参数方程的注意点
(1)求曲线的参数方程，要注意参数的选取，曲线的参数很关键，既要保证曲线上每一点都能由参数某一值唯一确定，又要保证参数与x，y的关系比较明显．
(2)选取参数后要特别注意参数的取值范围，保证参数方程与普通方程的等价性．【例题2】 求方程4x2＋y2＝16的参数方程：
(1)设y＝4sin θ，θ为参数；
(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？考点三 两种方程间的互化及其应用思维导引：(1)将参数方程化为普通方程，解方程组求交点．
(2)由C1的普通方程求出点A的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标可得参数方程，再化为普通方程可知曲线类型．考点四 参数方程的综合应用第二课时 圆的参数方程及应用
一、教学目标：
知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合）
过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程[来源:学科网ZXXK]
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、圆的参数方程探求
1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
这就是圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
说明：（1）参数θ的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
3、若如图取
结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。[来源:Zxxk.Com]
4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。
（二）、应用举例
例1、已知两条曲线的参数方程
（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。
（三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）
例2、1、已知点P（x，y）是圆上动点，求（1）的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆即，用参数方程表示为[来源:Z_xx_k.Com]
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1）[来源:学#科#网Z#X#X#K]
(其中tan =) ∴的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ θ + ）∴ x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。
显然当sin（ θ+ ）= 1时，d取最大值，最小值，分别为， .
2、 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；
3、若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 。
（三）、课堂练习：学生练习：1、2
（四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。
（五）、作业：
1、方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）
A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线
2、已知，则的最大值是6。
8．曲线的一个参数方程为
五、教学反思：
[来源:学.科.网]
第二讲 参数方程
一、曲线的参数方程
第2课时 圆的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知圆P：(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是( )
A．P(1，3)，r＝10 B．P(1，3)，r＝
C．P(1，－3)，r＝ D．P(1，－3)，r＝10
解析：由圆P的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r＝.
答案：C
2．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.(θ为参数)
解析：圆的方程配方为：(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圆的圆心为(－2，3)，半径为4，故参数方程为B选项．
答案：B
3．已知圆O的参数方程是(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－3)，则参数θ＝( )
A. B. C. D.
解析：由题意(0≤θ<2π)，
所以(0≤θ<2π)，解得θ＝.
答案：D
4．若P(x，y)是圆(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6 C．26 D．25
解析：依题意P(2＋cos α，sin α)，
所以(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝
26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)
，
所以当sin(α－φ)＝1，即α＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时，有最大值为36.
答案：A
5．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝<2.
所以直线与圆相交，但不过圆心．
答案：D
二、填空题
6．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，则它的一个参数方程是______．
解析：将x2＋y2＝2x化为(x－1)2＋y2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，
所以它的一个参数方程为(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
7．已知曲线方程(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．
解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A，
则|PA|＝＝
，
故|PA|min＝＝2－1.
答案：2－1
8．曲线C：(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．
解析：(θ为参数)消参可得
x2＋(y＋1)2＝1，
利用圆心到直线的距离d≤r得≤1，
解得1－≤a≤1＋.
答案：x2＋(y＋1)2＝1 [1－，1＋]
三、解答题
9．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l普通方程；
(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．
解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，
所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
由得x＝y＋m，即x－y－m＝0，
所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
由(1)可知直线l：x－y－2＝0，
曲线C：(x－1)2＋y2＝1，
圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为1.
则圆心到直线l的距离为d＝＝，
所以|AB|＝2 ＝，
因此|AB|的值为.
10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．[来源:学.科.网]
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
B级 能力提升
1．已知点P(x，y)在曲线C：(θ为参数)上，则x－2y的最大值为( )
A．2 B．－2
C．1＋ D．1－
解析：由题意，得
所以x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ)＝
1－＝1－sin(θ－φ)，
所以x－2y的最大值为1＋.
答案：C
2．已知圆C：(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：令y＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，
故θ＝或，当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－1，[来源:Zxxk.Com]
当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－5，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
故|AB|＝|－1＋5|＝4.
答案：4
3．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋＝1，[来源:学科网ZXXK]
即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，
于是所求直线的方程为y－1＝，[来源:学#科#网]
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即ρ＝为过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
课件42张PPT。第二讲 参数方程课时跟踪检测(八) 圆的参数方程
一、选择题
1．圆的参数方程为：(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(2,0)
解析：选D 将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．
2．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选C 将化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，
由于＝<2＝r，
故直线与圆相交，有两个公共点．
3．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝<2，故选D.
4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6 C．26 D．25
解析：选A 设P(2＋cos α，sin α)，代入，得
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α
＝26＋10sin(α－φ)．
∴最大值为36.
二、填空题
5．参数方程(φ为参数)表示的图形是________．
解析：x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆．
答案：圆
6．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．
解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l的直角坐标方程为x＝1.
由圆C的参数方程可得x2＋(y－1)2＝1，
由
得直线l与圆C的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
7．(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
故曲线C对应的参数方程可写为
(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
三、解答题
8．P是以原点为圆心，半径r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点．
(1)画图并写出⊙O的参数方程；
(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．
解：(1)如图所示，⊙O的参数方程(θ为参数)．
(2)设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，
∵Q(6,0)，∴M的参数方程为
即(θ为参数)．
9．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹．
解：设M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，
则
∴
将sin 2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，
整理，得2＋2＝.
∴所求轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
10．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，.
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为2＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
