第二讲
参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
第2课时
双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析：逐一验证知D不满足y2＝4x.
答案：D
2．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支
B．双曲线右支
C．双曲线上支
D．双曲线下支
解析：因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4，
且x＝et＋e－t≥2＝2，
所以表示双曲线的右支．
答案：B
3．若曲线(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是( )
A．t1＋t2
B．t1－t2[]
C.
D.[]
解析：依题意M1(2pt1，2pt)，M2(2pt2，2pt)，
所以k＝eq
\f(2pt－2pt,2pt1－2pt2)＝＝t1＋t2.
答案：A
4．点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0
B．1
C.
D．2
解析：设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.
由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.
答案：B
5．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，[]
故F1(－5，0)，F2(5，0)，
设P(4sec
θ，3tan
θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec
θ，y＝＝tan
θ，[]
从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．
答案：A
二、填空题
6．双曲线的顶点坐标为________．
解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x轴，且a＝，故顶点坐标为(±，0)．
答案：(±，0)
7．如果双曲线(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.
答案：10或6
8．过抛物线(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
解析：化为普通方程是：x＝，即y2＝4x，所以p＝2.
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
答案：8
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为
所以消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①[]
同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，.
10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，
可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝eq
\f(8t2－8t1,8t－8t)＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8t＋8t,2)，,y＝\f(8t1＋8t2,2).))
所以kAP＝eq
\f(4（t1＋t2）,4（t＋t）－1).
由kMN＝kAP知t1·t2＝－，
又eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4（t＋t），,y＝4（t1＋t2），))
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
B级 能力提升
1．已知抛物线C1：(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝( )
A．1
B.
C.
D．2
解析：抛物线C1的普通方程为y2＝8x，焦点为(2，0)，故直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，由题意＝r，得r＝.
答案：C
2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos
θ＋sin
θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．
答案：(2，－4)
3.如图所示，设M为双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点，过点M作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，试求平行四边形MAOB的面积．
解：双曲线的渐近线方程为y＝±x.
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为(asec
φ，btan
φ)，则直线MA的方程为y－btan
φ＝－(x－asec
φ)，
将y＝x代入解得点A的横坐标为xA＝(sec
φ－tan
φ)，
同理可得点B的横坐标为xB＝(sec
φ－tan
φ)．
设∠AOx＝α，则tan
α＝，
所以平行四边形MAOB的面积为S?MAOB＝|OA|·|OB|·sin
2α－··sin
2α＝·sin
2α＝·tan
α＝·＝.课时跟踪检测(十一)
双曲线的参数方程
抛物线的参数方
一、选择题
1．曲线(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(0，－1)
解析：选B 将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，
该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，
所以焦点为(0,1)．
2．圆锥曲线(θ是参数)的焦点坐标是( )
A．(－5,0)
B．(5,0)
C．(±5,0)
D．(0，±5)
解析：选C 由(θ为参数)得
－＝1，
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
3．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支
B．双曲线右支
C．双曲线上支
D．双曲线下支
解析：选B ∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.
且x＝et＋e－t≥2＝2.
∴表示双曲线的右支．
4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A．1
B．2
C.
D．3
解析：选C ∵双曲线方程为x2－y2＝1，∴a＝b＝1.
∴双曲线的参数方程为(θ为参数)．
设双曲线上一动点为Μ(sec
θ，tan
θ)，
则2＝sec2θ＋(tan
θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan
θ＋4)
＝2tan2θ－4tan
θ＋5＝2(tan
θ－1)2＋3.
当tan
θ＝1时，2取最小值3，
此时有＝.
二、填空题
5．已知动圆方程x2＋y2－xsin
2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为
即消去参数，得
y2＝1＋2x.
答案：y2＝1＋2x
6．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线倾斜角为α，则tan
α＝±＝±.
∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由(t为参数)得y＝，
又由(θ为参数)得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
解：由题意可知O1(0,2)，∵Q为双曲线x2－y2＝1上一点，设Q(sec
θ，tan
θ)，
在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|.
又|O1Q|2＝sec2θ＋(tan
θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan
θ＋4)
＝2tan2θ－4tan
θ＋5
＝2(tan
θ－1)2＋3.
∴当tan
θ＝1，即θ＝时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min＝.
∴|PQ|min＝－1.
9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
证明：设d1为点Μ到渐近线y＝x的距离，d2为点Μ到渐近线y＝－x的距离，
因为点Μ在双曲线x2－y2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec
α，tan
α)．
d1＝，d2＝，
d1d2＝＝，
故d1与d2的乘积是常数．
10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：法一：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则∴kAP＝，
由kMN＝kAP知t1t2＝－，又
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y2＝8x上知
两式相减得y－y＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
∴＝.设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.
由kPA＝，又kMN＝＝＝，
∴＝.∴y2＝4(x－1)．
∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．(共24张PPT)
参数方程
第二讲
2.2 圆锥曲线的参数方程
2.1 曲线的参数方程
2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程
要点一 椭圆的参数方程
acos
φ
bsin
φ
要点二 双曲线的参数方程
btan
φ
(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为____________(t是参数)，t∈(－∞，＋∞)；
(2)抛物线y2＝－2px(p>0)的参数方程为___________(t是参数)，t∈(－∞，＋∞)；
(3)抛物线x2＝2py(p>0)的参数方程为___________(t为参数)，t∈(－∞，＋∞)；
(4)抛物线x2＝－2py(p>0)的参数方程为___________(t为参数)，t∈(－∞，＋∞)．
要点三 抛物线的参数方程
考点一 椭圆参数方程的应用
考点二 双曲线参数方程的应用
双曲线参数方程的应用技巧
先设出双曲线上的点P的参数形式，利用斜率公式或点到直线的距离公式等转化为三角函数问题，再用三角知识去处理．
思维导引：利用双曲线的参数方程，将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解．
考点三 抛物线参数方程的应用
【例题3】
连接原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
思维导引：先求出抛物线的参数方程并表示出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．
B
考点四 利用参数法求轨迹方程
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，需要引入一个中间变量即参数，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
思维导引：设出曲线C′的点A的参数形式，然后消去参数化为普通方程即可．
【变式4】
设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．第四课时
圆锥曲线参数方程的应用
一、教学目标：
知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题
过程与方法：选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。
教学难点：正确使用参数式来求解最值问题
三、教学模式：讲练结合，探析归纳
四、教学过程：
（一）、复习引入：
通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
（二）、讲解新课：
例1、双曲线
的两焦点坐标是
。
答案：（0，-4），（0，4）。学生练习。
例2、方程（t为参数）的图形是
双曲线右支
。[来源:学
科
网]
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：判断曲线形状的方法。[][]
例3、设P是椭圆在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标。
分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求的最大值或者求点P到AB的最大距离，或者求四边形OAPB的最大值。
学生练习，教师准对问题讲评。【=时四边形OAPB的最大值=6，此时点P为（3，2）。】
（三）、巩固训练
1、直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（A）
A．或
B．或
C．或
D．或
2、椭圆
（）与轴正向交于点A，若这个椭圆上存在点P，使OP⊥AP，（O为原点），求离心率的范围。
3、抛物线的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。
4、设P为等轴双曲线上的一点，，为两个焦点，证明
5、求直线与圆的交点坐标。
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分别代入直线方程,得交点为（0，2）和（2，0）。
（三）、小结：本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题，选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，要求理解和掌握求解方法。[]
（四）、作业：
练习：在抛物线的顶点，引两互相垂直的两条弦OA，OB，求顶点O在AB上射影H的轨迹方程。[]
五、教学反思：(共30张PPT)
第二讲 参数方程
预习导学思维启动
Ma,y)
核心突破讲练互动
课堂小结
