课件24张PPT。参数方程第二讲2.2 圆锥曲线的参数方程2.1 曲线的参数方程2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程要点一 椭圆的参数方程acos φ
bsin φ要点二 双曲线的参数方程btan φ(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为____________(t是参数)，t∈(－∞，＋∞)；
(2)抛物线y2＝－2px(p>0)的参数方程为___________(t是参数)，t∈(－∞，＋∞)；
(3)抛物线x2＝2py(p>0)的参数方程为___________(t为参数)，t∈(－∞，＋∞)；
(4)抛物线x2＝－2py(p>0)的参数方程为___________(t为参数)，t∈(－∞，＋∞)． 要点三 抛物线的参数方程考点一 椭圆参数方程的应用考点二 双曲线参数方程的应用
双曲线参数方程的应用技巧
先设出双曲线上的点P的参数形式，利用斜率公式或点到直线的距离公式等转化为三角函数问题，再用三角知识去处理．思维导引：利用双曲线的参数方程，将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解．考点三 抛物线参数方程的应用【例题3】 连接原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
思维导引：先求出抛物线的参数方程并表示出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．B 考点四 利用参数法求轨迹方程
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，需要引入一个中间变量即参数，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．思维导引：设出曲线C′的点A的参数形式，然后消去参数化为普通方程即可．【变式4】 设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．第三课时 圆锥曲线的参数方程
一、教学目标：
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义[来源:Zxxk.Com]
过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法[来源:学,科,网Z,X,X,K]
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
(1)圆参数方程 （为参数）
（2）圆参数方程为： （为参数）
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？
（二）、讲解新课：
1.椭圆的参数方程推导：椭圆参数方程 （为参数）,参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。
2.双曲线的参数方程的推导：双曲线参数方程 （为参数）
参数几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。
3.抛物线的参数方程：抛物线参数方程 （t为参数）,t为以抛物线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。
（1）、关于参数几点说明：
A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样[来源:学_科_网Z_X_X_K]
C.在实际问题中要确定参数的取值范围
(2)、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
（3）、参数方程求法：（A）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为；（B）选取适当的参数；（C）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（D）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
(4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间做参数；与旋转的有关问题选取角做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆参数方程 （为参数）；椭圆的参数方程是
（2）、以为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是。 （3）在利用研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作（acos,bsin）。
（三）、巩固训练
1、曲线的普通方程为。[来源:学+科+网Z+X+X+K]
2、曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
A． B． C．1 D．
3、已知椭圆 (为参数)求 （1）时对应的点P的坐标
（2）直线OP的倾斜角
（四）、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。
（五）、作业：
五、教学反思：[来源:学科网ZXXK]
第二讲 参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
第1课时 椭圆
A级 基础巩固
一、选择题
1．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是( )
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
解析：把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为＋＝1，则b＝2，a＝3，其参数方程为(φ为参数)．
答案：B
2．椭圆(θ为参数)的焦距为( )[来源:学科网]
A. B．2 C. D．2
解析：消去参数θ得椭圆方程为：＋＝1，
所以a2＝25，b2＝4，所以c2＝21，所以c＝，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
所以2c＝2.
答案：B
3．点(2，3)对应曲线(θ为参数)中参数θ的值为( )
A．kπ＋(k∈Z) B．kπ＋(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解析：由得
故D正确．
答案：D
4．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2，3) B．点(2，0)
C．点(1，3) D．点
解析：把四个选项代入P点检验，只有B符合．
答案：B
5．椭圆(θ为参数，0≤θ<2π)上有一点P，则P点的离心角为( )
A. B. C. D.
解析：将P代入得
又0≤θ<2π，所以θ＝.
答案：B
二、填空题
6．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．
解析：当t＝时，
即M(1，2)，同理N(，2)．
kMN＝＝－2.
答案：－2
7．已知P是椭圆＋＝1上的动点，O为坐标原点，则线段OP中点M的轨迹方程是________．
解析：设P(4cos θ，2sin θ)，M(x，y)，则由中点坐标公式得 即(θ为参数)，
消去θ得动点M的轨迹方程是＋＝1.
答案：＋＝1
8．已知A(3，0)，P是椭圆＋＝1上的动点．若使|AP|最大，则P点坐标是________．
解析：椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设P(5cos θ，4sin θ)，[来源:学科网ZXXK]
则|PA|＝＝
＝
＝|3cos θ－5|≤8，
当cos θ＝－1时，|PA|最大，
此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5，0)．
答案：(－5，0)
三、解答题
9．已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值，以及取得最大值时点P的坐标．
解：直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0.
因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，
故可设P(2cos θ，sin θ)．
因此点P到直线l的距离[来源:学科网ZXXK]
d＝＝，
所以当sin＝±1，即θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.当k为偶数时，得点P的坐标为，当k为奇数时，得点P的坐标为.
所以点P到直线l的距离的最大值为，取得最大值时点P的坐标为或.
10．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，
得2a＝4，即a＝2.
又点A在椭圆上，
因此＋＝1，得b2＝3，
于是c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，
则x＝，y＝，
所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
消去θ，得＋＝1.
即为线段F1P中点的轨迹方程．
B级 能力提升
1．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4
C.＋ D．2[来源:学科网ZXXK]
解析：椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，
x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2.
