课件28张PPT。参数方程第二讲2.3 直线的参数方程2.1 曲线的参数方程2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为_________________________要点一 直线的参数方程要点二 参数的几何意义正数负数零考点一 直线参数方程的标准形式
思维导引：求直线的参数方程首先确定定点，再确定倾斜角．化参数方程为普通方程关键在于消参．考点二 直线与圆的位置关系
直线与圆锥曲线相交，求直线上的定点与两交点的距离问题，可利用直线参数方程标准形式中t的几何意义来求解．思维导引：不用求出B，D的坐标，根据直线的标准参数方程中t的几何意义及根与系数的关系即可求出PB与PD.思维导引：联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程，由Δ＝0即可求得．考点三 直线与圆锥曲线的位置关系思维导引：可设出直线l的参数方程代入曲线C中，结合直线参数方程中参数的几何意义即得．考点四 直线参数方程的综合应用
用直线参数方程解决弦长问题的方法
涉及直线与圆锥曲线的交点问题，一般是把直线的参数方程代入曲线方程去解决．利用参数t的几何意义去解决弦长的计算．【例题4】 过椭圆x2＋2y2＝2的一个焦点F(－1，0)作一直线交椭圆于A，B两点．
(1)求|AB|的最大值和最小值；
(2)求△AOB面积的最大值(O为椭圆中心)．
思维导引：写出直线的参数方程，利用t的几何意义来解决使运算更简便．(2,1) 第五课时 直线的参数方程
一、教学目标：
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.[来源:学+科+网]
四、教学过程
（一）、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆参数方程 （为参数）
（2）圆参数方程为： （为参数）
2．写出椭圆参数方程.
3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程?[来源:Zxxk.Com]
（二）、讲解新课：
1、问题的提出：一条直线L的倾斜角是，并且经过点P（2，3），如何描述直线L上任意点的位置呢？
如果已知直线L经过两个
定点Q（1，1），P（4，3），
那么又如何描述直线L上任意点的
位置呢？
2、教师引导学生推导直线的参数方程：
（1）过定点倾斜角为的直线的
参数方程[来源:学科网ZXXK]
（为参数）
【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是指从点P到点M的位移，可以用有向线段数量来表示。带符号.
（2）、经过两个定点Q，P(其中)的直线的参数方程为
。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里参数的几何意义与参数方程（1）中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段的数量比。当时，M为内分点；当且时，M为外分点；当时，点M与Q重合。
（三）、直线的参数方程应用，强化理解。
1、例题：
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：1、求直线参数方程的方法；2、利用直线参数方程求交点。
2、巩固导练：
补充：1、直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（A）
A．或 B．或 C．或 D．或
2、（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则 ．
解：直线化为普通方程是，
该直线的斜率为，
直线（为参数）化为普通方程是，[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]
该直线的斜率为，
则由两直线垂直的充要条件，得， 。
（四）、小结：（1）直线参数方程求法；（2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。
（五）、作业：
补充：设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______
【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。
解析：由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。
五、教学反思：
第二讲 参数方程
三、直线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．直线(α为参数，0≤α<π)必过点( )
A．(1，－2) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(2，－1)
解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．
答案：A
2．对于参数方程和下列结论正确的是( )
A．是倾斜角为30°的两平行直线
B．是倾斜角为150°的两重合直线
C．是两条垂直相交于点(1，2)的直线
D．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
解析：因为参数方程可化为标准形式所以其倾斜角为150°.
同理，参数方程
可化为标准形式
所以其倾斜角也为150°.
又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．
答案：B
3．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝( )
A. B．－6
C．6 D．－
解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－，
由题意得直线4x＋ky＝1的斜率为－，
故－×＝－1，解得k＝－6.
答案：B
4．直线(t是参数，0≤θ<π)与圆(α是参数)相切，则θ＝( )
A. B.
C.或 D.或
解析：直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线xtan θ－y＝0的距离等于半径2，即＝2，解得tan θ＝±，易知θ＝或.