答案：D
2．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ<2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y＝x＋b得：
4sin θ＝2cos θ＋b
因为恒有公共点，所以方程有解．
令f(θ)＝b＝4sin θ－2cos θ＝2sin(θ－φ)，其中tan φ＝.所以－2≤f(θ)≤2.
所以－2≤b≤2.
答案：[－2，2]
3．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝＝＝
cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
课件42张PPT。第二讲 参数方程课时跟踪检测(九) 参数方程和普通方程的互化
一、选择题
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：选C 代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，
y∈[0,1]，故选C.
2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )
A．直线 B．圆 C．线段 D．射线
解析：选C x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，
∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．
3．下列参数方程中，与方程y2＝x表示同一曲线的是( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析：选D A中y有限制y＝t2≥0；B中sin2t和sin t都表示在一定范围内；C中化简不是方程y2＝x，而是x2＝y且有限制条件；代入化简可知选D.
4．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是( )
A．(x－1)2(y－1)＝1 B．y＝(x≠1)
C．y＝－1(x≠1) D．y＝(x≠±1)
解析：选B 由x＝1－，得＝1－x，由y＝1－t2，得t2＝1－y.
所以(1－x)2·(1－y)＝2·t2＝1，进一步整理得到y＝(x≠1)．
二、填空题
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．
解析：由于cos 2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，
即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．
答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)
6．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．
解析：由直线l1：(s为参数)，消去参数s得l1的普通方程为x－2y－1＝0，
由直线l2：(t为参数)，消去参数t得l2的普通方程为ay－2x＋a＝0，因为l1与l2平行，所以斜率相等，即＝，≠，所以a＝4.
答案：4
7．已知直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________．
解析：直线的普通方程为y＝x－4，
代入圆的方程，得x2－6x＋8＝0，
设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，
∴＝3，
∴＝3－4＝－.
∴A，B的中点坐标为(3，－)．
答案：(3，－)
三、解答题
8．把参数方程(k为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．
解：法一：若x≠0，两式相除，得k＝.
代入x＝，整理，得x2－y2－4y＝0(x≠0)．
若x＝0，则k＝0，可得y＝0.
显然点(0,0)在曲线x2－y2－4y＝0上．
又由y＝＝－4－，可知y≠－4.
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，去掉点(0，－4)．
法二：由y＝－4－，知y≠－4，
所以可解得k2＝，代入x2的表达式，得
x2＝，整理，得
x2－y2－4y＝0(y≠－4)．
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
法三：∵x2＝2，y2＝2，
两式相减，并整理，得
x2－y2＝.
∵1－k2≠0，
∴x2－y2＝＝4y，
即x2－y2－4y＝0.
∴方程表示双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．
解：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)．
在此圆上任取一点P(2cos θ，2sin θ)，
PQ的中点为M(2cos θ，sin θ)，
PQ中点轨迹的参数方程为(θ为参数)．化成普通方程为＋y2＝1.
10．化下列参数方程为普通方程．
(1)(t∈R且t≠－1)；
(2).
解：(1)变形为
∴x≠－1，y≠2，
∴x＋y＝1(x≠－1)．
(2)
②式平方结合①，得y2＝x2＋2x，
由x＝tan θ＋知|x|≥2.
∴普通方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．
课时跟踪检测(十) 椭圆的参数方程
一、选择题
1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( )
A．π B. C．2π D.
解析：选A ∵点(－a,0)中x＝－a，
∴－a＝acos θ，
∴cos θ＝－1，∴θ＝π.
2．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
解析：选C 点M的坐标为(1,2)，
∴kOM＝2.
3．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选B 设椭圆上一点P1的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈，如图所示，则S四边形P1AOB＝S△OAP1＋S△OBP1
＝×4×3sin θ＋×3×4cos θ
＝6(sin θ＋cos θ)＝6sin.
当θ＝时，S四边形P1AOB有最大值为6.
所以S△ABP1≤6－S△AOB＝6－6＜4.
故在直线AB的右上方不存在点P使得△PAB的面积等于4，又S△AOB＝6＞4，所以在直线AB的左下方，存在两个点满足到直线AB的距离为，使得S△PAB＝4.
故椭圆上有两个点使得△PAB的面积等于4.
4．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0 B．1 C．0或1 D．2
解析：选B
由得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
二、填空题
5．椭圆(θ为参数)的焦距为________．
解析：椭圆的普通方程为＋＝1.
∴c2＝21，∴2c＝2.
答案：2
6．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
所以设x＝2cos α，y＝sin α，则
2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.
答案：5
7．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a＞b＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆 O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆 O相切，则椭圆C的离心率为____________．
解析：l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线l与圆O相切，
得m＝±b.
从而椭圆的一个焦点为(b,0)，即c＝b，
所以a＝b，则离心率e＝＝.
答案：
三、解答题
8．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将(0≤θ＜π)化为普通方程，得
＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，
将x＝t2，y＝t代入，得
t4＋t2－1＝0，
解得t2＝，
∴t＝(∵y＝t≥0)，x＝t2＝·＝1，
∴交点坐标为.
9．对于椭圆(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的，再把纵坐标缩短为原来的即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．
解：设圆的参数方程为(θ为参数)，
如果将该圆看成椭圆，
那么在椭圆中对应的数值分别为a＝b＝r，
所以c＝＝0，
则离心率e＝＝0.
即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．
10．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，
得P(0,4)．
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程
x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，
故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝
＝＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