答案：C
5．若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．相交过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x－y＋2＝0，圆心到直线的距离是＝＝ <2，故直线与圆相交而不过圆心．
答案：B
二、填空题
6．已知直线的参数方程是(t为参数)，则直线的倾斜角的大小是________．
解析：将直线的参数方程化简，得(t为参数)．消去参数t，得直线的普通方程为y＝－x－＋2，因为直线的斜率是－，故倾斜角的大小是.
答案：[来源:Z。xx。k.Com]
7．已知直线l：(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C到直线l的距离为________．[来源:学科网ZXXK]
解析：直线l的普通方程为2x－y＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)．
故圆心C到直线l的距离为＝.
答案：[来源:学科网]
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入y＝x－a得a＝3.
答案：3[来源:学科网ZXXK]
三、解答题
9．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
直线l：(t为参数)．
(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得
t2＋(2＋3)t－3＝0，
设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，
所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，
所以直线的参数方程为(t为参数)．①
椭圆的普通方程为x2＋4y2＝4，②
将①代入②中，得5t2－2t－6＝0，③
因为Δ＝128>0，根据参数t的几何意义知
|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
B级 能力提升
1．一条直线的参数方程是(t为参数)，另一条直线的方程是x－y－2＝0，则两条直线的交点与点(1，－5)之间的距离是( )
A．2 B．4 C. D.
解析：由题意可知，点(1，－5)在直线(t为参数)上．将参数方程代入x－y－2＝0，得6＋t＝2，所以t＝＝4，根据t的几何意义，得两直线的交点与点(1，－5)之间的距离是4.
答案：B
2．已知直线C1的参数方程(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线C1，C2相交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：曲线C2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，
将C1：代入，得5t2－6t－2＝0，
则t1＋t2＝，t1t2＝－，则|AB|＝|t1－t2|＝·＝× ＝.
答案：
3．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；[来源:Zxxk.Com]
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y2＝2ax，
直线(t为参数)化为普通方程为y＝x－2.
(2)将代入y2＝2ax得
t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.
则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，
因为|MN|2＝|PM|·|PN|.
所以(t1－t2)2＝t1·t2，
即(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，(t1＋t2)2－5t1t2＝0，
故8(4＋a)2－40(4＋a)＝0，
解得a＝1或a＝－4(舍去)．
故所求a的值为1.
课件55张PPT。第二讲 参数方程课时跟踪检测(十二) 直线的参数方程
一、选择题
1．已知曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是( )
A．线段 B．双曲线的一支
C．圆 D．射线
解析：选D 由y＝t2－1，得y＋1＝t2，代入x＝3t2＋2，
得x－3y－5＝0(x≥2)．故曲线所表示的是一条射线．
2．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A．1 B.
C．10 D．2
解析：选B 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来求距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即＝.
3．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B．2 C. D．2
解析：选D 由消去t，得x－y－4＝0，
C：ρ＝4cos θ?ρ2＝4ρcos θ，∴圆C的普通方程为x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2,0)，r＝2.
∴点C到直线l的距离d＝＝，
∴所求弦长等于2＝2.故选D.
4．若直线(t为参数)与圆
(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A. B. C. D.或
解析：选D 直线化为＝tan α，即y＝tan α·x，圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2?tan2α＝，
∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
二、填空题
5．已知点A(1,2)和点B(－1,5)在直线(t为参数)上，则它们所对应的参数分别为________．
答案：0，－1
6．若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为________．
解析：由参数方程可知，cos θ＝－，sin θ＝(θ为倾斜角)．
∴tan θ＝－，即为直线斜率．
答案：－
7．已知直线l1：(t为参数)，
l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝______；若l1⊥l2，则k＝________.
解析：将l1，l2的方程化为普通方程，得
l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，
l1∥l2?＝≠?k＝4.
l1⊥l2?(－2)·＝－1?k＝－1.
答案：4 －1
三、解答题
8．(福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2，
即实数a的取值范围是[－2，2]．
9．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，
得2＝4，
解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
10．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
(t为参数，－≤t≤)．
(或参数方程写成－≤y≤)
法二：将x＝1代入得ρcos θ＝1，
从而ρ＝ .
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
(θ为参数，－≤θ≤)．
